7.2.1 三角形的内角
柳州市第十二中学 梁智杰
一．教学内容解析
1.本节课的教学内涵是探索并证明“三角形内角和定理” ，体现数学的严谨性和正确性，运用了数形结合、转化、方程等数学思想。教学核心是培养学生自主探索、动手操作、协作交流的能力。教学重点是培养学生严密的逻辑推理能力，会写出定理证明过程。
2.根据心理学家安德森的知识分类理论分析，“三角形内角和定理”属于概念性知识，该定理的证明与应用涉及到元认知知识与程序性知识。
3.从知识的发生发展过程可以知道：“三角形内角和定理”的得出，需要有“平角等于180°”这个数学事实做基础；而由“三角形内角和等于180°”进而可以推导出“n边形内角和=（n-2）×180°”。用奥苏泊尔的同化学习理论分析，“平角等于180°”是本节课的上位知识，“n边形内角和=（n-2）×180°” 是本节课的下位知识。
4.在教学过程中循序渐进的设计“验证”、“猜想”、“讨论”、“推理”、“应用”等数学活动，充分展现学生思维，在定理的应用环节突出数学与生活的联系，突破教学重难点。让学生学会多角度寻求解决问题的途径，在操作中进行自觉思考，逐渐积累数学探索的经验。
二．教学目标
根据课程标准的要求、以及对教材和教学对象的分析，我制订了本节课的教学目标：
1.能说出三角形的内角和定理。
2.能写出严谨的定理证明过程。
3.能利用三角形内角和定理解决数学问题、生活实际问题。
4.能在合作学习过程中交流自己的感受。
以上课堂目标中渗透体现了单元目标与课程目标，这些目标将在教学流程中一一体现并实现。同时，教学目标的陈述以学生为主体，教师用通俗易懂的语言明确告诉学生学习任务，具体详实，可操作性强，力求体现教学目标所应有的导教、导学、导测评功能。
三．学生学情分析
本节课的教学对象为七年级下的学生。这个年段的学生所具备的逻辑起点和经验起点分别为：
1．逻辑起点：学生已有“平角等于180°”的上位知识作基础，在第五章《相交线与平行线》的学习过程中，学生对几何证明已有初步了解，能简单地应用“∵”“∴”的三段论格式书写几何证明过程。本节课以证明“三角形内角和定理”为载体，进一步学习与内化几何证明的严谨演绎推理过程。
2．经验起点：学生在小学学习三角形内角和定理时，已经有动手剪拼和平移旋转等图形变换的经验，能将三角形三个内角用剪拼、平移、旋转等方法凑成一个平角。本节课需要将“动手拼凑成180°”的操作过程转化为适当的几何图形及几何语言，加以推理论证，同时这也是本节课学习的重难点。
此外，本班学生还具有以下特点：
对知识充满好奇，思维较活跃，一些同学已经懂得平行四边形知识。
善于思考、乐于讨论、敢于表现。
能熟练使用多媒体电教设备。
四．教学策略分析
1.根据已定的教学目标以及学生特征，我首先设计了一个寓言故事引入课题，通过寓言让学生说出其蕴含的数学道理，同时激发学生学习本课兴趣，掀起了学生思维小高潮。
2.根据皮亚杰的建构主义学习理论、教学内容的特点和学生已有的逻辑与经验基础，我放手让学生自己经历知识的形成过程，通过学生自主动手实验，教师启发引导的教学方法，让学生经过“动手--动脑--动笔”的转变，了解几何证明的必要性与严谨性，体现了“自主式学法指导”策略。
3.本课的重点是，利用已有的经验与知识，来获得新的知识，利用学生现有的剪拼实验，让学生明白剪拼的目的与意义就是为了得到平角，我将设计一系列“问题串”让其发现自己行为的本质，并提升到利用“平角”或“平行线中的同旁内角互补” 的知识得到“180°”，从而突破难点。
4.由于学生思维的多样性与不确定性，加上本班学生积极思考、敢于表现的实际情况，在定理的证明环节，分小组讨论各种证法，并上台分享，留给了学生自主探索的空间，取得良好效果。考虑到不同认知基础的学生，我仅要求其至少掌握其中的一种，并完整的写出严谨的证明格式。
5.学生在使用常规方法解决课本的例1以后，我删减题目中某个条件，引导学生一题多思，一题多解，培养学生创新意识，能尽显学生的才华，增强学生的自信。
6.为了及时检测学生的学生成果，我精心设计了七道练习题，涵盖比例、方程、应用等方面，层层递进，面向全体学生检测他们的学习效果和效率，使学生达到学数学、用数学的目的；同时对学生几何证明格式作进一步规范，保证几何证明的严谨性。
7.课堂小结环节先由学生自己归纳，教师再利用几句富有科学性，逻辑性话语作为补充。本环节是课堂教学高潮的延续，让学生更清晰的回味知识。
五．教学流程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
（一）情境导入
讲述寓言故事：在一个直角三角形里住着3兄弟也就是三个内角，按照角度的大小依次排辈下来，平时三兄弟都非常团结。可是有一天，老二与老三觉得自己的度数比老大的小，不高兴了，老二对老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的…”“为什么？” 老二很纳闷。
[问题1] 你能向老二解释其中的数学道理吗？你觉得如何解决他们兄弟间的问题？
看图听故事，思考所蕴含的数学道理
用文字和算式的形式表达三角形内角和定理，并自由发挥帮助解决问题。
激发学生学习兴趣，回忆起所学过的“三角形的内角和等于180°”达成目标1：能说出三角形的内角和定理。
自由发挥展现个性思维，
（二）实践验证
[问题2] 你能验证“三角形的内角和为180°”这个结论吗？请大家分组合作试试。
教师利用电脑《几何画板》软件展示一个三角形的三个角无论怎么变换，电脑计算出总和仍为180°
[问题3] 以上验证的方法是否可靠，是否让人完全放心，为什么？
明确告诉学生本节课的学习任务：证明三角形的内角和等于180°
学生分组采取度量、折叠、剪拼等方法验证该定理并由代表上台演示，应当会出现适当的误差。
思考如此以来，是否涵盖了所有的三角形了呢？
多种验证方法均不具备普遍性或者严谨性。
学生明确本节课的教学内容和目标
动手感受误差的存在
利用多媒体，更直观的展示三角形内角和定理
寻找这些验证方法的弊端，激发认知冲突
明确本节课的教学目标就是要证明三角形内角和定理
（三）启发探索
[问题4] 三角形的内角和为180°，看到“180°”这个数据，你会联想到什么？
[问题5] 拼的启发：剪拼的目的是什么？
教师将剪过的三角形还原，贴于黑板上，请学生观察、对比、猜想。
[问题6]如果不把纸剪开，是否也能做到将角转移？
看到180°通常会联想到平角和两直线平行，同旁内角互补。
为了凑成一个平角。
猜想:将∠A移到了∠1，将∠B移到了角2以后，猜想会有AB∥CE
相反，作辅助线满足AB∥CE，利用平行线性质，将三角形是三个内角“搬家”，凑成一个平角。
教学难点的突破口就是“180°”
突破难点的方法就是“凑”180°
培养学生的发散思维能力，观察及推理能力。
通过逆向思维引导学生得出证明思路
（四）多种证明
[问题7] 根据上一环节的启发引导，明确要领利用辅助线将角转移。继续探索其他的方法
教师巡堂，参与到学生热烈的讨论氛围当中；并关注学生差异，对困难学生进行指导。由于课堂的随机性与不确定性，学生展示时，教师在电子白板准备若干个三角形图供学生使用。
讨论完成之后，要求学生选一种自己理解的方法，写出完整的证明格式。
进行分组讨论，探索更多的证明方法。
讨论结束后，请学生代表上台展示，分享学习感受。
利用练习本，写出完整格式。
通过小组合作探究，使每位学生充分参与课堂，增强生生交流和思维碰撞，体验合作学习的快乐
照顾学生个体差异提高学生推理证明的能力，强化学生对定理证明过程的书写。达成目标2.能写出严谨的定理证明过程。
（五）反馈巩固
投影展示精心设计的七道练习题：
（1）在△ABC中，∠A=35°，∠B=45 °则∠ C=
（2）在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4则∠A = ∠ B= ∠ C=
（3）如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是（ ）
(A)带①去 (B)带②去 (C)带③去 (D)带①和②去
（4）在△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠B大40°，则三个内角分别是多少度？
（5）一个三角形中最多有_______个直角？为什么？
（6）一个三角形中最多有_______个钝角？为什么？
（7）一个三角形中至少有_______个锐角？为什么？
学生思考，独立完成，并由代表发言，讲述解题过程
通过一组精心设计的题引导学生会应用定理解决问题。使其形成了一定的解题技巧，学以致用。
（六）一题多思
例1 如图,C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从C岛看A 、B两岛的视角∠C是多少?
课本的常规解法：
解：
∵ ∠CAB＝∠DAB－∠DAC
＝80°－50°
＝30°
∵ AD∥BE
∴ ∠DAB﹢∠ABE＝180°
∴ ∠ABE ＝180°－∠DAB
＝180°－80°
＝100°
∴ ∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE
＝100°﹣40°
＝60°
在△ABC中，
∠C＝180°－∠CAB－∠ABC
＝180°－30°－60 °
＝90°
答：从C岛看A 、B两岛的视角∠C是90°。
[问题7] 教材重整：将例题中“B岛位于A岛的北偏东80°方向”这一条件去掉，是否还能将该题解出来？
教师适时引导学生适当利用辅助线
学生独立思考，利用前一环节的方法，回顾方位角的知识，并尝试解决问题
学生讨论过后，由代表讲述自己的解题过程
学数学、用数学，让学生感受数学与生活密切相关
例1的一题多思、一题多解更利于培养学生的发散思维及逻辑推理能力，充分展示学生们独特的思维和大胆的创新意识，树立信心，体验合作学习的快乐
（七）课堂小结
.教师根据学生实际情况归纳总结
1.学生说收获
①了解三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于180 °
②能证明“三角形三个内角的和等于180 °，总结出方法是：利用辅助线转化为平角或两直线平行，同旁内角和等于180°。
③利用三角形内角和定理解决实际问题，可谈谈具体解决办法。
课堂小结是课堂教学内容的回顾，让学生有更清晰的回味。
评梁智杰老师《三角形的内角》
柳州市教科所 廖先祥
柳州市第十二中学 吴宽
本节课以数学活动为主线，采用了数形结合、转化思想、方程思想等多种数学思想，形成了特有的教学风格。通过引导学生验证、猜想、讨论、推理、应用等数学活动获得三角形内角和相关知识。在教学过程中，教师关注学生的自主探索和合作学习，使学生获得数学知识的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进一步的发展。通过教师适宜的鼓励、启发、引导、点拨、巡视、有效评价，营造了一种民主和谐，宽松的学习氛围，建立了互动型的师生关系，教师真正成为了学生学习的组织者、促进者和指导者。
本课有以下几个亮点：
1.通过本节课我从梁老师身上看到了教师良好的教学基本素养，表现在语言清晰准确，教学态度真诚，教学手段多样。教学目标明确，课堂思路清晰，本节课以“三角形的内角和”为主线展开教学，始终以学生为主体地位，发展了学生思维，培养了学生的习惯，将三维目标有效落实。
2.从学生多人次走上讲台，以及积极的举手发言，可见课堂教学中充分体现了学生学习数学的积极性、主动性和参与性，学习气氛轻松使学生获得了积极的情感体验，为完成教学目标提供了良好的基础。
3.师生均能熟练、合理、有效地借助教具（三角形纸片）、实物投影仪、计算机等多媒体技术辅助教学，让课堂更直观、更有效。
4.教学设计灵巧：教师充分地利用学生原有的教学基础：平角等于180°，及平行线性质作为基石，通过动手剪拼、平移、旋转变换等教学环节，将三角形三个内角凑成一个平角，进而从操作过程中升华转化为适当的几何图形及几何语言，进而得出辅助线的多种添加方法，得到多种证明方法，充分展示了教师处理教材的高超能力，达到“四两拨千斤”的目的，轻易地突破了教材的重难点。
5.精心设计的练习具有合适的梯度，密切联系现实生活，符合学生的认知规律，使学生循序渐进的去获得知识，面向了全体学生。
6.合理调整教学资源，帮助学生发展数学思维，在例1的教学活动中，教师学生积极探索，不但探出原题多给了一个条件，而且研究出多种解法，通过一题多思，一题多解，达到提高数学学习兴趣和创新能力的效果。
