第十八章 勾股定理全章学案

第十八章 勾股定理
18.1勾股定理
第一课时
一、自主学习：
●目标导学
1.经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
●自学生疑
1、勾股定理：
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c。那么 。
2、我国古代称直角三角形的较短的直角边为 ，较长的直角边为 ，斜边为 ，这就是勾股定理的由来．
3、如图,字母B所代表的正方形的面积是 ( )
A. 12 B. 13 C. 144 D. 194

4、在△ABC中，∠C=90°，
（1）若a=3，b=4，则c=_________________；
（2）若a=6，c=10，则b=_________________；
（3）若c=34，a：b=8：15，则a=_____________，b=_____________；
二、合作学习
合作探究
【探究一】等腰直角三角形
实践：数格子（探究等腰直角三角形的三边的关系）如图所示，观察图中用正方形A,B,C画出的三个正方形，填空：
（1）正方形A中含有_______个小方格，
即A的面积是________个单位面积；
（2）正方形B中含有_______个小方格，
即B的面积是________个单位面积；
（3）正方形C中含有_______个小方格，即C的面积是________个单位面积；
结论：_______________________________________________________
等腰直角三角形三边有什么关系？
__________________________________________________________________
等腰直角三角形的性质：______________________________________________________
___________________________________________________________________
【探究二】任意直角三角形：
结合左图，填右表：

勾股定理：_________________________________________________________
用字母表示：_______________________________________________________
式子的变形：_______________________________________________________
精讲精练
例1：你能计算出下列直角三角形中未知边的长吗？
练一练：
1、错例辨析： △ABC的两边为3和4，求第三边的长度。
解：由于三角形的两边为3、4，所以它的第三边的c应满足=25 即：c=5
解题过程是否正确？如有错误，如何改正？
已知直角三角形的两直角边长分别是3和4，则斜边上的高是_____________.
已知直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长是_____________
例2、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，求正方形A，B，C，D的面积的和。

练一练：
1、求下列图中字母所代表的正方形的面积：
2、已知：S1=1，S2=3，S3=2，S4=4，求：S5，S6，S7的值。

三、用中学习
过关检测：
1、如图，已知中，，，，以直角边为直径作半圆，则这个半圆的面积是 。
2、如图，C=ABD=90°,AC=4,BC=3,BD=12,则AD的长等于________ ______。

第1题 第2题
3、长方形的一边长为，面积为，那么它的一条对角线长是 。
4、在直角ABC中 C=90°,a=5,c=13,则ABC的面积S=_____________.
5、在直角ABC中,C=90°,c=20,b=15,则a=__________.
6、斜边的边长为，一条直角边长为的直角三角形的面积是 。
7、小明妈妈买了部29英寸(即屏幕对角线长度为74 cm)的电视机，小明量了电视机的荧幕后，发现荧幕只有58 cm长和46 cm宽，他觉得一定是售货员搞错了，你同意他的想法吗？你怎样解释呢？
8、 把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边（ ）
A. 扩大到原来的2倍 B. 扩大到原来的4倍
C. 不变 D. 减少到原来的2倍
● 拓展延伸
1、在等腰△ABC中，AC=BC=5,AB=8，求它的面积。
2、Rt△ABC两边为6和8，求第三边的长度。
3、请你取两个同样的直角三角板，并如图1这样摆放．
（1）连结AE，请你判断△ACE和四边形ABDE的形状．
（2）设AB＝CD＝a，BC＝DE＝b，AC＝CE＝c，你能用两种不同的方法求四边形ABDE的面积吗？
（3）由（2）你能来验证勾股定理吗
4.如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。
3、4、5
32+42=52
5、12、13
52+122=132
7、24、25
72+242=252
9、40、41
92+402=412
……
……
19，b、c
192+b2=c2
第二课时
一、自主学习
●目标导学：
1、经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。2、掌握勾股定理和它的简单应用。
自学生疑
1、勾股定理的几种表达方式（至少写出三种）
___________________________________________________________
____________________________________________________________
3、若线段a,b,c能构成直角三角形,则它们之比为( )
A. 2:3:4 B. 3:4:6 C. 5:12:13 D. 4:6:7
4、如图,在四边形ABCD中, BAD=90°, CBD=90°,AD=4,AB=3,BC=12,求正方形CDFE的面积。
二、合作学习
● 合作探究
1、用面积法证明勾股定理
方法1、如图1-1，将四个全等的直角三角形拼成正方形。
方法2、如图1-2，将两个直角三角形拼成直角梯形。

2．勾股定理的作用
（1）已知直角三角形的两边求第三边。（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3）用于证明平方关系的问题。
● 精讲精导
例1：等腰三角形ABC的腰为10，底边上的高为8． （1）求底边BC的长； （2）求三角形ABC的面积。
练一练：
1、如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD．
2、在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12, 求BC的长。
3、如图，△ABC中，AB=AC,∠C=30°，DA⊥AB于点A,若BC=6cm,求AB的长。
例2、在ABC中,C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c
(1)若a=5,b=12,则c=__________.
(2)若a=15,c=25,则b=__________.
(3)若a:b=3:4,c=10,则a=__________,b=__________.
(4)若A=30°，则a:b:c=________________________
(5)若A=45°，则a:b:c=________________________
练一练：
1、在直角三角形中，有一直角边为5，另一直角边和斜边之和为25，则斜边是__________。
2、已知直角三角形的周长为2＋，斜边上的中线为1，求它的面积.
3、直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长.
三、用中学习
● 过关检测
1、在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm。（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长．（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长．
2、在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC周长为（　 ）
　　A、42　　B、32　　C、42或32　　D、37或33
3、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？
有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距________海里．
● 拓展延伸
1、折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB＝8 cm，BC＝10 cm．求EC的长．（如图1—18，△AEF是由△ADE折叠得到．）
2、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作S、S、S，则S、S、S之间的关系是（ ）
（A）S+S>S （B）S+S（C）S+S=S （D）S+S=S
4、如图点C是以为AB直径的半圆上的一点，则图中阴影部分的面积是
5、Rt△ ABC中,∠ C=90°,AC=2,AB=4,分别以AC,BC为直径则图中阴影面积为___________
第三课时
一、自主学习
●目标导学：
掌握勾股定理和它的简单应用。
●自学生疑
如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，则折叠后痕迹EF的长为（ ）A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.77

二、合作学习
● 合作探究
例1：铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25 km，C、D两村庄（视为两个点）DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15 km，CB＝10 km，现在要在铁路上建一个土特产收购站E使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
点拨：此题关键是DE＝CE，而DE是Rt△ADE斜边．CE是Rt△EBC斜边．

练一练：
1、如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（　　）（Ａ）4 （Ｂ）6 （Ｃ）16 （Ｄ）55
在△ABC中，C=90°，AB的垂直平分线交AB于D,交BC于E,若BC=8,AC=5,求BE=____
3、△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，BC=8．求AC边的长．
例2．已知：如图2-1，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，求图形中阴影部分的面积．
例3、 如图2-2，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？

练一练
1.如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．
2.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗？

例4．一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米吗？试说明理由。
练一练：如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′ 到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′等于1米；②大于1米；③小于1米.其中正确结论的序号是________________.
三、用中学习
● 过关检测
1.如图己知在△ABC中，垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．
2、某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为生物园，如图米，BC=60米，若线段CD为一条水渠，且D在边AB上，己知水渠的造价是10元/米，则点D在距A点多远，水渠的造价最低，最低价是多少？


3、如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，求图中阴影部分的面积．
第四课时
一、自主学习
●目标导学
1、运用勾股定理在数轴上画出表示（为正整数）
2、能够运用勾股定理解决简单实际问题。
●自学生疑
1 、Rt△ABC的三边分别为a b c且a:b=3:4,斜边为c=15 则b=( )
A、3 B、4 C、9 D、12
2、已知直角三角形两条直角边分别为6cm，8cm那么斜边上的高是_____
3、2能写成哪两个正整数的平方_______;3呢？10呢
二、合作学习
●合作探究：在数轴上画出表示无理数的点
探究1：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？
（提示：被开方数写成两个有理数的平方和或平方差）
练一练：
1、在数轴上作出表示的点
2、在数轴上作出表示的点
3、在数轴上作出表示的点
思考：怎样在数轴上画出表示（n是正整数）的点？
精讲精导：
例1：如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米，P，Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（　　）
A. B. C. D.
练一练：
1、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸l的距离分别为AC=400m，BD=200m，且CD=800m．（1）牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短，请在图中画出饮水的位置（保留作图痕迹），并说明理由．（2）求出（1）中的最短路程．
2、如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1km，BD=3km，CD=3km，现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在CD选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F。
（四）巩固练习：
三、用中学习
过关检测：
1、如图, 要为一段高5米,长13米的楼梯铺上红地毯,红地毯至少需要_____米。
2、一座桥横跨一江，桥长12m，一艘小船自桥北头出发向正南方向驶去，因水流原因，到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m，则小船实际行驶了______m
3、如图，已知Rt△ABC是直角边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是________
?
．
4、如图，A、B两地被一大山阻隔，汽车从A地到B须经过C地中转．为了促进A、B两地的经济发展，现计划开通隧道，使汽车可以直接从A地到B地．已知∠A=30°，∠B=45°，BC=15 千米．若汽车的平均速度为45千米/时，则隧道开通后，汽车直接从A地到B地需要多长时间？（参考数据：）
拓展延伸：
1．图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形7的边长为1cm，则正方形1的边长为__________cm.
2、如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=（ ）
A 3.65 B 2.42 C 2.44 D 2.65
第五课时
一、自主学习
●目标导学
1．经历综合运用已有知识解决问题的过程，在此过程中加深对勾股定理、面积等的认识。
2．经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值。
● 自学生疑
1、直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c。那么
2、锐角三角形的三边为a、b、 c其中c为最大边。那么_____________
3、钝角三角形的三边为a、b、 c其中c为最大边。那么______________
4、如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形的面积是 ( )
A. 25 B. 12.5　　C. 9 D. 8.5
5、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）(A) 2cm (B)3cm (C)4cm (D)5cm


二、合作学习
例1： 在中，AD⊥BC于D，∠ABC=2∠C，求证：。
证明：如图1-4延长DB至E，使EB=AB，连结AE。

变式： 如图,在ABC中,ACB=90°,CDAB. 求证:(1) BC-AC=BD-AD;
(2) AB=AD+BD+2CD.

例2：已知：如图1-10在△ABC中，∠A=90°，DE为BC的垂直平分线，求证：
点悟：，只须证，而AE、AC互相垂直，故想到连结CE，则有，又由垂直平分线性质，得BE=CE，所以问题得证。
练一练：已知，如图，在△ABC中，AB>AC，AD是BC边上的高，求证 AB2-AC2=BC（BD-DC)
三、用中学习
过关检测
1、有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米.
2、如图,C=90°,D为AC的中点,DEAB于E,请说明BC=BE-AE的理由.
3、如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且CF=CD。求证：△AEF是直角三角形。
提示：要证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证AE+EF=AF即可
● 拓展延伸
1、如图1－2，，垂足为O，问与相等吗？理由是为什么？

2、有一块土地形状如图所示，∠B=∠D=900，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块地的面积。
3、如图，在中，，，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且。问之间的关系是什么，为什么？
18.2.1 原命题与逆命题
一、自主学习
● 目标导学
1、掌握命题，命题的组成及命题的一般形式；
2、能辨认命题的真假，并能写出一个命题的逆命题。
● 自学生疑
下列语句是否为命题:
1、两点确定一条直线.
2、两条直线被第三条直线所截，同旁内角相等.
3、画线段AB=3cm.
4、同为角相等吗？
二、合作学习
● 合作探究
1、什么叫命题？________________________________
2、命题的组成部分：命题由_______和________两部分组成
3、命题的一般形式：每个命题都可以写成“_______________”的形式，“如果”的内容部分是_______，“那么”的内容部分是______
4、命题的分类：命题分为_____题和______题两种．判断正确的命题称为_____题，反之称为______题．验证一个命题是_____题，要经过证明；验证一个命题是____题，可以举出一个反例．
5、逆命题：在两个命题中，如果第一个命的____是第二个命题的_____，而第一个命题的____是第二个命题的____，那么这两个命题叫做______，其中一个叫做______，则另一个就叫做它的______．
(说明：（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；
（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；
（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．)
6、互逆定理：如果一个定理的逆命题也是_____________，那么这两个定理叫做_________，其中一个定理叫做另一个定理的_________
(说明： （1）不是所有的定理都有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理．
（2）互逆定理和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题中要求更为严谨的一类，即互逆命题包含互逆定理)
● 精讲精导
例1：下列句子或式子是命题的有（ ）个：
①语文和数学 ②x2-3x-4=0③3x-2 >0 ④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗⑤一个数不是合数就是质数⑥把门关上
A、1个 B、3个 C、5个 D、2个
练一练：
1．下列语言是命题的是 ( )
A．画两条相等的线段 B．等于同一个角的两个角相等吗
C．延长线段AD到C，使OC=OA D．两直线平行，内错角相等
2．下列命题中真命题的个数是 ( )
①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则其斜边为； 、
②直角三角形的最大边长为，最小边长为1，则另一边长为；
③在直角三角形中，若两直角边边长为9和40，则斜边长为41；
④等腰三角形的面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．
A．1个 B．2个 c．3个 D．4个
例2、将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式
（1）两直线平行，同位角相等：
（2）内错角相等，两直线平行：
（3）正数的相反数是负数：
（4）相等的两个角是对顶角：
例3、指出下列命题的“题设”与“结论”
（1）不相等的两个角不是对顶角。题设： 结论：
（2）互余的两个角不一定相等。题设： 结论：
（3）若a>0，b>0，则ab>0。题设： 结论：
（4）若a∥b,b∥c，则a∥c。题设： 结论：
例4、判断下列命题的真假，是假命题的，请举出一个反例说明。
（1）邻补角是互补的角；
（2）互补的角是邻补角；
（3）两个锐角的和是锐角；
（4）不等式的两边同乘以一个负数，不等号的方向不变。

例5.指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题．
（1）两直线平行，同旁内角互补；
（2）直角三角形的两个锐角互余；
（3）对顶角相等．
三、用中学习
过关检测：
1．命题“矩形的对角线相等”的逆命题是__________________．
2．命题“如果∠A=65°，∠B=25°，那么∠A与∠B互余”的逆命题是________，它的逆命题是_______(填“真”或“假”)命题．
3．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题的条件是___________，结论是_____________．
4、写出下列命题的逆命题，并判断原命题、逆命题的真假。
1）全等三角形的对应角相等；
2）自然数必为有理数；
若|a|＝|b|，则a＝b；

若a＝b，则a3=b3；
若x＝a，则x2-(a+b)x+ab=0
6)如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0．
7）如果a＞0，那么a2＞0．
8)等角的补角相等．
对顶角相等．
拓展延伸
1．下列说法中，正确的是 ( )
A．每个命题不一定都有逆命题 B．每个定理都有逆定理
c．真命题的逆命题仍是真命题 D．假命题的逆命题未必是假命题
2．下列定理中，没有逆定理的是 ( )
A．内错角相等，两直线平行 B．直角三角形中两锐角互余
c．相反数的绝对值相等 D．同位角相等，两直线平行
3．下列命题中的真命题是 ( )
A．锐角大于它的余角 B．锐角大于它的补角
c．钝角大于它的补角 D．锐角与钝角之和等于平角
4．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直． 其中，正确命题的个数为 ( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
18.2 勾股定理的逆定理
第一课时
一、自主学习
● 目标导学
1、掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用；
2、进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型．
● 自学生疑
1、勾股定理的逆定理：
2、勾股数：
常用的勾股数有：（至少写3组）
已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，你能计算出这个三角形的面积吗？
4、下列能构成直角三角形三边长的是 （ ）
（A）1、2、3 （B）2、3、4 （C）3、4、5 （D）4、5、6
5、将直角三角形的三条边长同时扩大2倍数, 得到的三角形是( )
A. 钝角三角形; B. 锐角三角形; C. 直角三角形; D. 等腰三角形.
二、合作学习
● 合作探究
【探究一】：猜想勾股定理的逆定理
1、画一画：画出边长为下列各组数的三角形（1）2、3、4 （2）3、4、5 （3）3、4、6 （4）5、12、13
2、量一量：用量角器分别测量一下所画出的三角形的最大角的度数
3、算一算：上述每个三角形最长边的平方与其它两边的平方和之间的关系
4、猜一猜：一个三角形各边数量应满足怎样的关系式时，这个三角形才可能是直角三角形？
【探究二】：验证勾股定理的逆定理
1、任意想出三个数，要求其中两个数的平方和等于第三个数的平方
2、画一画：以1中想出的三个数为边长，画出一个三角形
3、量一量：2中所画三角形的最大角的度数_______
4、猜一猜：三角形的三边满足什么关系式，是直角三角形
探究3：证明勾股定理的逆定理
1、如果三角形的三边是a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形
勾股数的定义，及常用的勾股数
● 精讲精导
例1、判断由线段a,b,c组成的三角形是否是直角三角形
A.a=7，b=24，c=25 B．a=6，b=10，c=8 C．a=4，b=5，c=6 D．a：b：c=3:4:5
练一练：
1、判断由线段a,b,c组成的三角形是否是直角三角形
A．a=3，b=4，c=5 B．a=5，b=12，c=13 C．a=2，b=3，c=4 D．a=10，b=24，c=26
2、下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ）
A、1,2， B、1,2， C、3,4,5 D、
3、下面三角形中，不是直角三角形的个数是（ ）
①三角形三内角之比为1：2：3；②三角形三角之比为3：4：5；③三角形三边之长分别为2.5，6，6.5；④三角形三边之长分别为8，15，17．
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
例2：已知△ABC的三边为a、b、c，有下列各组条件，判定△ABC的形状．
（1）a＝41，b＝40，c＝9；
（2）
练一练：
1．△ABC中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（ ）
A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1．
B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m．
C．△ABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定．
D．△ABC不是直角三角形．
2、试判断：三边长分别为，2n＋1,(n＞0)的三角形是否是直角三角形？
3、下列条件：∠A=∠B=∠C, (2)AC:BC:AB=1：:2，
(3)AC=n2-1,BC=2n,AB=n2+1(n>1) (4)三角形的一个外角与相邻的内角相等，
能判断△ABC是直角三角形的有（ ）个
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
例2：若的三边长满足条件，试判断的形状。
练一练：
1、若△ABC的三边长为a、b、c，根据下列条件判断△ABC的形状。
（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c
(2 )a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b3=0
（3）(a-5)2+|b-12|+c2-26c+169=0
2．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
3.在△ABC中，的对边分别为，且，则（ ）
A.为直角 B.为直角 C.为直角 D.不能确定
4．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a2-b2，试判断△ABC的形状．
三、用中学习
过关检测
1、观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25.
其中能作为直角三角形三边长的有( )组 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2、已知一个三角形的三边分别为3k ,4k ,5k (k为自然数),则这个三角形为_______________,理由是____________________.
3、设，如果是三角形较小的两条边，当第三边等于＿＿＿时，这个三角形为直角三角形.
若一个三角形的三边长为m+1 ,m+2 ,m+3, 当m____ __时,此三角形是直角三角形.
5、初春时分,两组同学到村外平坦的田野中采集植物标本,分手后,他们向不同的方向前进,第一组的速度是30米/分,第二组的速度是40/分,半小时后两组同学同时停下来,而此时两组同学相距1500米.
(1)两组同学行走的方向是否成直角?
(2)如果接下来两组同学相向而行,多长时间后能相遇?
● 拓展延伸
1、△ABC中，CD⊥AB于D(1)图中有__________个直角三角形
A．0　 B．1　 C．2　 D．3
(2)若AD=12，AC=13则CD=__________．
(3)若CD2=AD·DB， 求证：△ABC是直角三角形．
2、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.
第二课时
一、自主学习
● 目标导学
1、掌握勾股定理的逆定理并能进行简单应用；
2、进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型．
● 自学生疑
1、____________________________________________________叫做勾股数
2、3，4，5是勾股数吗？
二、合作学习
● 合作探究：
探究1：（1）8,15和_____是勾股数，（2）10,26和_____是勾股数
例1：判断下列各组数中，哪几组是勾股数？
（1）15,36,39 （2）3k,4k,5k (3)1, (4)4,5,6
练一练：下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A、0.03,0.04,0.05 B、6,8,10 C、7,8,9 D、1,0.6,0.8
探究2：如果a,b,c是一组勾股数，n是正整数，那么na,nb,nc也是一组勾股数吗？
练一练：将勾股数组中的每一个数都扩大相同的正整数倍，所得的一组新数（ ）
A、仍是勾股数 B、不是勾股数 C、都有可能 D、非上述答案
探究3、n是正整数（n>1）:2n,n2-1,n2+1也是一组勾股数吗？
探究4、m,n是正整数（m>n）:2mn,m2-n2,m2+n2也是一组勾股数吗？
精讲精导
例1：一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A 与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD = 4，AB = 3, DC = 12 , BC=13，这个零件符合要求吗？

变式：四边形ABCD中已知AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，且∠ABC=900，求这个四边形的面积．

例2、已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.
求证：△ABC是直角三角形.
练一练：1、如图2-6，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=BC，猜想AF与EF的位置关系，并说明理由．
2、已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5．
求证：△ABC是直角三角形．
三、用中学习
过关检测
1．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．
(1)若a2＝b2，则a＝b．
(2)如果△ABC≌△A'B'C'，那么BC＝B'C'，AC＝A'C'，∠B＝∠B'．
(3)全等三角形的三组对应角相等．
2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3
C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5
3.已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形.
4.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？
5、.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.
6.如图18－2－6，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=AD，试判断△EFC的形状.
拓展延伸：
1、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．
2、 P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE为边长的正方形的面积.
第三课时
一、自主学习
● 目标导学
1、掌握勾股定理的逆定理并能进行简单应用；
2、运用勾股定理的逆定理进行计算
● 自学生疑
二、合作学习
● 合作探究
例1、如图，等腰△ABC中，底边BC＝20，D为AB上一点，CD＝16，BD＝12，
求△ABC的周长。

练一练：1、.已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.
求：四边形ABCD的面积.

2．已知：如图1所示，在四边形ABCD中，AB=3, BC=5，CD= 2 ，AD=2, AC⊥AB.
求：S四边形ABCD
例2: 如图2-10，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．

练一练：
1．如图，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．求证：AD2=AC2+BD2．
2．如图，AB⊥AD，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD的面积．
例3.如图，南北向MN为我国的领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意.反走私艇A通知反走私艇B:A和C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里.反走私艇B测得距离C艇是12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
练一练：如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西400.那么甲巡逻艇的航向是怎样的？
例4．2005?绵阳）如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用表示，则不难证明（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示，那么之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用表示，请你确定之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用表示，为使之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．
练一练
1.如图18－2－5，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________.

2．如图2所示，以△ABC三边为直径向外作半圆，若 s1+s3=s2 成立，则△ABC是直角三角形吗？并简要说明理由.
三、用中学习
1观察下列各式：32＋42＝52；82＋62＝102；152＋82＝172；242＋102＝262…，你有没有发现其中的规律？请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．
2、如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10㎝，宽为4㎝，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)并在AD上平行移动：　　①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.　　②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延　　　长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2㎝？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.　　　　　　　　　　　　　　　　　 　
3.喜欢爬山的同学都知道,很多名山上都有便于游人观光的索道,如图所示,山的高度AC为800 m,从山上A与山下B处各建一索道口,且BC=1 500 m,一游客从山下索道口坐缆车到山顶,知缆车每分钟走50 m,那么大约多长时间后该游客才能到达山顶?说明理由.
　　　　　　　　　
4．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的长．

5．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．
第四课时
一、自主学习
●目标导学
1、能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.
2、学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.
● 自学生疑
1、勾股定理：
2、勾股定理逆定理：
3、若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定仍然是勾股数的是（　　）
A．a+1，b+1，c+1 B．a2，b2，c2
C．2a，2b，2c D．a－1，b－1，c－1
4、一个圆柱状的杯子，由内部测得其底面直径为4cm，高为10cm，现有一支12cm的吸管任意斜放于杯中，则吸管 _露出杯口外. (填“能”或“不能”)
二、合作学习
● 合作探究
1、两点之间的连线中线段最短；
2、蚂蚁在立体图形上爬行，先将立体图形展开为平面图形。
3、勾股定理及勾股定理逆定理的综合应用。
● 精讲精导
例1：如图1－33，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为10。如果一只蚂蚁要自圆柱体下底面的A点，沿圆柱形曲面爬到与A相对的上底面B点(如图)．求爬行的最短路线的长度．(π的值取3)

变式：有一个长宽高分别为2cm，1cm，3cm的长方体，如图2，有一只小蚂蚁想从点A爬到点C1处，请你帮它设计爬行的最短路线，并说明理由．
例2：正方形ABCD的边长为8，点M在DC边上，且DM=2，点N是对角线AC上一动点，求DN+MN的最小值。
例3：在钝角中，CB=9，AB=17，AC=10，AD⊥BC于CD。求AC长。

三、用中学习
过关检测
1、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
2、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形，其中，b＝1，。
3、如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？

4. 如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm？

5、如图1－37，已知∠XOY＝60°，M是∠XOY内的一点，它到OX的距离MA为2，它到OY的距离MB等于11，求OM的长．

6、在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？
● 拓展延伸
1、一装有液体的透明直圆玻璃杯，由内部测得其底面半径为３厘米，高为８厘米，今有一支１２厘米的吸管任意斜防于杯中，如图，若不考虑吸管的粗细．
（１）则吸管露出杯口外的长度最少是　　　　．
（２）在吸管露出最短的情况下，将吸管抽出，量得浸入液体的吸管长度为４厘米，则液面高度为　　　　．
（写出解答过程）
2、试证：
(1)在直角三角形中，弦的立方大于勾股的立方和；
(2)直角三角形勾股平方的倒数和，等于弦上的高的平方的倒数．
3．如图2-14．长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从A出发，沿长方形表面到达C处，问绳子最短是多少厘米？