6.3.1 对数函数概念与图象 教案

第六章　幂函数、指数函数、对数函数
第6.3.1节 对数函数概念与图象
教材在系统阐述对数函数的概念时，以实际问题为背景，引出了特殊的函数关系对数函数。这种围绕核心问题，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思”的顺序，不断通过对问题串的探究学习，引导学生从不同的角度，用自相似的研究方式，对核心问题进行多重研究．在体现基本初等函数工具性作用时，突出了理性分析和严格的推理过程．达到培养创新思维和理性思维的目的．
课程目标 学科素养
1.理解对数函数的概念. 2.掌握对数函数的性质. 3.对数函数图象性质的简单应用． a数学抽象: 理解对数函数的概念，了解对底数、真数的限制条件的合理性. b逻辑推理: 对数函数图象的性质的应用 c数学运算: 求复合函数的定义域、值域 d直观想象: 掌握对数函数图象的性质.
1.教学重点：掌握对数函数的性质.
2.教学难点：对数函数图象性质的简单应用．
1．下列各函数中是指数函数的是________(填序号)．
①y＝(－3)x；②y＝3x－2；③y＝；④y＝x；
⑤y＝x4；⑥y＝2x＋1.
答案：③④
2．函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值是________．
解析：据题意a2＝4，又a＞0且a≠1，∴a＝2，
∴f(x)＝2x，∴f(－3)＝2－3＝.
答案：
3．函数f(x)＝ax＋1＋2(a＞0且a≠1)过定点________．
解析：由f(－1)＝3，故f(x)过定点(－1,3)．
答案：(－1,3)
4．若2a＋1＜3－2a，则实数a的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴2a＋1＞3－2a，
解之得a＞.
答案：
5．求函数y＝4x－2·2x＋5，x∈[0,2]的最大值和最小值．
解：设t＝2x，则t∈[1,4]，
∴y＝t2－2t＋5＝(t－1)2＋4，
则当t＝1时，y取最小值4，
当t＝4时，y取最大值13.
知识点一　对数函数的概念
思考　已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？
答案　由于y＝2x是单调函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是x＝log2y，此处y∈(0，＋∞)．习惯上用x，y分别表示自变量、因变量．上式可改为y＝log2x，x∈(0，＋∞)．
梳理　一般地，把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
知识点二　对数函数的图象与性质
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
定义 y＝logax (a>0，且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
对称性 函数y＝logax与y＝x的图象关于x轴对称
类型一　对数函数的定义域的应用
例1　求下列函数的定义域．
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；
(2)y＝log2(16－4x)．
解　(1)由得－3∴函数的定义域是{x|－3(2)由16－4x>0，得4x<16＝42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}．
点评：　求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变．
跟踪训练1　求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝log(x＋1)(16－4x)；
解　(1)要使函数有意义，需
即即－3故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需即
所以－1故所求函数的定义域为{x|－1类型二　对数函数单调性的应用
命题角度1　比较同底对数值的大小
例2　比较下列各组数中两个值的大小．
(1)log23.4，log28.5；
(2)log0.31.8，log0.32.7；
(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)．
解　(1)考察对数函数y＝log2x，
因为它的底数2>1，
所以它在(0，＋∞)上是增函数，
又3.4＜8.5，
于是log23.4(2)考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0<0.3<1，
所以它在(0，＋∞)上是减函数，
又1.8＜2.7，
于是 log0.31.8>log0.32.7.
(3)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又5.1＜5.9，
于是loga5.1当0又5.1＜5.9，
于是loga5.1>loga5.9.
综上，当a＞1时，loga5.1＜loga5.9，
当0＜a＜1时，loga5.1＞loga5.9.
点评：　比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论．对于不同底的对数，可以估算范围，如log22跟踪训练2　设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞a＞c D．b＞c＞a
答案　A
解析　∵a＝log3π＞1，b＝log23，
其中log22则＜b＜1，c＝log32＜，∴a＞b＞c.
命题角度2　求y＝logafx型的函数值域
例3　函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为________．
答案　(0，＋∞)
解析　f(x)的定义域为R.
∵3x>0，∴3x＋1>1.
∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
∴log2(3x＋1)>log21＝0.
即f(x)的值域为(0，＋∞)．
点评：　在函数三要素中，值域从属于定义域和对应关系．故求y＝logaf(x)型函数的值域必先求定义域，进而确定f(x)的范围，再利用对数函数y＝logax的单调性求出logaf(x)的取值范围．
跟踪训练3　已知f(x)＝log2(1－x)＋log2(x＋3)，求f(x)的定义域、值城．
解　要使函数式有意义，需解得定义域为(－3,1)．
f(x)＝log2[(1－x)(x＋3)]＝log2[－(x＋1)2＋4]．
∵x∈(－3,1)，
∴－(x＋1)2＋4∈(0,4]．
∴log2[－(x＋1)2＋4]∈(－∞，2]．
即f(x)的值域为(－∞，2]．
类型三　对数函数的图象
例4　画出函数y＝lg|x－1|的图象．
解　(1)先画出函数y＝lg x的图象(如图)．
(2)再画出函数y＝lg|x|的图象(如图)．
(3)最后画出函数y＝lg|x－1|的图象(如图)．
点评：　现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以基本初等函数为原料加工，所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．
跟踪训练4　画出函数y＝|lg(x－1)|的图象．
解　(1)先画出函数y＝lg x的图象(如图)．
(2)再画出函数y＝lg(x－1)的图象(如图)．
(3)再画出函数y＝|lg(x－1)|的图象(如图)．
关于“反函数”的概念，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，只要说明“对于某个常数a（a＞0，a≠1），指数函数y＝ax和对数函数y＝logax互为反函数”，即“两个底数相同的指数函数与对数函数互为反函数”．对一般的反函数概念不作要求．互为反函数的两个函数的图象间关于直线y＝x对称的性质，只通过具体函数来讨论．