二项式定理
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10.3二项式定理
【考纲要求】
1、能用计数原理证明二项式定理.
2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
【基础知识】
1、二项式定理：
二项式的展开式有项，而不是项。
2、二项式通项公式： （）
（1）它表示的是二项式的展开式的第项，而不是第项
（2）其中叫二项式展开式第项的二项式系数，而二项式展开式第项的系数是字母幂前的常数。
（3）注意
3、二项式展开式的二项式系数的性质
（1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。即=
（2）增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。
（3）所有二项式系数的和等于，即
奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即
4.二项展开式的系数的性质：
对于，
5、证明组合恒等式常用赋值法。
【例题精讲】
例1 若求（）+（）+……+（）
解：对于式子：
令x=0，便得到：=1
令x=1，得到=1
又原式：（）+（）+……+（）
=
∴原式：（）+（）+……+（）=2004
例2. 已知二项式，（n∈N）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的
比是10：1，
（1）求展开式中各项的系数和
（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项
解：（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，
∴，解得n=8
令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)=1
(2) 展开式中第r项, 第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为,,,
若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足：
≤ 并且 ≤，解得5≤r≤6；
所以系数最大的项为T=1792；二项式系数最大的项为T=1120
10.3二项式定理强化训练
【基础精练】
1．在二项式(x2－)5的展开式中，含x4的项的系数是 ( )
A．－10 B．10
C．－5 D．5
2．(2009·北京高考)若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝ ( )
A．45 B．55 C．70 D．80
3．在( ＋ )n的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数是
( )
A．330 B．462 C．682 D．792
4．如果n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为 ( )
A．10 B．6 C．5 D．3
5．在5的展开式中，系数大于－1的项共有 ( )
A．3项 B．4项 C．5项 D．6项
6．二项式的展开式中，系数最大的项是 ( )
A．第2n＋1项 B．第2n＋2项
C．第2n项 D．第2n＋1项和第2n＋2项
7．若(x2＋)n展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．
8．（ x＋)5的展开式中x2的系数是________；其展开式中各项系数之和为________．(用
数字作答)
9．若9的展开式的第7项为，则x＝________.
10．已知(－)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．
(1)证明：展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有有理项．
11．设(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，求：
(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；
(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|；
(3)a1＋a3＋a5；
(4)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2.
【拓展提高】
1．在(3x－2y)20的展开式中，求：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数绝对值最大的项；
(3)系数最大的项．
【基础精练参考答案】
1.B【解析】：Tk＋1＝Cx2(5－k)(－x－1)k＝(－1)kCx10－3k(k＝0,1，…，5)，由10－3k＝4得k＝2.含x4的项为T3，其系数为C＝10.
2.C【解析】：由二项式定理得：
(1＋)5＝1＋C＋C()2＋C()3＋C()4＋C·()5＝1＋5＋20＋20＋20 ＋4＝41＋29，
∴a＝41，b＝29，a＋b＝70.
3.B【解析】：∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等．由题意得，2n－1＝1 024，∴n＝11，∴展开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为C＝C＝462.
4.C【解析】：∵Tk＋1＝C(3x2)n－k·k
＝(－1)k·C3n－k·2k·x2n－5k，
∴由题意知2n－5k＝0，即n＝，∵n∈N*， k∈N，
∴n的最小值为5.
5.B【解析】：5的展开式共有6项，其中3项(奇数项)的系数为正，大于－1；第六项的系数为C205＞－1，故系数大于－1的项共有4项．
6.A【解析】：由二项展开式的通项公式Tk＋1＝ (－x)k＝(－1)kxk，可知系数为(－1)k，与二项式系数只有符号之差，故先找中间项为第2n＋1项和第2n＋2项，又由第2n＋1项系数为(－1)2n＝，第2n＋2项系数为(－1)2n＋1＝－＜0，故系数最大项为第2n＋1项．
7.10【解析】：展开式中各项系数之和为
S＝C＋C＋…＋C＝2n＝32，∴n＝5.
Tk＋1＝ ()k＝ ＝ ，
∴展开式中的常数项为T3＝C＝10.
8. 10 253【解析】：∵Tk＋1＝Cx5－k·()k＝Cx5－3k·2k，
由5－3k＝2，∴k＝1，∴x2的系数为10.
令x＝1得系数和为35＝243.
9. －【解析】：由T7＝C23x6＝，
∴x＝－.
10.【解析】依题意，前三项系数的绝对值是1，C()，C()2，
且2C·＝1＋C()2，
即n2－9n＋8＝0，∴n＝8(n＝1舍去)，
∴展开式的第k＋1项为C()8－k(－)k
＝(－)kC·x·x－＝(－1)k··x.
(1)证明：若第k＋1项为常数项，
当且仅当＝0，即3k＝16，
∵k∈Z，∴这不可能，∴展开式中没有常数项．
(2)若第k＋1项为有理项，当且仅当为整数，
∵0≤k≤8，k∈Z，∴k＝0,4,8，
即展开式中的有理项共有三项，它们是：
T1＝x4，T5＝x，T9＝x－2.
11.【解析】设f(x)＝(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，
则f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝(－3)5＝－243.
(1)∵a5＝25＝32，
∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝f(1)－32＝－31.
(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|
＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5
＝－f(－1)＝243.
(3)∵f(1)－f(－1)＝2(a1＋a3＋a5)，
∴a1＋a3＋a5＝＝122.
(4)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2
＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5)(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5)
＝f(1)×f(－1)＝－243.
【拓展提高参考答案】
(3)由于系数为正的项为奇数项，故可设第2k－1项系数最大，于是
化简得
又k为不超过11的正整数，可得k＝5，即第2×5－1＝9项系数最大，T9＝C·312·28·x12·y8.
【考纲要求】
1、能用计数原理证明二项式定理.
2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
【基础知识】
1、二项式定理：
二项式的展开式有项，而不是项。
2、二项式通项公式： （）
（1）它表示的是二项式的展开式的第项，而不是第项
（2）其中叫二项式展开式第项的二项式系数，而二项式展开式第项的系数是字母幂前的常数。
（3）注意
3、二项式展开式的二项式系数的性质
（1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。即=
（2）增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。
（3）所有二项式系数的和等于，即
奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即
4.二项展开式的系数的性质：
对于，
5、证明组合恒等式常用赋值法。
【例题精讲】
例1 若求（）+（）+……+（）
解：对于式子：
令x=0，便得到：=1
令x=1，得到=1
又原式：（）+（）+……+（）
=
∴原式：（）+（）+……+（）=2004
例2. 已知二项式，（n∈N）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的
比是10：1，
（1）求展开式中各项的系数和
（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项
解：（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，
∴，解得n=8
令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)=1
(2) 展开式中第r项, 第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为,,,
若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足：
≤ 并且 ≤，解得5≤r≤6；
所以系数最大的项为T=1792；二项式系数最大的项为T=1120
10.3二项式定理强化训练
【基础精练】
1．在二项式(x2－)5的展开式中，含x4的项的系数是 ( )
A．－10 B．10
C．－5 D．5
2．(2009·北京高考)若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝ ( )
A．45 B．55 C．70 D．80
3．在( ＋ )n的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数是
( )
A．330 B．462 C．682 D．792
4．如果n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为 ( )
A．10 B．6 C．5 D．3
5．在5的展开式中，系数大于－1的项共有 ( )
A．3项 B．4项 C．5项 D．6项
6．二项式的展开式中，系数最大的项是 ( )
A．第2n＋1项 B．第2n＋2项
C．第2n项 D．第2n＋1项和第2n＋2项
7．若(x2＋)n展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．
8．（ x＋)5的展开式中x2的系数是________；其展开式中各项系数之和为________．(用
数字作答)
9．若9的展开式的第7项为，则x＝________.
10．已知(－)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．
(1)证明：展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有有理项．
11．设(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，求：
(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；
(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|；
(3)a1＋a3＋a5；
(4)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2.
【拓展提高】
1．在(3x－2y)20的展开式中，求：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数绝对值最大的项；
(3)系数最大的项．
【基础精练参考答案】
1.B【解析】：Tk＋1＝Cx2(5－k)(－x－1)k＝(－1)kCx10－3k(k＝0,1，…，5)，由10－3k＝4得k＝2.含x4的项为T3，其系数为C＝10.
2.C【解析】：由二项式定理得：
(1＋)5＝1＋C＋C()2＋C()3＋C()4＋C·()5＝1＋5＋20＋20＋20 ＋4＝41＋29，
∴a＝41，b＝29，a＋b＝70.
3.B【解析】：∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等．由题意得，2n－1＝1 024，∴n＝11，∴展开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为C＝C＝462.
4.C【解析】：∵Tk＋1＝C(3x2)n－k·k
＝(－1)k·C3n－k·2k·x2n－5k，
∴由题意知2n－5k＝0，即n＝，∵n∈N*， k∈N，
∴n的最小值为5.
5.B【解析】：5的展开式共有6项，其中3项(奇数项)的系数为正，大于－1；第六项的系数为C205＞－1，故系数大于－1的项共有4项．
6.A【解析】：由二项展开式的通项公式Tk＋1＝ (－x)k＝(－1)kxk，可知系数为(－1)k，与二项式系数只有符号之差，故先找中间项为第2n＋1项和第2n＋2项，又由第2n＋1项系数为(－1)2n＝，第2n＋2项系数为(－1)2n＋1＝－＜0，故系数最大项为第2n＋1项．
7.10【解析】：展开式中各项系数之和为
S＝C＋C＋…＋C＝2n＝32，∴n＝5.
Tk＋1＝ ()k＝ ＝ ，
∴展开式中的常数项为T3＝C＝10.
8. 10 253【解析】：∵Tk＋1＝Cx5－k·()k＝Cx5－3k·2k，
由5－3k＝2，∴k＝1，∴x2的系数为10.
令x＝1得系数和为35＝243.
9. －【解析】：由T7＝C23x6＝，
∴x＝－.
10.【解析】依题意，前三项系数的绝对值是1，C()，C()2，
且2C·＝1＋C()2，
即n2－9n＋8＝0，∴n＝8(n＝1舍去)，
∴展开式的第k＋1项为C()8－k(－)k
＝(－)kC·x·x－＝(－1)k··x.
(1)证明：若第k＋1项为常数项，
当且仅当＝0，即3k＝16，
∵k∈Z，∴这不可能，∴展开式中没有常数项．
(2)若第k＋1项为有理项，当且仅当为整数，
∵0≤k≤8，k∈Z，∴k＝0,4,8，
即展开式中的有理项共有三项，它们是：
T1＝x4，T5＝x，T9＝x－2.
11.【解析】设f(x)＝(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，
则f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝(－3)5＝－243.
(1)∵a5＝25＝32，
∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝f(1)－32＝－31.
(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|
＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5
＝－f(－1)＝243.
(3)∵f(1)－f(－1)＝2(a1＋a3＋a5)，
∴a1＋a3＋a5＝＝122.
(4)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2
＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5)(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5)
＝f(1)×f(－1)＝－243.
【拓展提高参考答案】
(3)由于系数为正的项为奇数项，故可设第2k－1项系数最大，于是
化简得
又k为不超过11的正整数，可得k＝5，即第2×5－1＝9项系数最大，T9＝C·312·28·x12·y8.