第七章 二元一次方程组全章学案
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第七章 二元一次方程组
课题：7.1 二元一次方程组和它的解
学习目标：
1．使学生了解二元一次方程，二元一次方程组的概念。
2．使学生了解二元一次方程；二元一次方程组的解的含义，会检验一对数是不是它们的解。
3．通过引例的教学，使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性。
重点、难点
1．重点：了解二元一次方程。二元一次方程组以及二元一次方程
组的解的含义，会检验一对数是否是某个二元一次方程组的解。
2．难点；了解二元一次方程组的解的含义。
学习过程
一．新旧知识回顾
1．下列方程中，是一元一次方程的有( )个。
2x-3y=6 ②x2-5x+6=0 ③3(x-2)=1-2x ④ ⑤3x-2(6-x)
2．看括号里的数是否是方程的解？
(1)y(2y－1)＝3 ｛－1、｝. (2)5(x－1)(x－2)＝0 ｛0、1、2｝.
二．探究归纳
请同学们看下面的方程：1、x十y=7 2、 3x+y=17
这两个方程有什么共同的特点?
(都含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1)
这两个方程与一元一次方程不同，每个方程都有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程，叫做二元一次方程。把这两个二元一次方程①、②合在一起，就组成了一个二元一次方程组。（实质上可能有两个以上的一次方程）
（结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的解释；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。）
三．典型例题
1、判断下列方程是否是二元一次方程，说明理由。
(1)2x-5=y （2）xy=2 (3) x2-y=12 (4) (5) (6)
注意：（1）只有整式方程才能称几元几次方程。
（2）未知数的次数是1是指含有未知数的项（单项式）的次数是1，不可理解为两个未知数的次数都是1，如：xy-2=0中，两个未知数的次数瓯都市1，但未知项xy次数是2，所以不是一元二次方程
2、二元一次方程的解（教科书第27页2题）
能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫二元一次方程的解。
注意：（1）一般情况下，一个二元一次方程的解有无数对。
（2）二元一次方程的解必需用大括号括起来。
一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
四．巩固练习
1．下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A．4y2-3x=28 B．y=5x C．2x=8 D．x2-y=12
2．下列方程组中，是二元一次方程组的有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可能是（ ）
A． B． C． D．
4．如果是方程ax-2axy=1的一个解，则a=______．
5．已知是方程组的解，则a+b=______．
6．若一个二元一次方程的一个解为，则这个方程可以是_______．
7．若方程x2m-1+5y3n-2m=7是二元一次方程，求m，n的值．M=_______，n=______。
五．知识延展
已知二元一次方程3x+y=10，（1）用含x的代数式表示y，则y=________________（2）用含y的代数式表示x,则x=_______________（3）求此方程的所有自然数解．_____________________。
六．小结
1．什么是二元一次方程，什么是二元一次方程组?
2．什么是二元一次方程组的解?如何检验一对数是不是某个方程组的解?
七．作业设计
教科书第26页 习题7.1全部。
课题：7.2 二元一次方程组的解法
第一课时（代入消元法1）
学习目标：
1．使学生通过探索，逐步发现解方程组的基本思想是“消元”，化二元——次方程组为一元一次方程。
2．使学生了解“代人消元法”，并掌握直接代入消元法。
3．通过代入消元，使学生初步理解把“未知”转化为“已知”，和复杂问题转化为简单问题的思想方法。
重点、难点
1．重点；二元一次方程组的解法（代入法）
2．难点：用代入法求出一个未知数值后，把它代入哪个方程求另一个未知数值较简便。
学习过程：
板书课题，揭示目标
今天我们来学习“7．2．1消元_____二元一次方程组的解法（代入法）”，
本节课的学习目标为：
用含一个未知数的式子表示另一个未知数；
用代入消元法解二元一次方程组。
知识回顾
1、判断下列方程组中哪些是二元一次方程组？
⑴ ⑵ ⑶
⑷ （5）
：二元一次方程组的判断包含三点：（1）含有两个未知数且含未知项的次数是1；（2）整式方程组；（3）可能含有两个以上的一次方程。
2、用检验的方法找出方程 x＋y＝7， ①的解。（ ）
3x＋y＝17. ②
A、 B、 C 、 2 D、
自学探究
1、把下列方程写成用含的式子表示的形式：
，y= ____________
，y=
2x+3y=6 ， y= __________
2、想一想上面2题的方程如何解？（学生讨论试着做后，教师板书）
以上的练习，通过“代入”消去一个未知数, 就把二元一次方程转化成了一元一次方程，这种解法叫做代入消元法, 简称代入法. 解方程组的基本思想方法就是“消元”.
四、例题精讲
例1、解下列方程组：
（1） （2）
同步训练1：
(1)； (2)； (3)；
(4) （5）
2：教科书29页练习
五、知识拓展：
1、、若和是同类项，则m= ，n= .
2、若，则x= ，y=
3．若方程x2m-1+5y3n-2m=7是二元一次方程，求m，n的值。
六、交流反思
对于一般形式的二元一次方程组用代入法求解的关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错，选取的原则是：
1、选择未知数的系数是1或-1的方程；
2、若未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程，将要消的元用含另一个未知数的代数式表示，再把它代入没有变形的方程中去。这样就把二元一次方程组转化为一元一次方程了。
七、作业设计：实践与探究相应习题。
第二课时（代入消元法2）
学习目标：
1．使学生进一步理解代人消元法的基本思想和代入法解题的一般步骤。
2．让学生在实践中去体会根据方程组未知数系数的特点，选择较为合理、简单的表示方法，将一个未知数表示另一个未知数。
重点、难点
1．重点：熟练地用代人法解一般形式的二元一次方程组。
2．难点：准确地把二元一次方程组转化为一元一次方程。
学习过程：
一、 回顾旧知识
1．解方程组 2x+5y=-2（1）思考：如何求解?关键是什么?解题步骤是什么? （让学生独立解答回答）
x=8-3y （2）
2．把方程2x-7y＝8 (1)写成用含x的代数式表示y的形式，y=_____________ (2)写成用含y的代数式表示x的形式，x=__________________。
二、探究归纳
2x-7y=8 ①
例：解方程 3x-8y-10=0 ②
分析：这两个方程中未知数的系数都不是l，那么如何求解呢?消哪一个未知数呢?
如果将①写成用一个未知数来表示另一个未知数的形式，那么用x表示 y，还是用y表示x好呢?(让学生自己探索、归纳)
因为x的系数为正数，且系数也较小，所以应用y来表示x较好。
尝试解答。教师板书解方程的过程。
这里是消去x，得关于y的一元二次方程，能否消去y呢?让学生
试一试，然后通过比较，使学生明白本题消x较简单。
三、巩固练习
教科书第30页，练习1、2
四、小结
对于一般形式的二元一次方程用代入法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取得恰当往往会使计算简单，而且不易出错，选取的原则是：
1．选择未知数的系数是1或－l的方程；
2．若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程， 将要消的元用含另一个未知数的代数式表示，再把它代人没有变形的方程中去。这样就把二元一次方程组转化为一元一次方程了。
对运算的结果养成检验的习惯。
五、作业设计
用代入消元法解下列方程组。
（1）、 (2) (3)
第三课时（加减消元法）
学习目标：
1．使学生进一步理解解方程组的消元思想。
2．使学生了解加减法是消元法的又一种基本方法，并使他们会用加减法解一些简单的二元一次方程组。
重点、难点
1，重点：用加减法解二元一次方程组。
2．难点：两个方程相减消元时对被减的方程各项符号要做变号处理。
学习过程
一、回顾旧知识
1．解二元一次方程组的基本思想是什么?（学生思考回答：消元）
2．用代人法解方程组
3x+5y=5 ①
3x-4y=23 ②
学生口述解题过程，教师板书。
二、新授
对复习2的反思并引入新课。
用代入法解二元一次方程的基本思想是消元，只有消去一个未知数，才能把二元转化为熟悉的一元方程求解，为了消元，除了代入法还有其他的方法吗?(让学生主动探求解法，适当时教师可作以下引导)
观察方程组在这个方程组中，未知数x的系数有什么特点?怎样才能把这个未知数消去?你的根据是什么?
这两个方程中未知数x的系数相同，都是3，只要把这两个方程的左边与左边相减、右边与右边相减，就能消去x从而把它转化为一元一次方程。把方程①两边分别减去方程②的两边，相当于把方程①的两边分别减去两个相等的整式。
为了避免符号上的错误 (3x+5y)-(3x-4y)=5-23
板书示范时可以如下： 3x+5y-3x+4y=-18
解：把①－②得 9y＝－18
y=－2
把y＝－2代入①，得 3x+5×(－2)=5
解得 x=5
∴ x＝5 这结果与用代入法解的结果一样
y=－2 也可以通过检验
从上面的解答过程中，你发现了二元一次方程组的新解法吗？让学生自己概括一下，得到新解法：加减消元法的思想。
例2.解方程组 3x+7y=9 ①
4x-7y=5 ②
怎样解这个方程组呢?用什么方法消去一个未知数?先消哪个未知数比较方便？
①+②，得 7x=14 ［ 两个方程中，未知数y的系数是互为相反
x=2 数，而互为相反数的和为零，所以应把方程
将x=2代入①，得 ①的两边分别加上方程②的两边］
6+7y＝9
y＝
∴ x＝2
y＝
以上两个例子是通过将两个方程相加(或相减)，消去一个未知数，将 方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫加减消元法，简称加减法。
三、随堂练习
教科书第30页，练习1、2。
四、知识延伸
1、（一题多变题）解方程组
（1）一变：若xa-b-2ya+b-2=5是二元一次方程，求a，b的值．
（2）二变：若（a-b-1）2+│a+b-3│=0，求a，b的值．
（3）三变：若是关于x，y的方程组的解，求a，b的值．
（4）四变：若单项式-3xa-by3与xya+b是同类项，求a，b的值．
2、（巧题妙解题）解方程组
四、小结
今天我们又学习了解二元一次方程组的另一种方法______加减消元法，它是通过把两个方程两边相加(或相减)消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程。请同学们归纳一下，什么样的方程组用“代入法”，什么样的方程组用“加减法”。选择合适的方法解方程组很关键。
作业设计
实践与探究相应习题
第四课时（加减消元法）
学习目标：
使学生了解用加减法解二元一次方程组的一般步骤，能熟练地用加减法解较复杂的二元一次方程组。
重点、难点：
1．重点：将方程组化成两个方程中的某一未知数的系数的绝对值相等。
2．难点：将方程组化成两个方程中的某一未知数的系数的绝对值相等。
学习过程
一、复习
下列方程组用加减法可消哪一个元，如何消元，消元后的一元一次方程是什么?（学生回答，在写出解答过程，请学生在演示）
3x+4y＝-3.4 4x－2y＝5.6
6x-4y＝5.2 7x－2y＝7.7
二、新授
例l.解方程组 9x+2y=15 ①
3x+4y=10 ②
分析如果用加减法解，直接把两个方程的两边相减能消去一个未知数吗?如果不行，那该怎么办呢?
当两个方程中某个未知数系数的绝对值相等时，可用加减法求解，你有办法将两个方程中的某个系数变相同或相反吗?
方程②中y的系数是方程①中y系数的2倍，所以只要将①×2
例2．解方程组
3x－4y＝10 ①
15x+6y＝42 ②
这个方程组中两个方程的x,y系数都不是整数倍。那么如何把其中一个未知数的系数变为绝对值相等呢?该消哪一个元比较简便呢?(让学生自主探索怎样适当地把方程变形，才能转化为例3或例4那样的情形。)
分析：(1)若消y，两个方程未知数y系数的绝对值分别为4、6，要使它们变成12(4与6的最小公倍数)，只要①×3，②×2(2)若消x，只要使工的系数的绝对值等于15。(3与5的最小公倍数，因此只要①×3，②×2)
请同学们用加减法解本节例2中的方程组。
2x－7y＝8
3x－8y－10＝0
做完后，并比较用加减法和代人法解，哪种方法方便?
教师讲评：应先整理为一般式。
三、巩固练习
1、用加减法解下列方程组： 7x－2y=－3??? 6x－5y=3???? m－n=5??????? 2x－3y = 9 9x+2y=－19??? 6x+y=－15??? 3m－n=－1???? 3x=3y－11
2、教科书32页1、2、3、4
四、小结（教师说出条件部分，学生回答结论部分)。
加减法解二元一次方程组，两方程中若有一个未知数系数的绝对值相等，可直接加减消元；若同一未知数的系数绝对值不等，则应选一个或两个方程变形，使一个未知数的系数的绝对值相等，然后再直接用加减法求解；若方程组比较复杂，应先化简整理。
作业设计
实践与探究相应习题
第五课时(习题课)
学习目标：
1．使学生进一步理解二元一次方程(组)的解的概念。
2．使学生能够根据题目特点熟练地选用代入法或加减法解二元一次方程组。
学习过程
一、复习知识点
1．什么是二元一次方程，二元一次方程组以及它的解?
2．解二元一次方程组有哪两种方法?它们的解题思想是什么?
3．举例说明解二元一次方程组什么情况下用代人法，什么情况下用加减法?
[当方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值为l或有一个方程的常数项是。时，用代人法；当两个方程中某人未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法。)
二、课堂练习
1．方程2x+39＝3与下面哪个方程所组成的方程组的解是
x=3
y＝－1( )
A．41+6y=－6 B．x－2y=5
C．3x＋4y＝4 D．以上都不对
2．方程组 3x－7y=7的解是否满足方程2x+3y＝－5？
5x＋2y=2
3．解下列方程组应消哪个元，用哪一种方法较简便?
（1）、 （ 2）、
（3）、 （4）、
（5）、 （6）、
（7）、
三、作业设计：教科书第36页习题1.题
第六课时
学习目标：
1．使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用。
2．通过应用题的教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性，体会列方程组往往比列一元一次方程容易。
3．进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力。
重点、难点、关键：
1、重、难点：根据题意，列出二元一次方程组。
2、关键：正确地找出应用题中的两个等量关系，并把它们列成方程。
学习过程：
一、回顾旧知识
我们已学习了列一元一次方程解决实际问题，大家回忆列方程解应用题的步骤，其中关键步骤是什么?
[审题；设未知数；列方程；解方程；检验并作答。关键是审题，寻找出等量关系]
在本节开头我们已借助列二元一次方程组解决了有2个未知数的实际问题。大家已初步体会到：对两个未知数的应用题列一次方程组往往比列一元一次方程要容易一些。
二、新授
例l：某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售，该公司的加工能力是：每天精加工6吨或者粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务?如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元?
分析：解决这个问题的关键是先解答前一个问题，即先求出安排精加和粗加工的天数，如果我们用列方程组的办法来解答。
可设应安排x天精加工，y加粗加工，那么要找出能反映整个题意的两个等量关系。引导学生寻找等量关系。
(1)精加工天数与粗加工天数的和等于15天。
(2)精加工蔬菜的吨数与粗加工蔬菜的吨数和为140吨。
指导学生列出方程。对于有困难的学生也可以列表帮助分析。
变式训练：
有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.50吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。
求：3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨?
分析：要解决这个问题的关键是求每辆大车和每辆小车一次可运货多少吨?
如果设一辆大车每次可以运货x吨，一辆小车每次可以运货y吨，那么能反映本题意的两个等量头条是什么？
指导学生分析出等量关系。
（1） 2辆大车一次运货＋3辆小车一次运货＝15.5
（2） 5辆大车一次运货＋6辆小车一次运货＝35
根据题意，列出方程，并解答。教师指导。
三、巩固练习
教科书第36页练习l、2、3。
四、课堂小结
列二元一次方程组解应用题的步骤。
1．审题，弄清题目中的数量关系，找出未知数，用x、y表示所要求的两个未知数。
2．找到能表示应用题全部含义的两个等量关系。
3．根据两个等量关系，列出方程组。
4．解方程组。
5．检验作答案。
五、作业设计
1．教科书第36页，习题7.2第2、3、4题。
7、3三元一次方程组及其解法（1）
学习目标： 1、了解三元一次方程组的概，并会用概念解相关习题。
2、会解三元一次方程组。
3、通过解三元一次方程组的学习，提高逻辑思维能力，培养抽象概括的数学能力。 重点、难点： 三元一次方程组的解法以及解题的技巧． 学习过程：
一、复习
1、二元一次方程组的概念？有哪些解法？解题思想和关键是什么？
下列方程中，不是二元一次方程的是（ ）
A、2x+y=3 B、3a-2=4b C、 D、2b=3a
2、用代入法解方程组 ② 中，将①变形正确的是（ ）
A、y = 2x + 1 B、y = 1－2x
C、y = －2x －1 D、y = 2 x － 1
3、用加减法解方程组中，消x用（ ）法，消y用（ ）法
A、加，加 B、加，减 C、减，加 D、减，减
二、探究归纳：
1、三元一次方程的概念：
观察方程组：x+y+z=10 (1)
3x+y=18 (2)
X=y+z (3)
上面的方程具有什么特点？有几个未知数？未知数系数都是什么？像这样的方程我们可以叫什么方程？ 像上面这个方程，就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.如x+y-z=1, 2a-3b+c=0等都是三元一次方程。 2、三元一次方程组的概念： 一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 例如， 等都是三元一次方程组. 3.三元一次方程组的解法： （1）解三元一次方程组的基本思想 解二元一次方程组的基本思想是消元，即把二元一次方程转化为一元一次方程求解，由此可以联想解三元一次方程组的基本思想也是消元，一般地，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数. （2）怎样解三元一次方程组？
三、例题讲解和练习：
1.解方程组 法一：代入法 分析：仿照前面学过的代入法，将（2）变形后代入（1）、（3）中消元，再求解． 解：由（2），得 x=y+1． （4） 将（4）分别代入（1）、（3）得 解这个方程组，得 把y=9代入（4），得x=10． 因此，方程组的解是 法二：加减法 解：（3）-（1），得 x-2y=-8 （4） 由（2），（4）组成方程组 解这个方程组，得 把x=10，y=9代入（1）中，得 z=7． 因此，方程组的解是 法三：技巧法 分析：发现（1）＋（2）所得的方程中x与z的系数与方程（3）中x与z的系数分别对应相等，因此可由（1）+（2）-（3）直接得到关于y的一元一次方程，求出y值后再代回，即可得到关于x、y的二元一次方程组 解：由（1）＋（2）-（3），得 y=9． 把y=9代入（2），得 x=10． 把x=10，y=9代入（1），得 z=7． 因此，方程组的解是 注意： （1）解答完本题后，应提醒同学们不要忘记检验，但检验过程一般不写出. （2）从上述问题的一题多解，使我们体会到，灵活运用代入法或加减法消元，将有助于我们迅速准确
四、课堂小结：
（1）三元一次方程及三元一次方程组的概念。三元一次方程组的解法和解题思想（代入法和加减法，思想都是消元）
（2）解三元一次方程组的解题技巧
五、作业设计：教科书46页复习题 1、2、3题
7、3三元一次方程组及其解法（2）
学习目标：
1、会熟练的用代入法和加减法解三元一次方程组。
2、通过对解三元一次方程组解法的进一步学习，提高逻辑思维能力，培养抽象概括的数学能力。
学习重点难点：三元一次方程组的解法及其步骤。
学习过程：
知识回顾
1、什么是三元一次方程组？三元一次方程组有哪些解法？其主要解题思想是什么？
求解方程组． 2.解方程组 分析：在这个方程组中，方程（1）只含有两个未知数x、z，所以只要由（2）（3）消去y，就可以得到只含有x，z的二元一次方程组． 解：（2）×3＋（3），得11x＋7z=29， （4） 把方程（1），（4）组成方程组 解这个方程组，得， 把x=-,z=5代入(2)得3(-)+2y+5=8,所以y= 因此，方程组的解是：
三、例题讲解
例1：解方程组 分析：用加减法解，应选择消去系数绝对值的最小公倍数最小的未知数. 解：（1）＋（3），得 5x+5y=25．（4） （2）＋（3）×2，得 5x+7y=31．（5） 由（4）与（5）组成方程组 解这个方程组，得 把x=2，y=3代入（1），得3×2+2×3＋z=13， 所以 z=1． 因此，方程组的解是 例题2： 解方程组 分析：题目中的y:x=3:2,即y= 法一：代入法 解：由（2）得x=y (4) 由（3）得z= (5) 将（4），（5）代入（1），得+y+y=111 所以 y=45． 把y=45分别代入（4）、（5），得x=30，z=36． 因此，方程组的解是 法二：技巧法 分析：y∶x=3∶2，即x∶y=2∶3=10∶15，而y∶z=5∶4=15∶12，故有x∶y∶z=10∶15∶12．因此，可设x=10k，y=15k，z=12k．将它们一起代入（1）中求出k值，从而求出x、y、z的值． 解：由（2），得x∶y=2∶3， 即x∶y=10∶15． 由（3），得y∶z=5∶4， 即y∶z=15∶12． 所以 x∶y∶z=10∶15∶12． 设x=10k，y=15k，z=12k，代入（1）中得10k+15k+12k=111， 所以 k=3． 故x=30，y=45，z=36． 因此，方程组的解是
四、同步训练 解方程组 分析： 1) 观察原方程组，我们准备先消去哪一个未知数？ 2) 为什么要先消去z?注意到三个方程中都含有三个未知数，而在方程(3)中z一项的系数是-1，所以未 知数z易消. 3) 怎样在(1)和(2)中消去z? 4) 解这个关于x、y的方程组，求x和y的值是多少？ 5) 怎样去求z的值？能不能把x=5, y=0代入(3)中去求z？ 解：(1)+(3)×4 得17x+5y=85 … (4) (3)×3-(2) 得7x-y=35 … (5) (4)、(5)组成方程组 解得 把x=5, y=0代入(3)，得15-z=18, 所以z=-3, 所以 五、课堂总结：解三元一次方程组的一般步骤： 1.利用代入法或加减法，把方程组中的某一个未知数消去，得到关于另外两个未知数的二元一次方程 组； 2.解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值； 3.将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； 4.解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； 5.将求得的三个未知数的值用“｛”合写在一起，即可. 六、强化练习： 1．解方程组 2．解方程组
3．已知方程组 的解使代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值.
7.4 实践与探索
第一课时
学习目标：
通过学生积极思考、互相讨论，经历探索事物之间的数量关系，形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。
重点、难点
重点：让学生实践与探索，运用二元一次方程组解决有关配套问题的应用题。
难点：寻找相等关系以及方程组的整数解问题。
学习过程
一、复习
列二元一次方程组解决实际问题的步骤是什么?其中什么是关键?
二、新授
问题1．第42页实践与探索中的第一个问题。
学生阅读教科书并与同伴讨论、交流，探索解题方法，鼓励学生多角度地思考，只要学生的方法有道理，就要给予肯定和鼓励。鼓励学生进行质问和大胆创新。
学生有困难，教师加以引导：
1．本题有哪些已知量?
(1)共有白卡纸20张。
(2)一张白卡纸可以做盒身2个或盒底盖3个。
(3)1个盒身与2个盒底盖配成一套。
2．求什么?
(1)用几张白卡纸做盒身?几张白卡纸做盒底盖?
3．若设用x张白卡纸做盒身，y张白卡纸做盒底盖。
那么可做盒身多少个?盒底盖多少个?
[2x个盒身，3y个盒底盖]
4．找出2个等量关系。
(1)用做盒身的白卡纸张数十用做盒底盖的自卡纸张数：20。
(2)已知(3)可知盒底盖的个数应该是盒身的2倍，才能使盒身和盒底盖正好配套。
根据题意，得
x+y＝20
3y=2×2x
解出这个方程组。
以上结果表明不允许剪开白卡纸，不能找到符合题意的分法。
如果允许剪开一张白卡纸，怎样才能既符合题意且能充分利用白卡纸呢?
用8张白卡纸做盒身，可做8×2二16(个)
用1l张白卡纸做盒底盖，可做3×11＝33(个)
将余下的l张白卡纸剪成两半，一半做盒身，另一半做盒底，一共
可做17个包装盒，较充分地利用了材料。
三、巩固练习
某农场300名职工耕种5l公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各种植物每公顷所需劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种
水稻
棉花
蔬菜
每公顷需劳动力
4人
8人
5人
每公顷需投入资金
1万元
1万元
2万元
已知该农场计划在设备上投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的设备资金正好够用?
先让学生自主探索，与伙伴交流。
对有困难的学生教师加以引导。(提问式)
1．本题中有哪些已知量?
(1)安排种三种农作物的人数共300名；
(2)安排种三种农作物的土地共51公顷；
(3)每种农作物每公顷所需要的职工数；
(4)每种农作物每公顷需要投入的资金；
(5)三种农作物需要的资金和为67万元。
2．求什么?
分别安排多少公顷种水稻，多少公顷种棉花，多少公顷种蔬菜?
如果设安排x公顷种水稻，y公顷种棉花，那么由已知(2)可知，种蔬菜有(51-x-y)公顷。
这样根据已知，(3)可得种水稻4x人，棉花8y人，蔬菜5(51-x-y)人. 根据已知(4)可得，种三种农作物所需的资金分别为x万元、y万元 2(51-x-y)万元已知量中的(1)、(5)就是两个等量关系
因此，列方程组
4x+8y+5(51-x-y)＝300
x+y+2(51-x-y)=67
本题也可以列三元一次方程组求解，若有学生尝试用这种方法，应给予鼓励，鼓励有余力的学生自己探索、研究、体会，不要求统一规定。
四、课堂总结：
列二元一次方程组解应用题的步骤。
1．审题，弄清题目中的数量关系，找出未知数，用x、y表示所要求的两个未知数。
2．找到能表示应用题全部含义的两个等量关系。
3．根据两个等量关系，列出方程组。
4．解方程组。
5．检验作答案。
五、作业设计
教科书习题7。4第1题。
第二课时
学习目标
让学生综合运用已有的知识，经过自主探索、互相交流．去尝试用二元一次方程组解决与生活密切相关的问题，在探索和解决问题的过程中获得体验，得到发展。
重点、难点
1．重点：让学生实践与探索，运用方程或方程组解决几何图形中的数量关系。
2．难点：寻找相等关系。
学习过程
一、复习提问
列二元一次方程组解决实际问题的步骤是什么？关键是什么?
二、新授
上一节课我们探索了2个与生活密切相关的问题，它们都可以利用二元一次方程组来解决。今天我们再宋探索一个有趣的问题。
请同学们打开课本第42页，阅读问题2。
让学生充分思考，并与伙伴交流后，教师可以提出以下问题：
这里讲的“其中的奥秘”，是指什么?
“奥秘”是指用这8块大小一样的矩形拼成的正方形，为什么中间会留下一个边长为2mm的小正方形的洞?其中的道理是什么?
教师可以作以下引导：
1．观察小明的拼图，你能发现小长方形的长xmm与宽ymm之间的数量关系吗?
(根据矩形的对边相等，得3x＝5y)
2．再观察小红的拼图，你能写出表示小矩形的长xmm与宽ymm的另一个关系式吗?
因为AB＝CD+DE+FG，所以有x+25y=2x+2
即2y-x＝2
解方程组 3x=5y
2y-x=2
8个小矩形的面积和＝8xy＝8×10×6=480(mm2)
大正方形的面积=(x+2y)2＝(10+2×6)2＝484(mm2)
484－480＝4＝22
因此小红拼出的大正方形中间还留下了一个恰好是边长为2mm的小正方形。
问题：有没有这样的8个大小一样的小矩形，既能拼成像小明那样成的大矩形，又能拼成一个没有空隙的正方形呢？
三、做一做。
把第6章实践与探索提出的问题，用本章的方法来处理，并比较两种，谈谈你的感受。
问题1：设长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意列方程组：
四、课堂小结
列二元一次方程组解应用题的步骤。
1．审题，弄清题目中的数量关系，找出未知数，用x、y表示所要求的两个未知数。
2．找到能表示应用题全部含义的两个等量关系。
3．根据两个等量关系，列出方程组。
4．解方程组。
5．检验作答案。
五、作业
教科书习题7.4第2题
本章小结与复习(一)
学习目标：
1．使学生对方程组以及方程组的解有进一步的理解，能灵活运用代人法和加减法解二元一次方程组，会解简单的三元一次方程组。
2、使学生进一步了解把“二元” 转化为“一元’’的消元思想，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把“复杂”转化为“简单”的思想方法。
重点、难点
1．重点：解二元一次方程组以及列方程组解应用题。
2．难点；找出等量关系列出二元一次方程组.
教学过程
一、复习小结
1.知识结构
二元一次方程，二元一次方程组，二元一次方程组的解法，三元一次方程组的解法
2．注意事项
(1)在实际问题中，常会遇到有多个未知量的问题，和一元一次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，要学会将实际问题转化为二元一次方程组，从而解决一些简单的实际问题。
(2)二元一次方程组的解法很多，但它的基本思想都是通过消元，转化为一元一次方程来解的，最常见的消元方法有代人法和加减法。一个方程组用什么方程来逐步消元，转化应根据它的特点灵活选定。
二、例题讲解
例1：判断下列方程是不是二元一次方程
思路分析：判断一个方程是否是二元一次方程需满足以下几条要求①含有两个未知数，②未知项的次数是“1”，③方程必须是整式方程。
解：（1）不是，x和y的次数都是2次，故不是。
（2）是，经过化解变成了2x-y=0，满足二元一次方程定义。
（3）不是，∵xy的次数是2；故不是。
（4）是，∵经过化简为x－y＝0，即符合二元一次方程定义。
（5）不是，∵含有三个未知数，同时未知项 次数为2；故不是。
（6）不是，∵不是整式，像这样分母中含有未知数的方程都不属于二元一次方程。
点评：要判断一个方程是不是二元一次方程要把它化解后是不是满足二元一次方程的定义。
练习：判断下列方程是不是二元一次方程，并说明理由。
（1） （2） （3）
（4） (5) (6)
例2.已知二元一次方程组 的解是,则a+b的值为________。
思路分析：根据方程组的定义，把x=2，y=1代入方程组，转化为关于a、b的方程组，解出a与b的值，问题就解决了，也可应用整体思想，直接求出a+b的值。
解：把x=2，y=1代入原方程组，
得
(1)+(2)得3(a+b)=9，∴a+b=3
点评：观察特点联系所求的问题，没必要求出a,b的值，而直接将（1）和（2）相加，提出公因数即可建立与问题相关的式子，从而使问题简单。这一类问题可以将问题与条件结合运用整体思想即可解决。
练习：（1）已知是方程组的解，求的值。
（2）已知二元一次方程组的解也满足方程组，试求a、b的值
例3 解方程组
思路分析：由于-6y和-6y相等，它们的差为0，所以将两个方程左、右两边分别相减就可以消去y，得3x=-9,解得x=-3,把x=-3代入（2），得y=- 8/3.
解： （1）-（2），得3x=-9,得x=-3，
把x=-3代入（2），得2 X (-3)-6y=10,得得y=- 8/3，
即原方程组的解
点评：当二元一次方程组中的同一个未知数系数相等时两式相减；当系数互为相反数时两式相加，就可以消去这个未知数，从而转化成一元一次方程。
练习：
1、解方程组（1） （2）
2．求二元一次方程3x+y＝10的正整数解。
分析：求二元一次方程的解的方法是用一个未知数表示另一个未知数，如y＝10-3x，给定x一个值，求出y的一个对应值，就可得到二元一次方程的一个解，而此题是对未知数x、y作了限制必须是正整数，也就是说对于给定的x可能是1、2、3、4…但是当x＝4时，y＝ 10-3×4=-2，y却不是正整数，因此x只能取正整数的一部分，即x= 1，x=2，x=3。
3．已知 x=1 2xn－m=5
y=2 是方程组 mx－ny=5的解，求m和n的值。
分析：因为，x=1，y＝2是方程组的解。
根据方程组解的定义和x=1，y＝2既满足方程①又满足方程②于是有：
2n-2m=5 ③
m+2n＝3 ④
四、课堂小结
1、解一次方程组两种基本方法，是代入法和加减法，解题中常用加减法，在某个未知数的系数为一1或-l时，可用代入法。解一次方程组时，应根据情况灵活运用两种方法。
2.列一次方程组解应用题，关键是寻找相等关系，设几个未知数，就要找出几个相等关系，并把这些相等关系转化为方程组。
小结与复习(二)
学习目标
通过列二元一次方程组解决实际问题，开发学生智力和培养学生理解能力，分析能力和逻辑推理能力以及培养创造性思维、用数学的意识。
重点：列二元一次方程组解应用题。
难点：间接设元以及找出2个等量关系。
一、复习
1．列二元一次方程组解应用题的步骤是什么?
2．如何设未知数?
我们已经知道，有两种设元方法——直接设元、间接设元。当直接设元不易列出方程时，用间接设元。
在列方程(组)的过程中，关键寻找出“等量关系”，根据等量关系，决定直接设元，还是间接设元。
3．通过列方程组来解某些实际问题，应注意检验和正确作答，检验不仅要检查求得的解是否适合方程组的每一个方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求。
例题讲解
例题1、A、B两地相距150千米，甲、乙两车分别从A、月两地同时出发，同向而行，甲车3小时可追上乙车；相向而行，两车1.5小时相遇，求甲、乙两车的速度。
分析：这里有两个未知数:甲、乙两车的速度；有两个相等关系：
(1)同向而行：甲3小时的行程＝乙3小时行程十150千米
(2)相向而行：甲1.5小时行程+乙1.5小时行程＝150千米
解设甲车的速度为x千米/时，乙车的速度为y千米/时。
根据题意，得
3x=3y+150
1.5x+1.5y=150
解这个方程组即可。
例题 2、一个三位数，各数位上的数字之和为13，十位上的数字比个位上的数字大2，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得新数比原来的三位数大99，求这个三位数。
分析：怎样设未知数?直接设可以吗?
这里有三个未知数——个位上的数字，百位上的数字及十位上数字，若用二元一次方程组求解，该怎样设未知数?
由“十位上数字比个位上的数字大2”，可设原三位数的个位上的数字为x，则十位上数字为x+2，另设百位上数字为y.
如何表示原三位数和新三位数?
100y+10(x+2)+x，l00x+l0(x+2)+y
2个等量关系是什么?
(1)百位上数字十十位上数字十个位上数字＝13
(2)新三位数一原三位数=99
根据题意，得
x+(x+2)+y=13
[100x+10(x+2)+y]-[100y+10(x+2)+x]=99
解这个方程组即可。
课堂练习
1、 鸡兔同笼：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四只足，问鸡兔各几何？
思路分析：首先要读懂这首诗，问题问的是鸡兔各有多少只，再分析题目，一只鸡一个头，一只兔子一个头，那么35个头说明鸡和兔子的总数是35只，一只鸡2条腿，一只兔子4条腿，那么94条腿说明鸡和兔子的腿的总数时94条，从而确定等量关系建立方程求解。
解：设鸡有x只，兔子有y只，根据题意列方程有
解得
答：鸡有23只，兔子有12只。
点评：分析问题读懂题意是解决问题的关键。
2、出租车收费标准为行程不超过3千米受起步价若干元，超过部分每千米多收若干元，某天老李第一次乘坐了8千米，花去12元，第二天乘坐了11千米，花去15.6元，问出租车的起步价是多少元？超过3千米后每千米多少元？
思路分析：等量关系是起步价+超过后的费用=总费用
解： 设出租车的起步价为x元，超过3千米后每千米y元。根据题意列出方程组，得 解得这个方程组，得
答：出租车的起步价是6元？超过3千米后每千米1.2元。
点评：不能认为老李第一次乘了8千米花去12元就是起步价。而应该两次都按上面的等量关系来列方程。也就是两个方程都用同一个等量关系来列方程组。
3、某公司有A、B、C三种型号的电脑，其价格为：A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元。某中学计划将100500元全部用于从该公司购买其中两种型号的电脑共36台。请你设计几种不同的方案供学校参考选择，并说明理由.
思路分析：本题是因为三选二，所以要考虑分类思考。只能选其中的两种。而这两种的台数之和为36台，并且走售价为100500，从而确定等量关系建立方程。
解：方案一 ：可设A型电脑x台，B型电脑y台。根据题意，得
解得 （舍去）
方案二： 设A型电脑m台，C型电脑n台，根据题意可得
解得
方案三： 设B型电脑为p台，C型电脑为q台，根据题意有
解得
所以：不能买A、B型电脑，可以购买A、C两种型号的电脑：A型3台，C型33台；可以购买B、C两种型号的电脑：B型7台，C型29台。
点评：共有三种不同的购买方案可供选择，即购买A、B型号，可购买A、C型号，B、C型号，然后逐一进行分析，得出与实际问题相符的结论。
四、课堂总结：
列方程解应用题的步骤和关键是什么？
作业设计：教科书第46页，第5、6、7题
课题：7.1 二元一次方程组和它的解
学习目标：
1．使学生了解二元一次方程，二元一次方程组的概念。
2．使学生了解二元一次方程；二元一次方程组的解的含义，会检验一对数是不是它们的解。
3．通过引例的教学，使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性。
重点、难点
1．重点：了解二元一次方程。二元一次方程组以及二元一次方程
组的解的含义，会检验一对数是否是某个二元一次方程组的解。
2．难点；了解二元一次方程组的解的含义。
学习过程
一．新旧知识回顾
1．下列方程中，是一元一次方程的有( )个。
2x-3y=6 ②x2-5x+6=0 ③3(x-2)=1-2x ④ ⑤3x-2(6-x)
2．看括号里的数是否是方程的解？
(1)y(2y－1)＝3 ｛－1、｝. (2)5(x－1)(x－2)＝0 ｛0、1、2｝.
二．探究归纳
请同学们看下面的方程：1、x十y=7 2、 3x+y=17
这两个方程有什么共同的特点?
(都含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1)
这两个方程与一元一次方程不同，每个方程都有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程，叫做二元一次方程。把这两个二元一次方程①、②合在一起，就组成了一个二元一次方程组。（实质上可能有两个以上的一次方程）
（结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的解释；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。）
三．典型例题
1、判断下列方程是否是二元一次方程，说明理由。
(1)2x-5=y （2）xy=2 (3) x2-y=12 (4) (5) (6)
注意：（1）只有整式方程才能称几元几次方程。
（2）未知数的次数是1是指含有未知数的项（单项式）的次数是1，不可理解为两个未知数的次数都是1，如：xy-2=0中，两个未知数的次数瓯都市1，但未知项xy次数是2，所以不是一元二次方程
2、二元一次方程的解（教科书第27页2题）
能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫二元一次方程的解。
注意：（1）一般情况下，一个二元一次方程的解有无数对。
（2）二元一次方程的解必需用大括号括起来。
一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
四．巩固练习
1．下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A．4y2-3x=28 B．y=5x C．2x=8 D．x2-y=12
2．下列方程组中，是二元一次方程组的有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可能是（ ）
A． B． C． D．
4．如果是方程ax-2axy=1的一个解，则a=______．
5．已知是方程组的解，则a+b=______．
6．若一个二元一次方程的一个解为，则这个方程可以是_______．
7．若方程x2m-1+5y3n-2m=7是二元一次方程，求m，n的值．M=_______，n=______。
五．知识延展
已知二元一次方程3x+y=10，（1）用含x的代数式表示y，则y=________________（2）用含y的代数式表示x,则x=_______________（3）求此方程的所有自然数解．_____________________。
六．小结
1．什么是二元一次方程，什么是二元一次方程组?
2．什么是二元一次方程组的解?如何检验一对数是不是某个方程组的解?
七．作业设计
教科书第26页 习题7.1全部。
课题：7.2 二元一次方程组的解法
第一课时（代入消元法1）
学习目标：
1．使学生通过探索，逐步发现解方程组的基本思想是“消元”，化二元——次方程组为一元一次方程。
2．使学生了解“代人消元法”，并掌握直接代入消元法。
3．通过代入消元，使学生初步理解把“未知”转化为“已知”，和复杂问题转化为简单问题的思想方法。
重点、难点
1．重点；二元一次方程组的解法（代入法）
2．难点：用代入法求出一个未知数值后，把它代入哪个方程求另一个未知数值较简便。
学习过程：
板书课题，揭示目标
今天我们来学习“7．2．1消元_____二元一次方程组的解法（代入法）”，
本节课的学习目标为：
用含一个未知数的式子表示另一个未知数；
用代入消元法解二元一次方程组。
知识回顾
1、判断下列方程组中哪些是二元一次方程组？
⑴ ⑵ ⑶
⑷ （5）
：二元一次方程组的判断包含三点：（1）含有两个未知数且含未知项的次数是1；（2）整式方程组；（3）可能含有两个以上的一次方程。
2、用检验的方法找出方程 x＋y＝7， ①的解。（ ）
3x＋y＝17. ②
A、 B、 C 、 2 D、
自学探究
1、把下列方程写成用含的式子表示的形式：
，y= ____________
，y=
2x+3y=6 ， y= __________
2、想一想上面2题的方程如何解？（学生讨论试着做后，教师板书）
以上的练习，通过“代入”消去一个未知数, 就把二元一次方程转化成了一元一次方程，这种解法叫做代入消元法, 简称代入法. 解方程组的基本思想方法就是“消元”.
四、例题精讲
例1、解下列方程组：
（1） （2）
同步训练1：
(1)； (2)； (3)；
(4) （5）
2：教科书29页练习
五、知识拓展：
1、、若和是同类项，则m= ，n= .
2、若，则x= ，y=
3．若方程x2m-1+5y3n-2m=7是二元一次方程，求m，n的值。
六、交流反思
对于一般形式的二元一次方程组用代入法求解的关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错，选取的原则是：
1、选择未知数的系数是1或-1的方程；
2、若未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程，将要消的元用含另一个未知数的代数式表示，再把它代入没有变形的方程中去。这样就把二元一次方程组转化为一元一次方程了。
七、作业设计：实践与探究相应习题。
第二课时（代入消元法2）
学习目标：
1．使学生进一步理解代人消元法的基本思想和代入法解题的一般步骤。
2．让学生在实践中去体会根据方程组未知数系数的特点，选择较为合理、简单的表示方法，将一个未知数表示另一个未知数。
重点、难点
1．重点：熟练地用代人法解一般形式的二元一次方程组。
2．难点：准确地把二元一次方程组转化为一元一次方程。
学习过程：
一、 回顾旧知识
1．解方程组 2x+5y=-2（1）思考：如何求解?关键是什么?解题步骤是什么? （让学生独立解答回答）
x=8-3y （2）
2．把方程2x-7y＝8 (1)写成用含x的代数式表示y的形式，y=_____________ (2)写成用含y的代数式表示x的形式，x=__________________。
二、探究归纳
2x-7y=8 ①
例：解方程 3x-8y-10=0 ②
分析：这两个方程中未知数的系数都不是l，那么如何求解呢?消哪一个未知数呢?
如果将①写成用一个未知数来表示另一个未知数的形式，那么用x表示 y，还是用y表示x好呢?(让学生自己探索、归纳)
因为x的系数为正数，且系数也较小，所以应用y来表示x较好。
尝试解答。教师板书解方程的过程。
这里是消去x，得关于y的一元二次方程，能否消去y呢?让学生
试一试，然后通过比较，使学生明白本题消x较简单。
三、巩固练习
教科书第30页，练习1、2
四、小结
对于一般形式的二元一次方程用代入法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取得恰当往往会使计算简单，而且不易出错，选取的原则是：
1．选择未知数的系数是1或－l的方程；
2．若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程， 将要消的元用含另一个未知数的代数式表示，再把它代人没有变形的方程中去。这样就把二元一次方程组转化为一元一次方程了。
对运算的结果养成检验的习惯。
五、作业设计
用代入消元法解下列方程组。
（1）、 (2) (3)
第三课时（加减消元法）
学习目标：
1．使学生进一步理解解方程组的消元思想。
2．使学生了解加减法是消元法的又一种基本方法，并使他们会用加减法解一些简单的二元一次方程组。
重点、难点
1，重点：用加减法解二元一次方程组。
2．难点：两个方程相减消元时对被减的方程各项符号要做变号处理。
学习过程
一、回顾旧知识
1．解二元一次方程组的基本思想是什么?（学生思考回答：消元）
2．用代人法解方程组
3x+5y=5 ①
3x-4y=23 ②
学生口述解题过程，教师板书。
二、新授
对复习2的反思并引入新课。
用代入法解二元一次方程的基本思想是消元，只有消去一个未知数，才能把二元转化为熟悉的一元方程求解，为了消元，除了代入法还有其他的方法吗?(让学生主动探求解法，适当时教师可作以下引导)
观察方程组在这个方程组中，未知数x的系数有什么特点?怎样才能把这个未知数消去?你的根据是什么?
这两个方程中未知数x的系数相同，都是3，只要把这两个方程的左边与左边相减、右边与右边相减，就能消去x从而把它转化为一元一次方程。把方程①两边分别减去方程②的两边，相当于把方程①的两边分别减去两个相等的整式。
为了避免符号上的错误 (3x+5y)-(3x-4y)=5-23
板书示范时可以如下： 3x+5y-3x+4y=-18
解：把①－②得 9y＝－18
y=－2
把y＝－2代入①，得 3x+5×(－2)=5
解得 x=5
∴ x＝5 这结果与用代入法解的结果一样
y=－2 也可以通过检验
从上面的解答过程中，你发现了二元一次方程组的新解法吗？让学生自己概括一下，得到新解法：加减消元法的思想。
例2.解方程组 3x+7y=9 ①
4x-7y=5 ②
怎样解这个方程组呢?用什么方法消去一个未知数?先消哪个未知数比较方便？
①+②，得 7x=14 ［ 两个方程中，未知数y的系数是互为相反
x=2 数，而互为相反数的和为零，所以应把方程
将x=2代入①，得 ①的两边分别加上方程②的两边］
6+7y＝9
y＝
∴ x＝2
y＝
以上两个例子是通过将两个方程相加(或相减)，消去一个未知数，将 方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫加减消元法，简称加减法。
三、随堂练习
教科书第30页，练习1、2。
四、知识延伸
1、（一题多变题）解方程组
（1）一变：若xa-b-2ya+b-2=5是二元一次方程，求a，b的值．
（2）二变：若（a-b-1）2+│a+b-3│=0，求a，b的值．
（3）三变：若是关于x，y的方程组的解，求a，b的值．
（4）四变：若单项式-3xa-by3与xya+b是同类项，求a，b的值．
2、（巧题妙解题）解方程组
四、小结
今天我们又学习了解二元一次方程组的另一种方法______加减消元法，它是通过把两个方程两边相加(或相减)消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程。请同学们归纳一下，什么样的方程组用“代入法”，什么样的方程组用“加减法”。选择合适的方法解方程组很关键。
作业设计
实践与探究相应习题
第四课时（加减消元法）
学习目标：
使学生了解用加减法解二元一次方程组的一般步骤，能熟练地用加减法解较复杂的二元一次方程组。
重点、难点：
1．重点：将方程组化成两个方程中的某一未知数的系数的绝对值相等。
2．难点：将方程组化成两个方程中的某一未知数的系数的绝对值相等。
学习过程
一、复习
下列方程组用加减法可消哪一个元，如何消元，消元后的一元一次方程是什么?（学生回答，在写出解答过程，请学生在演示）
3x+4y＝-3.4 4x－2y＝5.6
6x-4y＝5.2 7x－2y＝7.7
二、新授
例l.解方程组 9x+2y=15 ①
3x+4y=10 ②
分析如果用加减法解，直接把两个方程的两边相减能消去一个未知数吗?如果不行，那该怎么办呢?
当两个方程中某个未知数系数的绝对值相等时，可用加减法求解，你有办法将两个方程中的某个系数变相同或相反吗?
方程②中y的系数是方程①中y系数的2倍，所以只要将①×2
例2．解方程组
3x－4y＝10 ①
15x+6y＝42 ②
这个方程组中两个方程的x,y系数都不是整数倍。那么如何把其中一个未知数的系数变为绝对值相等呢?该消哪一个元比较简便呢?(让学生自主探索怎样适当地把方程变形，才能转化为例3或例4那样的情形。)
分析：(1)若消y，两个方程未知数y系数的绝对值分别为4、6，要使它们变成12(4与6的最小公倍数)，只要①×3，②×2(2)若消x，只要使工的系数的绝对值等于15。(3与5的最小公倍数，因此只要①×3，②×2)
请同学们用加减法解本节例2中的方程组。
2x－7y＝8
3x－8y－10＝0
做完后，并比较用加减法和代人法解，哪种方法方便?
教师讲评：应先整理为一般式。
三、巩固练习
1、用加减法解下列方程组： 7x－2y=－3??? 6x－5y=3???? m－n=5??????? 2x－3y = 9 9x+2y=－19??? 6x+y=－15??? 3m－n=－1???? 3x=3y－11
2、教科书32页1、2、3、4
四、小结（教师说出条件部分，学生回答结论部分)。
加减法解二元一次方程组，两方程中若有一个未知数系数的绝对值相等，可直接加减消元；若同一未知数的系数绝对值不等，则应选一个或两个方程变形，使一个未知数的系数的绝对值相等，然后再直接用加减法求解；若方程组比较复杂，应先化简整理。
作业设计
实践与探究相应习题
第五课时(习题课)
学习目标：
1．使学生进一步理解二元一次方程(组)的解的概念。
2．使学生能够根据题目特点熟练地选用代入法或加减法解二元一次方程组。
学习过程
一、复习知识点
1．什么是二元一次方程，二元一次方程组以及它的解?
2．解二元一次方程组有哪两种方法?它们的解题思想是什么?
3．举例说明解二元一次方程组什么情况下用代人法，什么情况下用加减法?
[当方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值为l或有一个方程的常数项是。时，用代人法；当两个方程中某人未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法。)
二、课堂练习
1．方程2x+39＝3与下面哪个方程所组成的方程组的解是
x=3
y＝－1( )
A．41+6y=－6 B．x－2y=5
C．3x＋4y＝4 D．以上都不对
2．方程组 3x－7y=7的解是否满足方程2x+3y＝－5？
5x＋2y=2
3．解下列方程组应消哪个元，用哪一种方法较简便?
（1）、 （ 2）、
（3）、 （4）、
（5）、 （6）、
（7）、
三、作业设计：教科书第36页习题1.题
第六课时
学习目标：
1．使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用。
2．通过应用题的教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性，体会列方程组往往比列一元一次方程容易。
3．进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力。
重点、难点、关键：
1、重、难点：根据题意，列出二元一次方程组。
2、关键：正确地找出应用题中的两个等量关系，并把它们列成方程。
学习过程：
一、回顾旧知识
我们已学习了列一元一次方程解决实际问题，大家回忆列方程解应用题的步骤，其中关键步骤是什么?
[审题；设未知数；列方程；解方程；检验并作答。关键是审题，寻找出等量关系]
在本节开头我们已借助列二元一次方程组解决了有2个未知数的实际问题。大家已初步体会到：对两个未知数的应用题列一次方程组往往比列一元一次方程要容易一些。
二、新授
例l：某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售，该公司的加工能力是：每天精加工6吨或者粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务?如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元?
分析：解决这个问题的关键是先解答前一个问题，即先求出安排精加和粗加工的天数，如果我们用列方程组的办法来解答。
可设应安排x天精加工，y加粗加工，那么要找出能反映整个题意的两个等量关系。引导学生寻找等量关系。
(1)精加工天数与粗加工天数的和等于15天。
(2)精加工蔬菜的吨数与粗加工蔬菜的吨数和为140吨。
指导学生列出方程。对于有困难的学生也可以列表帮助分析。
变式训练：
有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.50吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。
求：3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨?
分析：要解决这个问题的关键是求每辆大车和每辆小车一次可运货多少吨?
如果设一辆大车每次可以运货x吨，一辆小车每次可以运货y吨，那么能反映本题意的两个等量头条是什么？
指导学生分析出等量关系。
（1） 2辆大车一次运货＋3辆小车一次运货＝15.5
（2） 5辆大车一次运货＋6辆小车一次运货＝35
根据题意，列出方程，并解答。教师指导。
三、巩固练习
教科书第36页练习l、2、3。
四、课堂小结
列二元一次方程组解应用题的步骤。
1．审题，弄清题目中的数量关系，找出未知数，用x、y表示所要求的两个未知数。
2．找到能表示应用题全部含义的两个等量关系。
3．根据两个等量关系，列出方程组。
4．解方程组。
5．检验作答案。
五、作业设计
1．教科书第36页，习题7.2第2、3、4题。
7、3三元一次方程组及其解法（1）
学习目标： 1、了解三元一次方程组的概，并会用概念解相关习题。
2、会解三元一次方程组。
3、通过解三元一次方程组的学习，提高逻辑思维能力，培养抽象概括的数学能力。 重点、难点： 三元一次方程组的解法以及解题的技巧． 学习过程：
一、复习
1、二元一次方程组的概念？有哪些解法？解题思想和关键是什么？
下列方程中，不是二元一次方程的是（ ）
A、2x+y=3 B、3a-2=4b C、 D、2b=3a
2、用代入法解方程组 ② 中，将①变形正确的是（ ）
A、y = 2x + 1 B、y = 1－2x
C、y = －2x －1 D、y = 2 x － 1
3、用加减法解方程组中，消x用（ ）法，消y用（ ）法
A、加，加 B、加，减 C、减，加 D、减，减
二、探究归纳：
1、三元一次方程的概念：
观察方程组：x+y+z=10 (1)
3x+y=18 (2)
X=y+z (3)
上面的方程具有什么特点？有几个未知数？未知数系数都是什么？像这样的方程我们可以叫什么方程？ 像上面这个方程，就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.如x+y-z=1, 2a-3b+c=0等都是三元一次方程。 2、三元一次方程组的概念： 一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 例如， 等都是三元一次方程组. 3.三元一次方程组的解法： （1）解三元一次方程组的基本思想 解二元一次方程组的基本思想是消元，即把二元一次方程转化为一元一次方程求解，由此可以联想解三元一次方程组的基本思想也是消元，一般地，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数. （2）怎样解三元一次方程组？
三、例题讲解和练习：
1.解方程组 法一：代入法 分析：仿照前面学过的代入法，将（2）变形后代入（1）、（3）中消元，再求解． 解：由（2），得 x=y+1． （4） 将（4）分别代入（1）、（3）得 解这个方程组，得 把y=9代入（4），得x=10． 因此，方程组的解是 法二：加减法 解：（3）-（1），得 x-2y=-8 （4） 由（2），（4）组成方程组 解这个方程组，得 把x=10，y=9代入（1）中，得 z=7． 因此，方程组的解是 法三：技巧法 分析：发现（1）＋（2）所得的方程中x与z的系数与方程（3）中x与z的系数分别对应相等，因此可由（1）+（2）-（3）直接得到关于y的一元一次方程，求出y值后再代回，即可得到关于x、y的二元一次方程组 解：由（1）＋（2）-（3），得 y=9． 把y=9代入（2），得 x=10． 把x=10，y=9代入（1），得 z=7． 因此，方程组的解是 注意： （1）解答完本题后，应提醒同学们不要忘记检验，但检验过程一般不写出. （2）从上述问题的一题多解，使我们体会到，灵活运用代入法或加减法消元，将有助于我们迅速准确
四、课堂小结：
（1）三元一次方程及三元一次方程组的概念。三元一次方程组的解法和解题思想（代入法和加减法，思想都是消元）
（2）解三元一次方程组的解题技巧
五、作业设计：教科书46页复习题 1、2、3题
7、3三元一次方程组及其解法（2）
学习目标：
1、会熟练的用代入法和加减法解三元一次方程组。
2、通过对解三元一次方程组解法的进一步学习，提高逻辑思维能力，培养抽象概括的数学能力。
学习重点难点：三元一次方程组的解法及其步骤。
学习过程：
知识回顾
1、什么是三元一次方程组？三元一次方程组有哪些解法？其主要解题思想是什么？
求解方程组． 2.解方程组 分析：在这个方程组中，方程（1）只含有两个未知数x、z，所以只要由（2）（3）消去y，就可以得到只含有x，z的二元一次方程组． 解：（2）×3＋（3），得11x＋7z=29， （4） 把方程（1），（4）组成方程组 解这个方程组，得， 把x=-,z=5代入(2)得3(-)+2y+5=8,所以y= 因此，方程组的解是：
三、例题讲解
例1：解方程组 分析：用加减法解，应选择消去系数绝对值的最小公倍数最小的未知数. 解：（1）＋（3），得 5x+5y=25．（4） （2）＋（3）×2，得 5x+7y=31．（5） 由（4）与（5）组成方程组 解这个方程组，得 把x=2，y=3代入（1），得3×2+2×3＋z=13， 所以 z=1． 因此，方程组的解是 例题2： 解方程组 分析：题目中的y:x=3:2,即y= 法一：代入法 解：由（2）得x=y (4) 由（3）得z= (5) 将（4），（5）代入（1），得+y+y=111 所以 y=45． 把y=45分别代入（4）、（5），得x=30，z=36． 因此，方程组的解是 法二：技巧法 分析：y∶x=3∶2，即x∶y=2∶3=10∶15，而y∶z=5∶4=15∶12，故有x∶y∶z=10∶15∶12．因此，可设x=10k，y=15k，z=12k．将它们一起代入（1）中求出k值，从而求出x、y、z的值． 解：由（2），得x∶y=2∶3， 即x∶y=10∶15． 由（3），得y∶z=5∶4， 即y∶z=15∶12． 所以 x∶y∶z=10∶15∶12． 设x=10k，y=15k，z=12k，代入（1）中得10k+15k+12k=111， 所以 k=3． 故x=30，y=45，z=36． 因此，方程组的解是
四、同步训练 解方程组 分析： 1) 观察原方程组，我们准备先消去哪一个未知数？ 2) 为什么要先消去z?注意到三个方程中都含有三个未知数，而在方程(3)中z一项的系数是-1，所以未 知数z易消. 3) 怎样在(1)和(2)中消去z? 4) 解这个关于x、y的方程组，求x和y的值是多少？ 5) 怎样去求z的值？能不能把x=5, y=0代入(3)中去求z？ 解：(1)+(3)×4 得17x+5y=85 … (4) (3)×3-(2) 得7x-y=35 … (5) (4)、(5)组成方程组 解得 把x=5, y=0代入(3)，得15-z=18, 所以z=-3, 所以 五、课堂总结：解三元一次方程组的一般步骤： 1.利用代入法或加减法，把方程组中的某一个未知数消去，得到关于另外两个未知数的二元一次方程 组； 2.解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值； 3.将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； 4.解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； 5.将求得的三个未知数的值用“｛”合写在一起，即可. 六、强化练习： 1．解方程组 2．解方程组
3．已知方程组 的解使代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值.
7.4 实践与探索
第一课时
学习目标：
通过学生积极思考、互相讨论，经历探索事物之间的数量关系，形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。
重点、难点
重点：让学生实践与探索，运用二元一次方程组解决有关配套问题的应用题。
难点：寻找相等关系以及方程组的整数解问题。
学习过程
一、复习
列二元一次方程组解决实际问题的步骤是什么?其中什么是关键?
二、新授
问题1．第42页实践与探索中的第一个问题。
学生阅读教科书并与同伴讨论、交流，探索解题方法，鼓励学生多角度地思考，只要学生的方法有道理，就要给予肯定和鼓励。鼓励学生进行质问和大胆创新。
学生有困难，教师加以引导：
1．本题有哪些已知量?
(1)共有白卡纸20张。
(2)一张白卡纸可以做盒身2个或盒底盖3个。
(3)1个盒身与2个盒底盖配成一套。
2．求什么?
(1)用几张白卡纸做盒身?几张白卡纸做盒底盖?
3．若设用x张白卡纸做盒身，y张白卡纸做盒底盖。
那么可做盒身多少个?盒底盖多少个?
[2x个盒身，3y个盒底盖]
4．找出2个等量关系。
(1)用做盒身的白卡纸张数十用做盒底盖的自卡纸张数：20。
(2)已知(3)可知盒底盖的个数应该是盒身的2倍，才能使盒身和盒底盖正好配套。
根据题意，得
x+y＝20
3y=2×2x
解出这个方程组。
以上结果表明不允许剪开白卡纸，不能找到符合题意的分法。
如果允许剪开一张白卡纸，怎样才能既符合题意且能充分利用白卡纸呢?
用8张白卡纸做盒身，可做8×2二16(个)
用1l张白卡纸做盒底盖，可做3×11＝33(个)
将余下的l张白卡纸剪成两半，一半做盒身，另一半做盒底，一共
可做17个包装盒，较充分地利用了材料。
三、巩固练习
某农场300名职工耕种5l公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各种植物每公顷所需劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种
水稻
棉花
蔬菜
每公顷需劳动力
4人
8人
5人
每公顷需投入资金
1万元
1万元
2万元
已知该农场计划在设备上投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的设备资金正好够用?
先让学生自主探索，与伙伴交流。
对有困难的学生教师加以引导。(提问式)
1．本题中有哪些已知量?
(1)安排种三种农作物的人数共300名；
(2)安排种三种农作物的土地共51公顷；
(3)每种农作物每公顷所需要的职工数；
(4)每种农作物每公顷需要投入的资金；
(5)三种农作物需要的资金和为67万元。
2．求什么?
分别安排多少公顷种水稻，多少公顷种棉花，多少公顷种蔬菜?
如果设安排x公顷种水稻，y公顷种棉花，那么由已知(2)可知，种蔬菜有(51-x-y)公顷。
这样根据已知，(3)可得种水稻4x人，棉花8y人，蔬菜5(51-x-y)人. 根据已知(4)可得，种三种农作物所需的资金分别为x万元、y万元 2(51-x-y)万元已知量中的(1)、(5)就是两个等量关系
因此，列方程组
4x+8y+5(51-x-y)＝300
x+y+2(51-x-y)=67
本题也可以列三元一次方程组求解，若有学生尝试用这种方法，应给予鼓励，鼓励有余力的学生自己探索、研究、体会，不要求统一规定。
四、课堂总结：
列二元一次方程组解应用题的步骤。
1．审题，弄清题目中的数量关系，找出未知数，用x、y表示所要求的两个未知数。
2．找到能表示应用题全部含义的两个等量关系。
3．根据两个等量关系，列出方程组。
4．解方程组。
5．检验作答案。
五、作业设计
教科书习题7。4第1题。
第二课时
学习目标
让学生综合运用已有的知识，经过自主探索、互相交流．去尝试用二元一次方程组解决与生活密切相关的问题，在探索和解决问题的过程中获得体验，得到发展。
重点、难点
1．重点：让学生实践与探索，运用方程或方程组解决几何图形中的数量关系。
2．难点：寻找相等关系。
学习过程
一、复习提问
列二元一次方程组解决实际问题的步骤是什么？关键是什么?
二、新授
上一节课我们探索了2个与生活密切相关的问题，它们都可以利用二元一次方程组来解决。今天我们再宋探索一个有趣的问题。
请同学们打开课本第42页，阅读问题2。
让学生充分思考，并与伙伴交流后，教师可以提出以下问题：
这里讲的“其中的奥秘”，是指什么?
“奥秘”是指用这8块大小一样的矩形拼成的正方形，为什么中间会留下一个边长为2mm的小正方形的洞?其中的道理是什么?
教师可以作以下引导：
1．观察小明的拼图，你能发现小长方形的长xmm与宽ymm之间的数量关系吗?
(根据矩形的对边相等，得3x＝5y)
2．再观察小红的拼图，你能写出表示小矩形的长xmm与宽ymm的另一个关系式吗?
因为AB＝CD+DE+FG，所以有x+25y=2x+2
即2y-x＝2
解方程组 3x=5y
2y-x=2
8个小矩形的面积和＝8xy＝8×10×6=480(mm2)
大正方形的面积=(x+2y)2＝(10+2×6)2＝484(mm2)
484－480＝4＝22
因此小红拼出的大正方形中间还留下了一个恰好是边长为2mm的小正方形。
问题：有没有这样的8个大小一样的小矩形，既能拼成像小明那样成的大矩形，又能拼成一个没有空隙的正方形呢？
三、做一做。
把第6章实践与探索提出的问题，用本章的方法来处理，并比较两种，谈谈你的感受。
问题1：设长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意列方程组：
四、课堂小结
列二元一次方程组解应用题的步骤。
1．审题，弄清题目中的数量关系，找出未知数，用x、y表示所要求的两个未知数。
2．找到能表示应用题全部含义的两个等量关系。
3．根据两个等量关系，列出方程组。
4．解方程组。
5．检验作答案。
五、作业
教科书习题7.4第2题
本章小结与复习(一)
学习目标：
1．使学生对方程组以及方程组的解有进一步的理解，能灵活运用代人法和加减法解二元一次方程组，会解简单的三元一次方程组。
2、使学生进一步了解把“二元” 转化为“一元’’的消元思想，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把“复杂”转化为“简单”的思想方法。
重点、难点
1．重点：解二元一次方程组以及列方程组解应用题。
2．难点；找出等量关系列出二元一次方程组.
教学过程
一、复习小结
1.知识结构
二元一次方程，二元一次方程组，二元一次方程组的解法，三元一次方程组的解法
2．注意事项
(1)在实际问题中，常会遇到有多个未知量的问题，和一元一次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，要学会将实际问题转化为二元一次方程组，从而解决一些简单的实际问题。
(2)二元一次方程组的解法很多，但它的基本思想都是通过消元，转化为一元一次方程来解的，最常见的消元方法有代人法和加减法。一个方程组用什么方程来逐步消元，转化应根据它的特点灵活选定。
二、例题讲解
例1：判断下列方程是不是二元一次方程
思路分析：判断一个方程是否是二元一次方程需满足以下几条要求①含有两个未知数，②未知项的次数是“1”，③方程必须是整式方程。
解：（1）不是，x和y的次数都是2次，故不是。
（2）是，经过化解变成了2x-y=0，满足二元一次方程定义。
（3）不是，∵xy的次数是2；故不是。
（4）是，∵经过化简为x－y＝0，即符合二元一次方程定义。
（5）不是，∵含有三个未知数，同时未知项 次数为2；故不是。
（6）不是，∵不是整式，像这样分母中含有未知数的方程都不属于二元一次方程。
点评：要判断一个方程是不是二元一次方程要把它化解后是不是满足二元一次方程的定义。
练习：判断下列方程是不是二元一次方程，并说明理由。
（1） （2） （3）
（4） (5) (6)
例2.已知二元一次方程组 的解是,则a+b的值为________。
思路分析：根据方程组的定义，把x=2，y=1代入方程组，转化为关于a、b的方程组，解出a与b的值，问题就解决了，也可应用整体思想，直接求出a+b的值。
解：把x=2，y=1代入原方程组，
得
(1)+(2)得3(a+b)=9，∴a+b=3
点评：观察特点联系所求的问题，没必要求出a,b的值，而直接将（1）和（2）相加，提出公因数即可建立与问题相关的式子，从而使问题简单。这一类问题可以将问题与条件结合运用整体思想即可解决。
练习：（1）已知是方程组的解，求的值。
（2）已知二元一次方程组的解也满足方程组，试求a、b的值
例3 解方程组
思路分析：由于-6y和-6y相等，它们的差为0，所以将两个方程左、右两边分别相减就可以消去y，得3x=-9,解得x=-3,把x=-3代入（2），得y=- 8/3.
解： （1）-（2），得3x=-9,得x=-3，
把x=-3代入（2），得2 X (-3)-6y=10,得得y=- 8/3，
即原方程组的解
点评：当二元一次方程组中的同一个未知数系数相等时两式相减；当系数互为相反数时两式相加，就可以消去这个未知数，从而转化成一元一次方程。
练习：
1、解方程组（1） （2）
2．求二元一次方程3x+y＝10的正整数解。
分析：求二元一次方程的解的方法是用一个未知数表示另一个未知数，如y＝10-3x，给定x一个值，求出y的一个对应值，就可得到二元一次方程的一个解，而此题是对未知数x、y作了限制必须是正整数，也就是说对于给定的x可能是1、2、3、4…但是当x＝4时，y＝ 10-3×4=-2，y却不是正整数，因此x只能取正整数的一部分，即x= 1，x=2，x=3。
3．已知 x=1 2xn－m=5
y=2 是方程组 mx－ny=5的解，求m和n的值。
分析：因为，x=1，y＝2是方程组的解。
根据方程组解的定义和x=1，y＝2既满足方程①又满足方程②于是有：
2n-2m=5 ③
m+2n＝3 ④
四、课堂小结
1、解一次方程组两种基本方法，是代入法和加减法，解题中常用加减法，在某个未知数的系数为一1或-l时，可用代入法。解一次方程组时，应根据情况灵活运用两种方法。
2.列一次方程组解应用题，关键是寻找相等关系，设几个未知数，就要找出几个相等关系，并把这些相等关系转化为方程组。
小结与复习(二)
学习目标
通过列二元一次方程组解决实际问题，开发学生智力和培养学生理解能力，分析能力和逻辑推理能力以及培养创造性思维、用数学的意识。
重点：列二元一次方程组解应用题。
难点：间接设元以及找出2个等量关系。
一、复习
1．列二元一次方程组解应用题的步骤是什么?
2．如何设未知数?
我们已经知道，有两种设元方法——直接设元、间接设元。当直接设元不易列出方程时，用间接设元。
在列方程(组)的过程中，关键寻找出“等量关系”，根据等量关系，决定直接设元，还是间接设元。
3．通过列方程组来解某些实际问题，应注意检验和正确作答，检验不仅要检查求得的解是否适合方程组的每一个方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求。
例题讲解
例题1、A、B两地相距150千米，甲、乙两车分别从A、月两地同时出发，同向而行，甲车3小时可追上乙车；相向而行，两车1.5小时相遇，求甲、乙两车的速度。
分析：这里有两个未知数:甲、乙两车的速度；有两个相等关系：
(1)同向而行：甲3小时的行程＝乙3小时行程十150千米
(2)相向而行：甲1.5小时行程+乙1.5小时行程＝150千米
解设甲车的速度为x千米/时，乙车的速度为y千米/时。
根据题意，得
3x=3y+150
1.5x+1.5y=150
解这个方程组即可。
例题 2、一个三位数，各数位上的数字之和为13，十位上的数字比个位上的数字大2，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得新数比原来的三位数大99，求这个三位数。
分析：怎样设未知数?直接设可以吗?
这里有三个未知数——个位上的数字，百位上的数字及十位上数字，若用二元一次方程组求解，该怎样设未知数?
由“十位上数字比个位上的数字大2”，可设原三位数的个位上的数字为x，则十位上数字为x+2，另设百位上数字为y.
如何表示原三位数和新三位数?
100y+10(x+2)+x，l00x+l0(x+2)+y
2个等量关系是什么?
(1)百位上数字十十位上数字十个位上数字＝13
(2)新三位数一原三位数=99
根据题意，得
x+(x+2)+y=13
[100x+10(x+2)+y]-[100y+10(x+2)+x]=99
解这个方程组即可。
课堂练习
1、 鸡兔同笼：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四只足，问鸡兔各几何？
思路分析：首先要读懂这首诗，问题问的是鸡兔各有多少只，再分析题目，一只鸡一个头，一只兔子一个头，那么35个头说明鸡和兔子的总数是35只，一只鸡2条腿，一只兔子4条腿，那么94条腿说明鸡和兔子的腿的总数时94条，从而确定等量关系建立方程求解。
解：设鸡有x只，兔子有y只，根据题意列方程有
解得
答：鸡有23只，兔子有12只。
点评：分析问题读懂题意是解决问题的关键。
2、出租车收费标准为行程不超过3千米受起步价若干元，超过部分每千米多收若干元，某天老李第一次乘坐了8千米，花去12元，第二天乘坐了11千米，花去15.6元，问出租车的起步价是多少元？超过3千米后每千米多少元？
思路分析：等量关系是起步价+超过后的费用=总费用
解： 设出租车的起步价为x元，超过3千米后每千米y元。根据题意列出方程组，得 解得这个方程组，得
答：出租车的起步价是6元？超过3千米后每千米1.2元。
点评：不能认为老李第一次乘了8千米花去12元就是起步价。而应该两次都按上面的等量关系来列方程。也就是两个方程都用同一个等量关系来列方程组。
3、某公司有A、B、C三种型号的电脑，其价格为：A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元。某中学计划将100500元全部用于从该公司购买其中两种型号的电脑共36台。请你设计几种不同的方案供学校参考选择，并说明理由.
思路分析：本题是因为三选二，所以要考虑分类思考。只能选其中的两种。而这两种的台数之和为36台，并且走售价为100500，从而确定等量关系建立方程。
解：方案一 ：可设A型电脑x台，B型电脑y台。根据题意，得
解得 （舍去）
方案二： 设A型电脑m台，C型电脑n台，根据题意可得
解得
方案三： 设B型电脑为p台，C型电脑为q台，根据题意有
解得
所以：不能买A、B型电脑，可以购买A、C两种型号的电脑：A型3台，C型33台；可以购买B、C两种型号的电脑：B型7台，C型29台。
点评：共有三种不同的购买方案可供选择，即购买A、B型号，可购买A、C型号，B、C型号，然后逐一进行分析，得出与实际问题相符的结论。
四、课堂总结：
列方程解应用题的步骤和关键是什么？
作业设计：教科书第46页，第5、6、7题