1.1空间向量的数量积运算（Word含答案）

空间向量的数量积运算
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的(　　)
A.充分不必要条件　　　 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知空间向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= (　　)
A.0　　　 B.2　　 　 C.4　　　 D.8
3.(2013·天水高二检测)已知四边形ABCD满足:·>0,·>0,
·>0,·>0,则该四边形为(　　)
A.平行四边形 B.梯形
C.平面四边形 D.空间四边形
4.如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是(　　)
A. B. C.1 D.
5.(2013·杭州高二检测)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,∠ABC= 90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是(　　)
A.45° B.60° C.90° D.120°
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.(2013·安阳高二检测)已知向量a与b的夹角是120°,且|a|=|b|=4,则b·(2a+b)=　　　　.
7.如图所示,在几何体A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=1,CD=2,点E为CD的中点,则AE的长为　　　　.
8.如图∠BAC=90°,等腰直角三角形ABC所在的平面与正方形ABDE所在的平面互相垂直,则异面直线AD与BC所成角的大小是　　　　.
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.
(1)求的长.
(2)求cos<,>的值.
(3)求证:A1B⊥C1M.
10.(2013·济南高二检测)如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,
(1)求证:MN⊥CD.
(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.
11.(能力挑战题)如图所示,矩形ABCD中,AB=1,BC=a,
PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD上方),问BC边上
是否存在点Q,使⊥
答案解析
1.【解析】选A.a·b=|a||b|cos=|a||b| cos=1 =0,即a,b同向,故是充分条件;当a与b反向时,不能成立,不是必要条件.
2.【解析】选B.|2a-b|=
=
==2,故选B.
3.【解析】选D.由题意知,·<0,·<0,·<0,·<0,即四边形的四个内角均为钝角,所以该四边形为空间四边形.
4.【解析】选D.=++
∴=(++)2
=+++2(·+·+·)
由题意知,||=||=||=1,
·=||·||cos135°
=1×1×(-)=-,
·=·=0,
∴2=3+2×(-)=3-,
∴BD=.
5.【解析】选B.设=a,=b,=c,
|a|=|c|=1,则|b|=,
=+=+=a+c,
=+=-+
=-a+b+c,
∴·=(a+c)·(-a+b+c)
=-a2+a·b+a·c-a·c+b·c+c2
=-|a|2+a·b+b·c+|c|2
=-+a·b+0+=a·b.
由题意知,=45°,
∴a·b=|a||b|cos=1××cos45°=1,
∴·=×1=,
==,
∴cos<,>=
==,
∴cos<,>=60°,
∴EF与BC1所成的角为60°.
6.【解析】b·(2a+b)=2a·b+b2=2|a|·|b|cos120°+|b|2=2×4×4×(-)+42=0.
答案:0
7.【解析】=(++)2,
=||2+||2+||2+2(·+·+·),
由题意知,||=||=1=||,
且·=·=·=0.
∴=3,
∴AE的长为.
答案:
【举一反三】若将题条件中“BC⊥CD”改为“∠BCD=120°”,其他条件不变,结果如何
【解析】由本题解答知,
=||2+||2+||2+2(·+·+·),
∵||=||=1=||,
·=·=0,
·=||·||·cos<,>
=1×1×cos60°=,
∴=3+2×=4,
故AE的长是2.
答案:2
8.【解析】设正方形ABDE的边长为1,
∵=+,=-,
∴·=(+)·(-)
=·-+·-·,
=0-1+0-0=-1,
||=
=
==,
||=
=
==,
∴cos<,>==-,
∴<,>=120°,故AD与BC所成角为60°.
答案:60°
9.【解析】(1)由题可知,BA=,BA⊥AN,
∴=(+)2
=+2·+
=()2+2×0+12=3,
∴BN=.即的长为.
(2)∵=+,=+,
∴·=(+)·(+)
=·+·+·+·
=||·||·cos135°+0+0+
=×1×(-)+22=3,
||=
==,
||=
==,
∴cos<,>=
==.
(3)∵=+,
=(+),
∴·=(+)·(+)
=(·+·+·+·)
由题意知,·=·=0,
·=||·||·cos<,>
=×1×cos135°=-1,
·=||·||·cos<,>
=×1×cos45°=1,
∴·=×(-1+1)=0,
∴⊥,即A1B⊥C1M.
10.【证明】(1)设=a,=b,=c,
则=++
=+-
=+-(++)
=++--
=(+)=(b+c),
∴·=(b+c)·(-a)
=-(a·b+a·c),
∵四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,
∴a⊥b,a⊥c,∴a·b=a·c=0,
∴·=0,
∴⊥,故MN⊥CD.
(2)由(1)知,MN⊥CD,=(b+c),
∵=-=b-c,
∴·=(b+c)·(b-c)
=(|b|2-|c|2),
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD,
又∠PDA=45°,
∴PA=AD,∴|b|=|c|,
∴·=0,∴⊥,∴MN⊥PD,
∵CD,PD 平面PCD,且CD∩PD=D,
∴MN⊥平面PCD.
【拓展提升】巧用数量积证明垂直问题
垂直问题有线线垂直、线面垂直、面面垂直三类问题,这三类问题通常会转化为线线垂直问题,证明线线垂直问题又转化为向量的数量积为0,具体方法是:
(1)先确定两个向量为两直线的方向向量.
(2)用已知向量(通常是三个已知向量,其模及其夹角已知)表示方向向量.
(3)计算两个方向向量的数量积,通过线性运算、化简得出其数量积为0,得出两个方向向量垂直.
(4)把向量垂直的结论转化为两直线垂直.
11.【解题指南】由⊥得PQ⊥QD,在平面ABCD内,点Q在以AD为直径的圆上,此时需讨论AD与AB的大小关系,若此圆与BC相切或相交,则BC边上存在点Q,否则不存在.
【解析】假设存在点Q(Q点在边BC上),使⊥,即PQ⊥QD,连接AQ.
∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥QD.
又=+且⊥,
∴·=0,即·+·=0.
又由·=0,∴·=0,
∴⊥,∴∠AQD=90°,
即点Q在以边AD为直径的圆上,圆的半径为.
又∵AB=1,由图知,
当=1,即a=2时,该圆与边BC相切,存在1个点Q满足题意;
当>1,即a>2时,该圆与边BC相交,存在2个点Q满足题意;
当<1,即a<2时,该圆与边BC相离,不存在点Q满足题意.
综上所述,当a≥2时,存在点Q;当0关闭Word文档返回原板块
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