空间向量与平行关系（Word含答案）

空间向量与平行关系
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.直线l的一个方向向量为n=(1,3,a),平面α的一个法向量为k=(b,2,3),若
l∥α,则a,b应满足的关系式为(　　)
A.3a+b+6=0　　　　B.a=3b C.3a-b+6=0 D.a=-3b
2.若直线a与b的一个方向向量分别是a=(1,2,4),b=(-1,-2,m),若a∥b,则m的值为(　　)
A.4　　　　 B.-4　　　　 C.-2　　　 　D.2
3.设a,b分别是不重合的直线l1,l2的一个方向向量,则根据下列条件能判断l1∥l2的是(　　)
①a=(,1,0),b=(-2,-4,0);
②a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1);
③a=(5,0,2),b=(0,1,0);
④a=(-2,-1,1),b=(4,-2,-8).
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E1为A1C1的中点,E是AC的中点,则与CE1平行的直线为(　　)
A.AD　　 　B.A1C1　　 　C.EB1　 　　D.EA1
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B,AC的中点,则MN与平面B1BCC1的位置关系是(　　)
A.相交 B.平行
C.垂直 D.不能确定
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.(2013·济南高二检测)设平面α的一个法向量为(3,2,-1),平面β的一个法向量为(-2,-,k),若α∥β,则k等于　　　　.
7.若直线l的一个方向向量为a=(3,2,-1),直线m∥l,则直线m的单位方向向量为　　　　.
8.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为BB1的中点,F为AD的中点,以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则平面D1EF的法向量是　　　　.
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D的中点为E,BD的中点为F,证明:CD1∥EF.
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1,
B1C1的中点.
求证:平面AMN∥平面EFBD.
11.(能力挑战题)已知:四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,且PA=AB=2,∠ABC=60°,BC,PD的中点分别为E,F.在线段AB上是否存在一点G,使得AF∥平面PCG 若存在,指出G在AB上的位置并给出证明;若不存在,请说明理由.
答案解析
1.【解析】选A.∵l∥α,∴n⊥k,即n·k=b+6+3a=0,
∴3a+b+6=0.
2.【解析】选B.∵a∥b,∴a∥b,故m=-4.
3.【解题指南】本题为求解适合平行的充分条件,可逐一验证,因此适用排除法.
【解析】选A.①a=-b,∴l1∥l2,排除B,C,②a=-2b,∴l1∥l2,故选A.
【变式备选】设u,v分别是不同的平面α,β的一个法向量,根据下列条件能判断α∥β的是　　　　　.
①u=(-1,1,-2),v=(3,2,-);
②u=(0,0,3),v=(0,0,-2);
③u=(4,2,-3),v=(1,4,-2).
【解析】判断两个法向量是否平行即可.
①∵u=kv的k值不存在,∴u与v不平行;
②∵u=-v,∴u∥v,∴α∥β;
③∵u=kv的k值不存在,∴u与v不平行.
答案:②
4.【解析】选D.如图所示,建立直角坐标系Axyz,
设AB=1,则C(1,1,0),E1(,,1),∴=(-,-,1).
又A1(0,0,1),E(,,0),
∴=(-,-,1),故∥,又CE1与EA1不重合,故选D.
5.【解题指南】由正方体易建立空间直角坐标系,可选B1或C1为原点,求M,N的坐标是解题关键.
【解析】选B.以C1为原点,以,,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,
∴N(,,a),
M(a,,),
∴=(-,0,).
而平面B1BCC1的一个法向量为n=(0,1,0),
∴·n=0.又MN 平面B1BCC1,
∴MN与平面B1BCC1平行.
6.【解析】∵α∥β,∴(3,2,-1)=λ(-2,-,k),
∴λ=-,λk=-1,∴k=.
答案:
7.【解析】∵m∥l,∴a=(3,2,-1)也是直线m的方向向量,又|a|=,
∴所求的向量为±(3,2,-1),即m的单位方向向量为(,,-)或(-,-,).
答案:(,,-)或(-,-,)
8.【解析】根据题意得D1(0,0,1),E(1,1,),F(,0,0),
∴=(,0,-1),=(1,1,-).
设平面D1EF的法向量是n=(x,y,z),则:
取z=2k(k≠0),则x=4k,y=-3k,
∴n=(4k,-3k,2k)(k≠0).
答案:(4k,-3k,2k)(k≠0)
9.【证明】如图所示,建立直角坐标系Dxyz,设AB=1,则C(0,1,0),D1(0,0,1),
∴=(0,-1,1),又∵A1(1,0,1),D(0,0,0),
∴E(,0,),又F(,,0),
∴=(0,,-).
∴=-2,∴∥,又∵C EF,故CD1∥EF.
10.【证明】方法一:建立如图所示的空间直角坐标系,分别取MN,DB及EF的中点R,T,S,连结AR,ST,
则A(2,0,0),M(1,0,4),N(2,,4),D(0,0,0),B(2,3,0),
E(0,,4),F(1,3,4),R(,,4),S(,,4),T(1,,0).
∴=(1,,0),=(1,,0),
=(-,,4),=(-,,4).
∴=,=,
又MN与EF,AR与TS不共线,
∴MN∥EF,AR∥TS.
∴MN∥平面EFBD,AR∥平面EFBD,
又MN 平面AMN,AR 平面AMN,MN∩AR=R,
∴平面AMN∥平面EFBD.
方法二:建系同方法一,
由方法一可知,A(2,0,0),M(1,0,4),N(2,,4),
D(0,0,0),E(0,,4),F(1,3,4),
则=(-1,0,4),=(0,,4),=(0,,4),=(1,3,4).
设平面AMN,平面EFBD的法向量分别为
n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),
令x1=1,得z1=,y1=-,
∴n1=(1,-,),
令y2=-1,得z2=,x2=.
∴n2=(,-1,),
∴n1=n2,即n1∥n2,∴平面AMN∥平面EFBD.
11.【解题指南】逆向推理是解决证明问题的关键,在证明中结合目标逆向寻求解题思路,充分利用棱柱、棱锥中的三角形、四边形(正方形、长方形、菱形)的性质特征找到垂直关系与平行关系,可以有效地对问题进行转化,忽视平面图形的性质,会使解题无从入手.
【解析】由题意知PA⊥平面ABCD,又因为底面ABCD是菱形,得AB=BC且∠ABC=
60°,所以△ABC是正三角形,连接AE,又E是BC的中点,∴BC⊥AE,故AE,AD,AP彼此两两垂直,以AE,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
∵PA=AB=2,
故A(0,0,0),B(,-1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),C(,1,0),
∴=(0,0,-2),=(,1,-2),=(0,1,1).
假设在线段AB上存在点G,使得AF∥平面PCG,
则=λ(0≤λ≤1),
∵=(,-1,0),
∴=λ=(λ,-λ,0).
∴=+=(λ,-λ,-2),
设平面PCG的法向量为n=(x,y,z),
得n=(,1,).
∵AF∥平面PCG,∴·n=0,解得λ=,
故在线段AB上存在中点G,使得AF∥平面PCG.
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