1.1空间向量的数乘运算（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 1.1空间向量的数乘运算（Word含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-20 20:59:37 | ||
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文档简介
空间向量的数乘运算
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.已知向量a=4e1-e2,b=e1-e2,则( )
A.a,b一定共线
B.a,b不一定共线
C.只有当e1,e2不共线时,a,b才共线
D.只有当e1,e2为不共线的非零向量时,a,b才共线
2.O为空间任意一点,若=++,则A,B,C,P四点( )
A.一定不共面 B.一定共面
C.不一定共面 D.无法判断
3.(2013·重庆高二检测)在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是CC1的中点,F是A1B的中点,且=α+β,则( )
A.α=,β=-1 B.α=-,β=1
C.α=1,β=- D.α=-1,β=
4.设空间四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则( )
A.点P一定在直线AB上
B.点P一定不在直线AB上
C.点P可能在直线AB上,也可能不在直线AB上
D.与的方向一定相同
5.若a,b是平面α内的两个向量,则( )
A.α内任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R)
B.若存在λ,μ∈R使λa+μb=0,则λ=μ=0
C.若a,b不共线,则空间任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R)
D.若a,b不共线,则α内任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R)
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.非零向量e1,e2不共线,若向量ke1+e2与e1+ke2共线,则k= .
7.已知O是空间任一点,A,B,C,D四点满足任三点均不共线,但四点共面,且=2x+3y+4z,则2x+3y+4z= .
8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=,若=x+y(+),则x= ,y= .
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.如图,已知四边形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE,求证:MN∥平面CDE.
10.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外一点O,当=2--时,点P是否与A,B,C共面
11.(能力挑战题)如图所示,若P为平行四边形ABCD所在平面外一点,点H为PC上的点,且=,点G在AH上,且=m,若G,B,P,D四点共面,求m的值.
答案解析
1.【解析】选A.∵a=4e1-e2,b=e1-e2,
∴a=4(e1-e2)=4b,∴a,b一定共线.
2.【解析】选B.∵++=1,根据向量共面定理,
∴A,B,C,P四点共面.
3.【解析】选A.=++
=++
=-+(-)+(-)
=(1-)-=-=α+β,
∴α=,β=-1.
4.【解题指南】考查点P是否在直线AB上,只需考查与是否共线.解决本题的关键是利用条件m+n=1把判断三点共线问题转化为判断与是否共线.
【解析】选A.已知m+n=1,则m=1-n.
=(1-n)+n=-n+n
-=n(-) =n,
因为≠0,
所以和共线,即点A,P,B共线,故选A.
5.【解析】选D.当a与b是共线向量时,A不正确;当a与b是相反向量,λ=μ≠0时,λa+μb=0,故B不正确;若a,b不共线,则平面α内的向量都可用a,b表示,对空间向量则不一定适合,故C不正确,D正确,故选D.
6.【解析】∵ke1+e2与e1+ke2共线,
∴存在实数λ使得ke1+e2=λ(e1+ke2)成立.
∵e1,e2不共线,
∴∴k=±1.
答案:±1
【举一反三】若本题条件改为:设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知=2e1+
ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,且A,B,D三点共线.所求问题不变,结果如何
【解析】∵A,B,D三点共线,
∴向量与共线,于是存在实数λ,使=λ,即=λ(-),
∴2e1+ke2=λ[(2e1-e2)-(e1+3e2)] (2-λ)e1+(k+4λ)e2=0,
∵e1,e2不共线,
∴2-λ=0且k+4λ=0,得k=-8.
答案:-8
7.【解析】∵A,B,C,D共面,
∴=+λ+μ
=+λ(-)+μ(-)
=(1-λ-μ)+λ+μ
=(λ+μ-1)-λ-μ
=2x+3y+4z,
∴2x+3y+4z=(λ+μ-1)+(-λ)+(-μ)
=-1.
答案:-1
8.【解析】=+=+
=+(+)=+(+),对比系数可得x=1,y=.
答案:1
9.【证明】=++
=++
=(+)++(+)
=++++
=+.
又与不共线,根据共面向量定理,可知,,共面.因为MN不在平面CDE内,所以MN∥平面CDE.
【拓展提升】利用向量法证明线面平行的技巧
(1)用向量法证明直线与平面平行一般有两种方法:一是证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行;二是证明直线的方向向量和平面内的两个不共线的向量共面.
(2)线面平行的证明方法包含着证明空间线与线,面与面平行的方法.
【变式备选】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点.求证:平面EFG∥平面AB1C.
【证明】设=a,=b,=c,
则=+=(a+b),
=a+b=2,
∴∥,
=+=b-c=(b-c),
=+=b-c=2,
∴∥.
又∵EG与EF相交,AC与B1C相交,
∴平面EFG∥平面AB1C.
10.【解析】若P与A,B,C共面,则存在惟一的实数对(x,y)使=x+y,于是对平面ABC外一点O,有-=x(-)+y(-),
∴=(1-x-y)+x+y,比较原式得
此方程组无解,这样的x,y不存在,
所以A,B,C,P四点不共面.
11.【解析】连接BD,BG.
∵=-,=,
∴=-,∵=+,
∴=+-=-++.
∵=,∴=,
∴=(-++)
=-++.
又∵=-,
∴=-++,
∵=m,
∴=m·=-++,
∵=-+=-+,
∴=(1-)+(-1)+.
又∵G,B,P,D四点共面,
∴1-=0,m=.
即m的值是.
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（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.已知向量a=4e1-e2,b=e1-e2,则( )
A.a,b一定共线
B.a,b不一定共线
C.只有当e1,e2不共线时,a,b才共线
D.只有当e1,e2为不共线的非零向量时,a,b才共线
2.O为空间任意一点,若=++,则A,B,C,P四点( )
A.一定不共面 B.一定共面
C.不一定共面 D.无法判断
3.(2013·重庆高二检测)在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是CC1的中点,F是A1B的中点,且=α+β,则( )
A.α=,β=-1 B.α=-,β=1
C.α=1,β=- D.α=-1,β=
4.设空间四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则( )
A.点P一定在直线AB上
B.点P一定不在直线AB上
C.点P可能在直线AB上,也可能不在直线AB上
D.与的方向一定相同
5.若a,b是平面α内的两个向量,则( )
A.α内任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R)
B.若存在λ,μ∈R使λa+μb=0,则λ=μ=0
C.若a,b不共线,则空间任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R)
D.若a,b不共线,则α内任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R)
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.非零向量e1,e2不共线,若向量ke1+e2与e1+ke2共线,则k= .
7.已知O是空间任一点,A,B,C,D四点满足任三点均不共线,但四点共面,且=2x+3y+4z,则2x+3y+4z= .
8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=,若=x+y(+),则x= ,y= .
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.如图,已知四边形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE,求证:MN∥平面CDE.
10.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外一点O,当=2--时,点P是否与A,B,C共面
11.(能力挑战题)如图所示,若P为平行四边形ABCD所在平面外一点,点H为PC上的点,且=,点G在AH上,且=m,若G,B,P,D四点共面,求m的值.
答案解析
1.【解析】选A.∵a=4e1-e2,b=e1-e2,
∴a=4(e1-e2)=4b,∴a,b一定共线.
2.【解析】选B.∵++=1,根据向量共面定理,
∴A,B,C,P四点共面.
3.【解析】选A.=++
=++
=-+(-)+(-)
=(1-)-=-=α+β,
∴α=,β=-1.
4.【解题指南】考查点P是否在直线AB上,只需考查与是否共线.解决本题的关键是利用条件m+n=1把判断三点共线问题转化为判断与是否共线.
【解析】选A.已知m+n=1,则m=1-n.
=(1-n)+n=-n+n
-=n(-) =n,
因为≠0,
所以和共线,即点A,P,B共线,故选A.
5.【解析】选D.当a与b是共线向量时,A不正确;当a与b是相反向量,λ=μ≠0时,λa+μb=0,故B不正确;若a,b不共线,则平面α内的向量都可用a,b表示,对空间向量则不一定适合,故C不正确,D正确,故选D.
6.【解析】∵ke1+e2与e1+ke2共线,
∴存在实数λ使得ke1+e2=λ(e1+ke2)成立.
∵e1,e2不共线,
∴∴k=±1.
答案:±1
【举一反三】若本题条件改为:设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知=2e1+
ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,且A,B,D三点共线.所求问题不变,结果如何
【解析】∵A,B,D三点共线,
∴向量与共线,于是存在实数λ,使=λ,即=λ(-),
∴2e1+ke2=λ[(2e1-e2)-(e1+3e2)] (2-λ)e1+(k+4λ)e2=0,
∵e1,e2不共线,
∴2-λ=0且k+4λ=0,得k=-8.
答案:-8
7.【解析】∵A,B,C,D共面,
∴=+λ+μ
=+λ(-)+μ(-)
=(1-λ-μ)+λ+μ
=(λ+μ-1)-λ-μ
=2x+3y+4z,
∴2x+3y+4z=(λ+μ-1)+(-λ)+(-μ)
=-1.
答案:-1
8.【解析】=+=+
=+(+)=+(+),对比系数可得x=1,y=.
答案:1
9.【证明】=++
=++
=(+)++(+)
=++++
=+.
又与不共线,根据共面向量定理,可知,,共面.因为MN不在平面CDE内,所以MN∥平面CDE.
【拓展提升】利用向量法证明线面平行的技巧
(1)用向量法证明直线与平面平行一般有两种方法:一是证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行;二是证明直线的方向向量和平面内的两个不共线的向量共面.
(2)线面平行的证明方法包含着证明空间线与线,面与面平行的方法.
【变式备选】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点.求证:平面EFG∥平面AB1C.
【证明】设=a,=b,=c,
则=+=(a+b),
=a+b=2,
∴∥,
=+=b-c=(b-c),
=+=b-c=2,
∴∥.
又∵EG与EF相交,AC与B1C相交,
∴平面EFG∥平面AB1C.
10.【解析】若P与A,B,C共面,则存在惟一的实数对(x,y)使=x+y,于是对平面ABC外一点O,有-=x(-)+y(-),
∴=(1-x-y)+x+y,比较原式得
此方程组无解,这样的x,y不存在,
所以A,B,C,P四点不共面.
11.【解析】连接BD,BG.
∵=-,=,
∴=-,∵=+,
∴=+-=-++.
∵=,∴=,
∴=(-++)
=-++.
又∵=-,
∴=-++,
∵=m,
∴=m·=-++,
∵=-+=-+,
∴=(1-)+(-1)+.
又∵G,B,P,D四点共面,
∴1-=0,m=.
即m的值是.
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