第七章 复数 培优提升单元练习题—2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（Word含答案）

第七章 复数
一、单选题
1．已知复数（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B． C． D．
4．设复数，则复数的模为（ ）
A． B． C． D．
5．复数，则（ ）
A． B． C． D．1
6．已知复数 为虚数单位) 在复平面上对应的点分别为，若四边形为平行四边形(为复平面的坐标原点)，则复数的模为（ ）
A． B． C． D．
7．复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
8．设，，则（ ）
A． B． C． D．
9．若复数z满足z（2﹣i）＝1+4i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
10．设z=i(2+i)，则=
A．1+2i B．–1+2i
C．1–2i D．–1–2i
11．复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．、是复数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．
C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．函数（，是虚数单位）的值域可用集合表示为______．
14．若，则的最大值是________．
15．计算：______________.
16．已知复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于第_____象限.
三、解答题
17．已知复数（）．
（1）若复数z为纯虚数，求实数a的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
18．设方程的根分别为、，且，求实数的值.
19．已知复数，
（1）计算；
（2）求．
20．已知，，，，，求．
21．当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？
（1）复数实数；
（2）复数纯虚数；
（3）复平面内，复数对应的点位于直线上.
22．已知方程有两个根，，．
（1）若，求实数p的值；
（2）若，求实数p的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据复数除法运算法则计算即可.
【详解】
.
故选：A.
2．C
【解析】
【分析】
本题可根据得出点的轨迹为以为圆心、以为半径的圆，即可得出结果.
【详解】
因为，所以复数在复平面内所对应的点到点的距离为，
则点的轨迹为以为圆心、以为半径的圆，
故的取值范围为，的最大值为，
故选：C.
3．C
【解析】
【分析】
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】
则．故选C．
【点睛】
本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．
4．D
【解析】
【分析】
根据复数模的定义求解即可.
【详解】
,.
故选：B
5．C
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则，结合复数的除法运算，即可求解.
【详解】
由题意，复数，可得，
，
所以.
故选：C.
6．A
【解析】
【分析】
利用复数的几何意义，向量坐标运算性质及其向量相等即可得出
【详解】
解：因为复数 为虚数单位) 在复平面上对应的点分别为，
所以，
设，因为为平行四边形(为复平面的坐标原点)，
所以，
所以，所以，
所以，所以，
故选：A
7．A
【解析】
【分析】
先根据模的定义计算，并化简得到，再根据虚部的定义作出判定.
【详解】
∵，
∴的虚部为，
故选：A.
8．B
【解析】
【分析】
根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得，进而求模长即可.
【详解】
因为，所以，解得，
所以.
故选：B.
9．B
【解析】
【分析】
由复数的除法运算求出复数z，再写出z的共轭复数．
【详解】
由z（2﹣i）＝1+4i，
得z＝＝＝，
所以复数z的共轭复数为．
故选：B．
10．D
【解析】
【分析】
本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出．
【详解】
，
所以，选D．
【点睛】
本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．
11．C
【解析】
【分析】
设,代入方程得整理得，在结合方程有实数根得，进而分和两种情况求解即可.
【详解】
设,因为,所以,
所以将代入方程整理
，
因为关于的方程有实根，
所以
所以当时，解得，此时关于的方程为或，易知方程无实数根，故舍去，所以；
当时，解得，，所以，所以，此时方程有实数根，满足条件.
综上，或.
故这样的复数的个数为个.
故选：C
【点睛】
本题考查复数方程有实数根，求对应的复数，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题解题的关键在于设，进而根据题意得，即，进而求解.
12．D
【解析】
举反例，可判断选项A、B，举反例，可判断选项C，设，，分别计算、即可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】
对于选项A：取，，，，
满足，但与是两个复数，不能比较大小，故选项A不正确；
对于选项B：取，，，
而无意义，故选项B不正确；
对于选项C：取，，则，但是，，故选项C不正确；
对于选项D：设，，则
，
，，所以，所以，故选项D正确.
故选：D.
13．
【解析】
根据复数的运算性质可函数的值域.
【详解】
，
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
先设，，根据题意，得到复数对应的点，在以为圆心，以为半径的圆及圆内的部分运动，再根据点与圆位置关系，即可得出结果.
【详解】
设，，
因为，则，
即，
所以复数对应的点，在以为圆心，以为半径的圆及圆内的部分运动；
又，表示复数对应的点到原点的距离，
又圆的圆心到直线的距离为，
所以的最大值为：.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查求复数模的最值，熟记复数的几何意即可，涉及点与圆位置关系，属于常考题型.
15．
【解析】
先利用复数的运算法则将和化简，然后计算出及的值，然后得出的值．
【详解】
．
故答案为：．
16．一
【解析】
化简得到，得到复数对应象限.
【详解】
，复数在复平面内对应的点的坐标为（2,1），
故复数在复平面内对应的点位于第一象限.
故答案为：一.
【点睛】
本题考查了复数的模，复数除法，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的综合应用.
17．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由实部为0且虚部不为0列式求解的值；
（2）由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．
【详解】
解：（1）由题意，解得．
（2）∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，
∴，
解得：．∴实效a的取值范围是．
【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
18．或
【解析】
根据方程的判别式，分别讨论，两种情况，根据求解，即可得出结果.
【详解】
对于方程，有.
当，即时，方程有两个实数根，
解得；
当，即时，方程有两个虚数根，即，.
，解得.
综上，实数k的值为或.
【点睛】
本题主要考查根据复数的模求参数，熟记复数模的计算公式即可，属于常考题型.
19．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
利用复数的乘法求解，利用求解.
【详解】
（1）因为复数，
所以；
（2）．
20．
【解析】
【分析】
设复数对应，对应，，利用余弦定理可得，再利用余弦定理即可得出答案．
【详解】
设复数对应，对应，，
则，
解得．
．
．
21．（1）或；（2）；（3）或.
【解析】
（1）由虚部为0，求解值；
（2）由实部为0且虚部不为0，列式求解值；
（3）由实部与虚部的和为0，列式求解值．
【详解】
解：由题可知，复数，
（1）当为实数时，则虚部为0，
由，解得：或；
（2）当纯虚数时，实部为0且虚部不为0，
由，解得：；
（3）当对应的点位于直线上时，则，
即：实部与虚部的和为0，
由，解得：或．
【点睛】
本题考查复数的基本概念，以及复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
22．（1）或；（2）或．
【解析】
（1）根据韦达定理，得出，，则可求出实数p的值；
（2）根据题意，对两根进行分类讨论，一是两实根，二是一对共轭虚根，分别根据韦达定理求出实数p的值.
【详解】
解：（1）方程有两个根，，
则由韦达定理知：，
，
或；
（2）①当，为两个实根，，即时，
，
，则，
②当，为一对共轭虚根，，即时，
由，，得，
由韦达定理可得，
综上所述，或.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理，列出对应关系式，其中要注意对根的虚实情况进行讨论.
答案第1页，共2页
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