1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第二课时）(共23张PPT)

(共23张PPT)
第一章
1.4.1用空间向量研究直线、平面位置关系
空间中直线、平面的平行
用空间向量研究距离、夹角问题
学习目标
能用向量方法得到两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面的夹角的向量表达式，解决立体几何中有关角度的度量问题.
教学重难点
重点:利用向量的数量积研究两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面的夹角.
难点:根据问题的条件选择适当的基底.
用空间向量研究距离、夹角问题
直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角
与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量．
下面我们用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角，先看下列问题.
例题精讲 ——例七
如图，在边长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M,N分别为 BC，AD的中点，求直线 AM和CN 夹角的余弦值.
分析：求直线AM 和CN夹角的余弦值，可以转化为求向量与夹角的余弦值．为此需要把向量，用适当的基底表示出来，进而求得向量， 夹角的余弦值.
例题精讲 ——例七
如图，在边长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M,N分别为 BC，AD的中点，求直线 AM和CN 夹角的余弦值.
化为向量问题
如图，以{，，}作为基底，则
=-=-，=(+).
设向量与的夹角为，则直线AM和CN夹角的余弦值等于|cos|.
进行向量运算
=(+)·(-)
=-·+-·
=-+-=
又ABC和ACD均为等边三角形，所以| |=||=
所以cos==
回到图形问题
所以直线AM和CN夹角的余弦值为
直线与平面所成的角
以上我们用向量方法解决了异面直线AM和CN所成角的问题，你能用向量方法求直线AB与平面BCD所成的角吗
思考
一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得．也就是说，若异面直线l1，l2所成的角为，其方向向量分别是u，v，则
===.
直线与平面所成的角
类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB 与平面α所成的角为，直线AB的方向向量u，平面α的法向量为n，则
===.
二面角
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
类似于两条异面直线所成的角，若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．
设平面α与平面β的夹角为，则
===.
图中有几个二面角？两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系？
问题
类比已有的直线、平面所成角的定义，你认为应如何合理定义两个平面所成的角？进一步地，如何求平面和平面的夹角？
二面角
在平面内找两个不共线的向量a和b，设平面的法向量为n=(x ，y，z)，则，
根据这个不定方程组，可以求得一个法向量n=(x0，y0，z0).
问题
如何求平面的法向量？
求得的n=(x0，y0，z0)是法向量中的一个，不是所有的法向量，但所有法向量(x ，y，z)可以用n=(x0，y0，z0).表示，即(x ，y，z)=kn=k(x0，y0，z0).
解析：由题意可知=(0,1,1)，=(1,0,1)
设平面的法向量为n=(x ，y，z)，则
若取z=1，则x=1，y=，所以n=(1，1，1)是平面的一个法向量.
若取z=2，则x=2，y=，所以n=(2，2，2)是平面的另一个法向量.
已知平面内三点，A(1,0,2)，B(1,1,3)，C(2,1,4),求平面的 法向量
例题精讲 ——例
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q,R分别在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1,求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
分析：因为平面PQR与平面A1B1C1的夹角可以转化为平面 PQR与平面A1B1C1的法向量的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可．
例题精讲 ——例
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q,R分别在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1,求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
化为向量问题
以C为原点，CA1，CB1，C1C所在直线为x轴,y轴,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设平面A1B1C1的法向量为n1，平面PQR 的法向量为n2，则平面PQR与平面A1B1C1的夹角就是n1与n2的夹角或其补角
进行向量运算
因为CC1平面A1B1C1，所以平面A1B1C1，的一个法向量为n1=(0,0,1).根据所建立的空间直角坐标系，可知P(0,1,3)，Q(2,0,2)，R(0,2,1)．
所以PQ=(2,-1,-1)，PR=(0,1,-2)．设n2=(x,y,z)，则
取n2=(3,4,2)，则
回到图形问题
设平面PQR与平面A1B1C1的夹角为，则
即平面 PQR与平面A1B1C1的夹角的余弦值为
例题精讲 ——例
图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°. 已知礼物的质量为1 kg,每根绳子的拉力大小相同. 求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g 取9.8 m/s,精确到0.01 N).
分析：因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小，8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量.
例题精讲 ——例
图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°. 已知礼物的质量为1 kg,每根绳子的拉力大小相同. 求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g 取9.8 m/s,精确到0.01 N).
解:设水平面的单位法向量为n,其中每一根绳子的拉力均为F．
因为=30°，所以F在n上的投影向量为|F |n.
所以8根绳子拉力的合力F合=
又因为降落伞匀速下落，
所以=|G礼物|=1×9.8=9.8 (N).
所以||F|n| =9.8.
所以|F|=
例题精讲 ——例
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.
(1)求证:PA//平面EDB;
(2)求证:PB平面 EFD;
(3)求平面CPB 与平面PBD的夹角的大小.
分析：本题涉及的间题包括:直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角.这些问题都可以利用向量方法解决.由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素,进而解决问题.
例题精讲 ——例
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.
(1)求证:PA//平面EDB;
(2)求证:PB平面 EFD;
(3)求平面CPB 与平面PBD的夹角的大小.
解:以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设DC=1.
(1)证明:连接AC,交 BD于点G,连接 EG.
依题意得A(1,0,0)，P(0,0,1)，E(0,,)
因为底面ABCD是正方形，所以点G是它的中心，故点G的坐标为(,,0)且
=(1,0,-1)，=(,0,-).
所以,即PA//EG.
而EG平面EDB，且PA 平面EDB，
因此PA平面EDB.
例题精讲 ——例
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.
(1)求证:PA//平面EDB;
(2)求证:PB平面 EFD;
(3)求平面CPB 与平面PBD的夹角的大小.
(2) 证明:依题意得B(1，1，0)，=(1，1，1).
又，DE=(0,2,2)，
故
所以PB DE.
由已知EF PB，且 EFDE=E，
所以PB 平面EFD.
例题精讲 ——例
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.
(1)求证:PA//平面EDB; (2)求证:PB平面 EFD;
(3)求平面CPB 与平面PBD的夹角的大小.
(3)解:已知PB EF，由(2)可知PB DF，故EFD是平面CPB与平面PBD的夹角.
设点F的坐标为(x,y,z)，则PF=(x,y,z1).
因为,
所以(x,y,z1)=k(1,1, 1)=(k,k, k)，
即x=k，y=k， z =1 k.
设，则
(1,1, 1)·(k,k,1k)=k＋k-1+k=3k 1=0.
所以，点F的坐标为(0，，)
所以
所以
所以EFD=60°，即平面CPB 与平面PBD的夹角大小为60°.
课堂检测
1.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°D1, F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC= CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
解法一:设BC= CA = CC1= 1，以为单位正交基底,
则，
则
=
在直角三角形中,易求得，设向量与的夹角为,则直线BD1与AF1 ，所成角的余弦值为|cos | ,则
A
A
课堂检测
1.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°D1, F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC= CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
解法二:由已知可得CA,CB, CC1，两两垂直,以C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ,
设BC= CA = CC1= 1，
所以，，
因为D1，F1分别为 A1B1，A1C1的中点，
所以D1 ， F1,
所以BD1=，
所以
，，
设向量与的夹角为,则直线BD1与AF1所成角的余弦值为，则，故选A
A
课堂检测
2. PA,PB, PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°,那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是 ( )
A. B. C. D.
C
课堂检测
3.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，求平面AA1B与平面A1BC1夹角的余弦值.
解析：在正三棱柱ABC-A1B1C1 中,取BC，B1C1的中点分别为O,D，连接OD，以О为坐标原点，直线OB,OD,OA分别为x轴，y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为正三棱柱的所有棱长都为2，所以B(1,0,0) ,A (0,0,3)，A1(0,2,) ,C1(-1,2,0)，所以
，
设m=()为平面AA1B的法向量，则，即，
所以取，所以，
设为平面A1BC1的法向量，则，即，取，
则，所以
设平面AA1B与平面A1BC1所成的角为,
所以
所以平面AA1B与平面A1BC1所成角的余弦值
课堂检测
4.如图:ABC和DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD. ∠DBC=.求:
(1) 直线AD与直线BC所成角的大小；
(2)直线AD与平面BCD 所成角的大
(3)平面ABD和平面BDC 的夹角的余弦值.
解析：如图所示,建立空间直角坐标系,设AB=BC= BD =a，则B(0,0,0) ,，，，，，.
(1)，，
AD与BC所成角的大小为90°.
(2)设直线AD与平面 BCD所成角的大小为，易得n=(0,0,-1)是平面BCD的一个法向量,
，=45°.
(3) 设m=( x , y ,z)是平面ABD的法向量,则，即，取，则，， m ，设平面ABD和平面 BDC的夹角为α , ， 平面ABD和平面BDC的夹角的余弦
值为·
立体
几何
坐标法
坐标法利用数及其运算来解决问题，坐标法经常与向量法结合起来使用
向量法
向量法利用向量的概念及其运算解决问题
综合法
综合法以逻辑推理作为工具解决问题
小结
解决立体几何中的问题，可用三种方法: