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北师版八年级下册数学5.4.1 分式方程教学设计
课题 5.4.1 分式方程 单元 第五单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.理解分式方程的概念.2.能够根据实际问题建立分式方程的数学模型,并能归纳出分式方程的描述性定义.3.经历探索分式方程概念的过程.4.经历“实际问题——建立分式方程模型”的过程,提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生的应用意识.5.通过分式方程的实际应用,提高学生的思维水平和应用意识。
重点 根据题意列分式方程。
难点 分式方程应用题的探究。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师提问：1.什么是方程？2.什么是方程的解？3.解一元一次方程的步骤？答案：1.含有未知数的等式叫做方程.2.使方程的左右两边相等的未知数的值.3.去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 学生回忆问题，回答老师提问的问题。 通过复习旧知识，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。
讲授新课 甲、乙两地相距1 400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9 h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍.（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？等量关系：①乘高铁列车=乘特快列车-9，②高铁列车的平均行驶速度=特快列车的平均速度×2.8倍；（2）如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h，那么 x 满足怎样的方程？（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h，那么 y 满足怎样的方程？为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款.已知七年级同学捐款总额为4 800元，八年级同学捐款总额为5 000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等. （1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？八年级捐款人数=七年级捐款人数+20人.七年级捐款总数=七年级捐款人数×七年级人均捐款额.八年级捐款总数=八年级捐款人数×八年级人均捐款额.七年级人均捐款额=八年级人均捐款额.（2）如果设七年级捐款人数为x人，那么x应满足怎样的方程？【思考】由上面的问题，我们得到了三个方程，它们有什么共同特点？这三个方程中的分母都含有未知数。分母中含有未知数的方程叫做分式方程。分式方程的特征（1）是等式；（2）方程中含有分母；（3）分母中含有未知数.分式方程与整式方程的区别:分式方程中的分母含有未知数，而整式方程中的分母不含有未知数.【例】下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程？解：（2）、（3）是分式方程， （1）、（4）、（5）是整式方程，（6）不是方程.注意：判断一个方程是不是分式方程，关键是看分母中有没有未知数.（4）中π是一确定的数不是未知数.判断一个方程是不是分式方程的方法：根据分式方程定义中的条件，判断方程中分母是否含有未知数，如果含有未知数，那么这个方程就是分式方程，否则就不是分式方程．识别分式方程时，不能对方程进行约分、通分变形，更不能用等式的性质变形．【做一做】根据联合国《2010年世界投资报告》，中国2009年吸收外国投资额为950亿美元，比上一年减少了 12%. 设2008年我国吸收外国投资额为x亿美元，请你写出满足x的方程. 你能写出几个方程？其中哪一个是分式方程？ 解：根据题意，得(1－12%)x＝950；1－12%＝，x＝，x－12%x＝950，其中1－12%＝ 是分式方程．想一想：怎样根据实际问题列分式方程？列分式方程的步骤：(1)审清题意；(2)设未知数；(3)找到相等关系；(4)列分式方程．【例】李庄村原来用10 hm2耕地种植粮食作物，用80 hm2耕地种植经济作物. 为了增加粮食作物的种植面积，该村计划将部分种植经济作物的耕地改为种植粮食作 物，使得粮食作物的种植面积与经济作物的种植面积之比为5：7. 设有x hm2种植经济作物的耕地改为种植粮食作物，那么x满足怎样的分式方程？解：根据题意，得 即为满足条件的分式方程． 学生读题，思考问题中的所有等量关系。学生列方程。学生读题，思考问题中的所有等量关系。学生列方程。学生根据列出的方程，观察方程的共同特点，总结分式方程的定义。学生做练习。学生总结判断一个方程是不是分式方程的方法。学生解决实际问题，总结列分式方程的步骤。根据总结的步骤列方程。 让学生经历从实际问题抽象、概括出分式方程这一“数学化”的过程,体会分式方程的模型作用,设置这个例题的目的是引导学生寻找问题中的所有等量关系,提高学生分析问题、解决问题的能力.学生分组讨论交流合作，训练学生以严谨的科学态度研究问题，解决问题，同时也培养了学生的合作精神，体现新课改中由教为中心向学为中心的转变。让学生通过观察、归纳、总结出整式方程与分式方程的异同,从而得出分式方程的概念.注意引导学生理解分式方程的重要特征,分清分式方程与整式方程的区别.
课堂练习 1.下列说法中，正确的是( C )A.分母中含有未知数的式子就是分式方程B.含有字母的方程叫做分式方程C.分式方程中，分母中一定含有未知数D.分式方程就是含有分母的方程下列方程：①＝1；②＝2；③＝；④＋＝5；⑤＋＝4.其中是分式方程的是( D )A．①② B．②③ C．③④ D．②③④3．下列关于x的方程是分式方程的是( D )A.＝1－ B.＝2＋xC.＋＝1 D.＝14.甲、乙二人做某种机械零件，已知每时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每时做x个零件，下列方程正确的是( D )A.＝ B.＝C.＝ D.＝5.某市即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成，现还有6 000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是( A )A.－＝15 B.－＝15C.－＝20 D.－＝206.【中考·本溪】为推进垃圾分类，推动绿色发展，某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类，用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元，若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的是( A )A．＝ B．＝C．＋＝140 D．－140＝ 学生做练习，教师订正答案。 通过各种形式的练习，进一步提高学生学习兴趣，使 学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
课堂小结 本节课你学到了什么？1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程．2.列分式方程的步骤：(1)审清题意；(2)设未知数；(3)找到相等关系；(4)列分式方程． 引导学生回顾已学知识，通过一系列问题进行总结评估 课堂上以由教师引导，学生回顾的方式进行总结，目的是充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化
板书 课题：5.4.1 分式方程一、分式方程的定义二、列分式方程
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5.4.1 分式方程
北师版 八年级下册
新知导入
1.什么是方程？
2.什么是方程的解？
3.解一元一次方程的步骤？
含有未知数的等式叫做方程.
使方程的左右两边相等的未知数的值.
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
新知讲解
甲、乙两地相距1 400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9 h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍.
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
等量关系：
①乘高铁列车=乘特快列车-9，
②高铁列车的平均行驶速度=特快列车的平均速度×2.8倍；
新知讲解
甲、乙两地相距1 400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9 h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍.
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h，那么 x 满足怎样的方程？
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h，那么 y 满足怎样的方程？
新知讲解
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款.已知七年级同学捐款总额为4 800元，八年级同学捐款总额为5 000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等.
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
八年级捐款人数=七年级捐款人数+20人.
七年级捐款总数=七年级捐款人数×七年级人均捐款额.
八年级捐款总数=八年级捐款人数×八年级人均捐款额.
七年级人均捐款额=八年级人均捐款额.
新知讲解
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款.已知七年级同学捐款总额为4 800元，八年级同学捐款总额为5 000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等.
（2）如果设七年级捐款人数为x人，那么x应满足怎样的方程？
新知讲解
【思考】由上面的问题，我们得到了三个方程，它们有什么共同特点？
这三个方程中的分母都含有未知数。
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
新知讲解
分式方程的特征
（1）是等式；
（2）方程中含有分母；
（3）分母中含有未知数.
分式方程与整式方程的区别:
分式方程中的分母含有未知数，而整式方程中的分母不含有未知数.
新知讲解
【例】下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程？
解：（2）、（3）是分式方程，
（1）、（4）、（5）是整式方程，（6）不是方程.
注意：判断一个方程是不是分式方程，关键是看分母中有没有未知数.（4）中π是一确定的数不是未知数.
新知讲解
判断一个方程是不是分式方程的方法：
根据分式方程定义中的条件，判断方程中分母是否含有未知数，如果含有未知数，那么这个方程就是分式方程，否则就不是分式方程．
识别分式方程时，不能对方程进行约分、通分变形，更不能用等式的性质变形．
新知讲解
【做一做】根据联合国《2010年世界投资报告》，中国2009年吸收外国投资额为950亿美元，比上一年减少了 12%. 设2008年我国吸收外国投资额为x亿美元，请你写出满足x的方程.
你能写出几个方程？其中哪一个是分式方程？
解：根据题意，得(1－12%)x＝950；
1－12%＝ ，x＝ ，
x－12%x＝950，
其中1－12%＝ 是分式方程．
新知讲解
想一想：怎样根据实际问题列分式方程？
列分式方程的步骤：
(1)审清题意；
(2)设未知数；
(3)找到相等关系；
(4)列分式方程．
新知讲解
【例】李庄村原来用10 hm2耕地种植粮食作物，用80 hm2耕地种植经济作物. 为了增加粮食作物的种植面积，该村计划将部分种植经济作物的耕地改为种植粮食作物，使得粮食作物的种植面积与经济作物的种植面积之比为5：7.
设有x hm2种植经济作物的耕地改为种植粮食作物，那么x满足怎样的分式方程？
解：根据题意，得
即为满足条件的分式方程．
课堂练习
1.下列说法中，正确的是( )
A.分母中含有未知数的式子就是分式方程
B.含有字母的方程叫做分式方程
C.分式方程中，分母中一定含有未知数
D.分式方程就是含有分母的方程
C
课堂练习
D
课堂练习
D
课堂练习
D
课堂练习
5.某市即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成，现还有6 000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．
设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是( )
A
中考链接
6.【中考·本溪】为推进垃圾分类，推动绿色发展，某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类，用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元，若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的是( )
A
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程．
2.列分式方程的步骤：
(1)审清题意；
(2)设未知数；
(3)找到相等关系；
(4)列分式方程．
板书设计
课题：5.4.1 分式方程
教师板演区
学生展示区
一、分式方程的定义
二、列分式方程
作业布置
课本 P126 练习题
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