2021-2022学年度高二下学期期中考试
数学试题
（总分：150分 命题人：曲世海 校对人：陈颖）
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1. 已知等差数列公差为，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】设等差数列的公差为，则，
则，
故选：C.
2. 已知各项为正数等比数列中，，，则公比q＝
A. 4 B. 3 C. 2 D.
【答案】C
【详解】，，
，
，故选C.
3. 用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】当时，等式左端为，
当时，等式左端为，
左端应在的基础上加上.
故选：C.
4. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】在上单调递增，在上恒成立，
在上恒成立，
在上单调递减，，，
即实数的取值范围为.
故选：D.
5．公元480年左右，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：3.1415926到3.1415927之间，在之后的800年里祖冲之计算出的圆周率都是最准确的，所以，国际上曾提议将3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某老师为了帮助学生了解“祖率”，让同学们把小数点后的7个数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么得到小于3.14的不同数字个数为（ ）
A．2280 B．440 C．720 D．240
解：由题意可得，小数点后两位为3.11或3.12时，余下的5个数全排列得到的数字小于3.14，
故小于3.14的不同数字个数为＝240．
故选：D．
6．袋中有10个外形相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有3种结果，得到概率．
解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5种结果，
满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有3种结果，
∴根据等可能事件的概率得到P＝．
故选：D．
7．已知随机变量ξ+η＝8，若ξ～B（10，0.4），则E（η），D（η）分别是（ ）
A．4和2.4 B．2和2.4 C．6和2.4 D．4和5.6
解：∵ξ～B（10，0.4），
∴Eξ＝10×0.4＝4，Dξ＝10×0.4×0.6＝2.4，
∵η＝8﹣ξ，
∴Eη＝E（8﹣ξ）＝4，Dη＝D（8﹣ξ）＝2.4
故选：A．
8. 设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是
A. B. （-1,0）∪（1，+∞）
C. D. （0,1）∪（1，+∞）
【答案】A
【详解】构造新函数,，当时.
所以在上单减，又，即.
所以可得,此时，
又为奇函数，所以在上的解集为：.
故选A.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有一多项符合题目要求．全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分．
9．关于（a﹣b）10的说法，正确的是（ ）
A．展开式中的二项式系数之和为1024
B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
解：由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1 024，故A正确；
当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；
D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的．
故选：ABD．
10. 函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（）
A. 在上函数为增函数 B. 在上函数为增函数
C. 在上函数有极大值 D. 是函数在区间上的极小值点
【答案】AC
【详解】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.
所以A选项正确，B选项错误.
在区间上，有极大值为，C选项正确.
在区间上，是的极小值点，D选项错误.
故选：AC
11. 已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（）
A. 为单调递增数列 B. C. ，，成等比数列 D.
【答案】BD
【详解】由，可得，则，
当首项时，可得为单调递减数列，故错误；
由，故正确；
假设，，成等比数列，可得，
即不成立，
显然，，不成等比数列，故错误；
由公比为的等比数列，可得
，故正确；
故选：．
12. 下列命题中是真命题有（）
A. 若，则是函数的极值点
B. 函数的切线与函数可以有两个公共点
C. 函数在处的切线方程为，则当时，
D. 若函数的导数，且，则不等式的解集是
【答案】BD
【详解】A：例如在处导数，但当时，函数单调递增，当时，函数也单调递增，故不是函数的极值点，故A选项错误；
B：例如，，在点的切线与有两个交点，故正确；
C：根据导数的定义可知，，即，，故错误；
D：令，则有，，故的解集是，故的解集是，正确；
故选：BD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设曲线y＝ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x，则a＝ 3 ．
解：y＝ax﹣ln（x+1）的导数
，
由在点（0，0）处的切线方程为y＝2x，
得，
则a＝3．故答案为：3．
14．现有一个由甲、乙、丙、丁共4人组成的参观团要参观广雅、省实和华附三间中学，要求每人只能参观一间学校，每间学校至少有一个人参观，则不同的参观方法有 36 种．
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将甲、乙、丙、丁四人分成3组，②将分好的三组安排到三个学习，由分步计数原理计算可得答案．
解：根据题意，分2步进行分析：
①将甲、乙、丙、丁四人分成3组，有C42＝6种分组方法，
②将分好的三组安排到三个学习，有A33＝6种情况，
则有6×6＝36种情况，
故答案为：36
15．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是 15 .（用数字作答）
【解答】解：由杨辉三角知：
第一行：，，
第二行：，，，
第三行：，，，，
第四行：，，，，，
由此可得第n行，第r（1≤r≤n+1）个数为，
所以第15行第15个数是15．
故答案为：15．
16. 已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是____．
【答案】
【详解】由题意，定义域为，
有唯一的实数根，
即方程有唯一的实数根，
所以无变号零点，即无变号零点.
设，则，
时，，为减函数；
时，，为增函数；
所以；
所以k的取值范围为：．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17（10分）．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为m，n（m＞n），且三位学生能否做对相互独立，设X为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：
X 0 1 2 3
P a b
（1）求m，n的值；
（2）求X的数学期望．
解：（1）由题意，得，
又m＞n，解得m＝，n＝．
（2）由题意，a＝++＝，
b＝1﹣﹣＝，
∴E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．
18（12分）. 已知数列是等比数列，且；
（1）证明：数列是等差数列，并求出其通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）见证明；（2）
【详解】（1）证明：数列是公比为的等比数列，且，，
可得，解得，
即有，即，
可得数列是首项为3，公差为2的等差数列，
可得；
（2），
所以
.
19（12分）．某射手每次射击击中目标的概率均为，且各次射击的结果互不影响．
（Ⅰ）假设这名射手射击3次，求至少1次击中目标的概率；
（Ⅱ）假设这名射手射击3次，每次击中目标得10分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中目标，而另外1次未击中目标，则额外加5分；若3次全部击中，则额外加10分．用随机变量ξ表示射手射击3次后的总得分，求ξ的分布列和数学期望．
【分析】（Ⅰ）设X为射手3次射击击中目标的总次数，则X～B（3，）．计算P（X≥1）即可．
（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，10，20，25，40，然后计算出各变量对应的概率，即可列出分布列，求期望．
解：（Ⅰ）设X为射手3次射击击中目标的总次数，则X～B（3，）．
故P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1﹣＝，所以所求概率为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，10，20，25，40，
用Ai（i＝1，2，3）表示事件“第i次击中目标”，
则P（ξ＝0）＝P（X＝0）＝＝，P（ξ＝10）＝P（X＝1）＝＝，
，，P（ξ＝40）＝P（X＝3）＝．
故ξ的分布列是：
ξ 0 10 20 25 40
P
．﹣﹣﹣﹣﹣
20（12分）. 已知函数f(x)＝x+alnx+1．
（1）求函数f(x)的单调区间和极值；
（2）若f(x)在[1，e]上的最小值为－a+1，求实数a的值．
【20题答案】
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，f(x)有极小值为，无极大值；（2）a＝－1．
【解析】
【分析】（1）求出导函数，通过当，a＜0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性求解函数的极值即可.
（2）求出导函数，求解极值点，通过①若a≥－1，则x＋a≥0，即在[1，e]上恒成立，推出的值；②若a≤－e，则x＋a≤0，即≤0在[1，e]上恒成立，类似①求解判断即可；③若－e
【详解】解：（1）函数f(x)的定义域为
当时，＞0恒成立，f(x)在上单调递增，无极值；
当a＜0时，令＞0，解得x＞－a，令＜0，解得x＜－a，
所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，
此时f(x)有极小值，无极大值；
（2），x∈[1，e]，由＝0得x＝－a，
①若a≥－1，则x＋a≥0，即在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f（1）＝－a+1，即2＝－a+1，则a＝－1，符合条件．
②若a≤－e，则x＋a≤0，即≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，∴f(x)min＝f(e)＝－a+1，即e＋a＋1＝－a+1，则a＝，不符合条件．
③若－e当1当－a0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数，
∴f(x)min＝f(－a)＝﹣a+1，即－a+aln(－a)＋1＝﹣a+1，
则a＝0或a＝－1，均不符合条件．
综上所述，a＝－1．
21（12分）. 设数列的前项和满足（），且．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，求数列的前项和是
【解析】
【分析】（1）对递推公式再递推一步得到一个递推公式，两个递推公式相减，结合等比数列的定义证明即可；
（2）根据对数的运算性质，结合错位相减法，构造函数，判断单调性，利用单调性进行证明即可.
详解】解：（1）∵，∴，
两式相减得，又且，解得，
所以．∴，∴，
又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，∴，则，
①
②
得：
故，
22（12分）. 已知函数，.
（Ⅰ）若曲线与曲线在公共点处有共同的切线，求实数的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问函数是否有零点？如果有，求出该零点；若没有，请说明理由.
【答案】（I）；（II）无零点.
【详解】试题分析：（Ⅰ）设曲线与曲线公共点为则由，，即可求的值；
（Ⅱ）函数是否有零点，转化为函数与函数在区间是否有交点，求导根据函数单调性可知最小值为，最大值为，从而无零点
试题解析：
（Ⅰ）函数的定义域为，，
设曲线与曲线公共点为
由于在公共点处有共同的切线，所以，解得，.
由可得.
联立解得.
（Ⅱ）函数是否有零点，
转化为函数与函数在区间是否有交点，
，可得，
令，解得，此时函数单调递增；
令，解得，此时函数单调递减.
∴当时，函数取得极小值即最小值，
可得，
令，解得，此时函数单调递增；
令，解得，此时函数单调递减.
∴当时，函数取得极大值即最大值，.
因此两个函数无交点.即函数无零点.沈阳市回民中学 2021-2022学年度高二下学期期中考试
数学试题
（总分：150分）
一、 选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。
1. 已知等差数列 an 公差为2 ，且a1 a5 a9 19，则a3 a7 a11 （ ）
A. 21 B. 25 C. 31 D. 35
2. 已知各项为正数 等比数列{an} 中，a2 1，a4a6 64，则公比 q＝（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 2
2 4
2 n n3. 用数学归纳法证明 1 2 3 n ,n N ，则当n k 1时，左端应在n k 的基
2
础上加上（ ）
2
A. 2k 1 的B. k 1 2 42 2 2 k 1 k 1C. k 1 k 2 k 1 D. 22 1
4. 若函数 f x kx ln x 1在 2, 上单调递增，则实数 k 的取值范围是（ ）
2
1 1 1
A. , B. 1, C. , D. ,
16 16
16
5．公元 480 年左右，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：3.1415926 到 3.1415927 之间，在之
后的 800 年里祖冲之计算出的圆周率都是最准确的，所以，国际上曾提议将 3.1415926 称为“祖
率”，这是中国数学的伟大成就．某老师为了帮助学生了解“祖率”，让同学们把小数点后的 7
个数字 1，4，1，5，9，2，6 进行随机排列，整数部分 3 不变，那么得到小于 3.14 的不同数字个
数为（ ）
A．2280 B．440 C．720 D．240
6．袋中有 10 个外形相同的球，其中 5 个白球，3 个黑球，2 个红球，从中任意取出一球，已知它不
是白球，则它是黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
1 / 4
7．已知随机变量 ξ+η＝8，若 ξ～B（10，0.4），则 E（η），D（η）分别是（ ）
A．4 和 2.4 B．2 和 2.4 C．6 和 2.4 D．4 和 5.6
8. 设函数 f '(x) 是奇函数 f (x) （ x R ）的导函数， f ( 1) 0，当 x 0时， xf '(x) f (x) 0 ，
则使得 f (x) 0成立的 x 的取值范围是
A. ( , 1) (0,1) B. （-1,0）∪（1，+∞）
C. ( , 1) ( 1,0) D. （0,1）∪（1，+∞）
二、多选题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，
有一多项符合题目要求．全部选对得 5 分，有错选的得 0 分，部分选对的得 2 分．
9．关于（a﹣b）10 的说法，正确的是（ ）
A．展开式中的二项式系数之和为 1024 B．展开式中第 6 项的二项式系数最大
C．展开式中第 5 项和第 7 项的二项式系数最大 D．展开式中第 6 项的系数最小
10. 函数 f x 的定义域为 R，它的导函数 y f x 的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A. 在 1, 2 上函数 f x 为增函数 B. 在 3,5 上函数 f x 为增函数
C. 在 1,3 上函数 f x 有极大值 D. x 3是函数 f x 在区间 1,5 上的极小值点
11. 已知等比数列 an 公比为q，前n 项和为 Sn ，且满足a6 8a3，则下列说法正确的是（ ）
S6
A. an 为单调递增数列 B. 9 C. S3 ， S6 ， S 成等比数列 D. Sn 2an a9 1 S3
12. 下列命题中是真命题有（）
A. 若 f x0 0 ，则 x 是函数 f x0 的极值点
B. 函数 y f x 的切线与函数可以有两个公共点
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f 1 f 1 x
C. 函数 y f
x 在 x 1处的切线方程为2x y 0，则当 x 0 时， 1
2 x
D. 若函数 y f x 的导数 f x 1，且 f 1 2 ，则不等式 f x x 1的解集是 ,1
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．设曲线 y＝ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y＝2x，则 a＝ ．
14．现有一个由甲、乙、丙、丁共 4 人组成的参观团要参观广雅、省实和华附三间中学，要求每人
只能参观一间学校，每间学校至少有一个人参观，则不同的参观方法有 种．
15．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨
辉三角中，第 15 行第 15 个数是 .（用数字作答
x
e
16. 已知函数 f (x) 2k ln x kx ，若 x 2是函数
x2
f x 的唯一极值点，则实数 k的取值范围是___ _ ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字
说明、证明过程或演算步骤.
17（10 分）．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道
题，已知甲做对该题的概率为 ，乙、丙做对该题的
概率分别为 m，n（m＞n），且三位学生能否做对相互独立，设 X 为这三位学生中做对该题的人
数，其分布列为：
X 0 1 2 3
P a b
（1）求 m，n 的值； （2）求 X 的数学期望．
a
18（12 分）. 已知数列 2 n 是等比数列，且a1 3,a3 7；
（1）证明：数列 an 是等差数列，并求出其通项公式；
1
（2）求数列 的前n 项和 Sn .
an 1 an 1
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19（12 分）．某射手每次射击击中目标的概率均为 ，且各次射击的结果互不影响．
（Ⅰ）假设这名射手射击 3 次，求至少 1 次击中目标的概率；
（Ⅱ）假设这名射手射击 3 次，每次击中目标得 10 分，未击中目标得 0 分．在 3 次射击中，若
有 2 次连续击中目标，而另外 1 次未击中目标，则额外加 5 分；若 3 次全部击中，则额外加 10
分．用随机变量 ξ 表示射手射击 3 次后的总得分，求 ξ 的分布列和数学期望．
20（12 分）. 已知函数 f(x)＝x+alnx+1．
（1）求函数 f(x)的单调区间和极值；
（2）若 f(x)在[1，e]上的最小值为－a+1，求实数 a的值．
21（12 分）. 设数列 a 的前n 项和 S 满足 S 2S n 1（ n n n 1 n n N ），且a1 1．
（1）求证：数列 an 1 是等比数列；
（2）若bn 2
n log a n
2 n 1 ，求数列 bn 的前 项和是Tn
22（12 分）. 已知函数 f (x) a ln x，a R .
（Ⅰ）若曲线 y f (x)与曲线 g(x) x 在公共点处有共同的切线，求实数a 的值；
1 x
xe
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问函数F (x) xf (x) 1是否有零点？如果有，求出该零点；
2
若没有，请说明理由.
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