《多边形的内角和?》教学设计（人教版七年级下册）
南宁三美学校 陈 东
教学内容解析：
本节主要内容是引导学生用不同方法探索多边形的内角和的公式，在探索多边形内角和的过程中融合了转化思想、分类思想、和数形结合思想。所以本节重点在于多边形内角和的探究过程，体验化归思想。
本节课的教学内容属于程序性知识，其特点是知识产生的过程技巧性较强，更侧重于探索发现的过程。
本节课是在本章第二节学习了三角形内角和的基础上进行研究的，它既是前一节知识的延伸与拓展，也为下一节学习镶嵌奠定了基础，具有承上启下的作用。
本节核心为探究、归纳出多边形的内角和公式，在这一探究过程中培养学生将上述数学思想运用到解决实际问题中，并训练从多角度考虑问题的思维水平。
教学目标设置：
掌握n边形内角和公式并学会应用。
经历把多边形转化成三角形的过程，体会化归思想。
通过测量、类比、推理等数学活动，探索多边形的内角和的公式，体会从特殊到一般的认识问题的方法，发展学生的推理能力和语言表达能力。
学生学情分析：
在这个学段的同学已经掌握了三角形内角和定理，多边形的相关概念，并已经养成了小组合作探究的习惯。
在上节课中，通过对多边形对角线的研究，学生已经具备了本节课达成教学目标需要的认知基础，即把多边形转化为三角形。
因为在本节内容中把多边形转化为三角形的方法有很多种，教师作为学习共同体要参与小组的讨论和探究，并适时引导学生进行分类、归纳。
由于转化方法的具有多样性，对这些方法的归纳、分类整理过程是本节课的难点，为突破难点在教学中先从特殊的四边形入手，求其内角和，再分别求五边形、六边形的内角和，从中寻找求n边形内角和规律。
教学策略分析：
本节课教材内容是从四边形的对角线出发，用同一种方法来推导多边形内角和公式。如果直接按照教材来学习本节课知识，学生不仅难发现课本以外的其他方法，更使学生不能从多角度看问题，能力锻炼缺失，思维发展受到局限。必须从培养学生思维能力的角度出发，给学生提供展现思维的平台，因此本节课设计了开放式问题，给学生充分思考的空间，让学生的思想真正解放。
考虑到学生认知基础的差异性，为让不同程度的学生都有收获，充分体现新课程“面向全体，让不同的学生在学习上都能得到发展”的思想，所以采取小组合作探究的学习方式，促进每位学生的个性发展。
本节课使用合作学习的探究表可以直接反映每位同学对探究过程的理解，有助于教师在课堂教学中及时调整课堂活动。《几何画板》具有辅助测量、类比、转化等功能，所以本节课采用《几何画板》进行辅助教学。在学生展示小组探究成果的同时进行演示，直观反馈小组合作的结果。
教学过程:
一、温故知新
在学习新的内容之前，我们来一起回忆一下，我们所知道的多边形最简单的是几边形?
三角形它的内角和是多少度，同学们知道了吗？
【设计意图】回顾已学知识：三角形的内角和等于180°，为后继问题的解决作铺垫。探索多边形内角和的根本方法是把多边形转化为多个三角形，因此，唤醒学生已有知识“三角形内角和等于180°”将有助于后继问题的解决。
二、走进新课
活动一：探索四边形内角和
问题1：对于在我们生活中经常所能够看到的最常见的多边形又是几边形呢？
问题2：有哪位同学能够举出一些我们周围的例子，哪些物体给我们以四边形的形象呢？
问题3：你有什么办法可以验证任意四边形内角和吗？
（教师提问，学生思考并回答，教师运用《几何画板》进行演示，并指出测量有限个四边形还不足以说明所有的四边形都有同样的结论（一般性），测量存在误差，还需要进行严格的论证。）
【设计意图】四边形是多边形（边数大于三）中的简单图形，因此，从四边形入手，有利于学生探索它与三角形的关系，从而有利于发现转化的思想方法，同时渗透“特殊”不代表“一般”的数学思想。鼓励学生寻找多种分割形式，深入领会转化的本质——将四边形问题转化为三角形问题来解决。
问题4：将一个任意四边形问题转化为三角形问题还有其它方法吗？你能用算式表示出来吗？
请同学们分小组交流与探究，进一步来论证自己的猜想。
（学生亲自动手操作，小组内交流，教师深入小组指导，倾听学生交流.引导学生利用添加辅助线的方法把四边形转化为三角形.请学生上台用投影仪汇报小组探究成果，教师用几何画板现在演示同学的方法。）
【设计意图】“解放学生的手，解放学生的大脑”，鼓励学生积极参与，合作交流，用语言表达解决问题的方法，发展学生的语言表达能力与推理能力。
小组交流讨论后在投影仪上给全班同学讲解自己组探究出来的方法。
①过一个顶点画对角线1条，得到2个三角形，内角和为2×180°；?
②画2条对角线，在四边形内部交于一点，得到4个三角形，内角和为 4×180°-360°；
③若在四边形内部任取一点，如图3，也可以得到相应的结论；
④这个点还可以取在边上（若与顶点重合，转化为第一种情况——连接对角线；否则如图4）内角和为3×180°-180°；
?⑤点还可以取在外部，如图5内角和为3×180°-180°；
（教师板书学生通过不同方法得到的四边形内角和算式，教师重点关注：①学生能否借助辅助线把四边形分割成几个三角形；②能否借助辅助线找到不同的分割方法。）
【设计意图】通过动手操作寻找结论，让他们积极参加数学活动、主动思考、合作交流，体验解决问题策略的多样性.通过寻求多种方法解决问题，训练学生发散思维能力、培养创新意识.通过观察辅助线交点的位置，在顶点、在边上、在四边形内、在四边形外，培养学生数学的分类思想。
活动小结：
思考：几种推导四边形内角和的方法有什么共性？
（教师关注：把求四边形的内角和转化为熟悉的三角形的内角和，这种把未知转化为已知的思想方法，在今后的数学学习中将经常会遇到。）
【设计意图】把知识提升到思想方法，把未知转化为已知思想方法
活动二：用不同方法求五边形、六边形内角和
问题1：请每一组的同学用你们小组所用的方法，推导出五边形和六边形的内角和，可以吗？
（教师关注：学生能否类比四边形的方式解决问题，得出正确结论）
学生在独立思考的基础上分组交流讨论，归纳总结n边形的内角和公式，不同的方法可以得到不同的内角和公式：
(n-2)·180°
180°n-360°
180°(n-1)-180°
【设计意图】通过增加图形的复杂性，再一次经历转化的过程，加深对转化思想的理解。通过猜想、归纳、推导让学生体会从特殊到一般的思想，通过公式的归纳过程，体会数形之间的联系
问题2：几种推导四边形内角和的方法中，你认为哪种方法最好？为什么？
（这就是最优化的思想，生活中也经常会遇到一个问题有多个解决方法的情况，同学们需“三思而后行”，选择好最优最适合自己的方法再行动。）
【设计意图】最优化思想，数学来源于生活，为生活服务
问题3：对于n边形内角和我们所得到的算式不同，得到的结果能一样吗？
（有学生动笔计算后回答，教师关注学生在运算中所用的已学过的知识。）
n180°-360°=n180°-2×180°=(n-2)·180°
（n-1）180°-180°=（n-1）180°-180°×1=（n-1-1）180°=（n-2）180°
【设计意图】通过逆用乘法分配律推导，让学生体会划归的思想，通过公式的化归纳过程，更深体会数形之间的联系和各种方法之间的联系
三、学以致用
你能运用多边形内角和公式解决问题吗？
1.求10边形内角和的度数。
解：（n-2）×180°
=（10-2)×180°
= 1440°
答：十五边形的内角和是1440°
【设计意图】通过计算让学生巩固并掌握n边形内角和公式。
2.求下列图中x值
解：（1）（5-2）×180°=150°+120°+2x+x
x=60°
（2）360°-120°-80°-75°=180°-x
x=95°
【设计意图】学生利用当堂所学的知识，结合方程的思想，让学生在解决问题中体会从未知到已知再到未知的转化过程。通过类比和扩展方法的使用，使学生掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法。
3.填空：
（1）已知一个多边形的内角和为1080°，则它的边数为 。
（2）已知一个多边形每一个内角都是156°，则它的边数为 。
【设计意图】让学生体会n边形内角和公式什么时候可以顺向应用？什么时候可以逆向应用？1.已知边数求多边形的内角和—直接应用内角和公式。2.已知多边形的内角和求边数—逆向应用多边形内角和公式解关于 n 的方程。通过练习教师可以及时了解学生的学习效果，让学生经历用知识解决问题的过程。对本节课知识的巩固、发展、提高。
四、归纳总结：
问题1：你都学习到了哪些探究多边形内角和的方法？
问题2：你认为这节课学习的内容对你今后的学习有何启发？
【设计意图】1、总结提炼本节内容蕴含的数学思想与方法。2、通过回顾和反思，让学生看到自己的进步，激励学生，使学生自己在今后的学习中不断进步，提高学生的学习热情。
五、布置作业：
课本P84，2-4
六、板书设计：
7.2.3 多边形的内角和
四边形内角和 五边形内角和 n边形内角和
连接对角线 2×180°=360° 3×180°=540° （n-2）·180°
在内部取一点 4×180°-360°=360° 5×180°-360°=540° n·180°-360°
在任一边上取一点 3×180°-180°=360° 4×180°-180°=540° （n-1）·180°-180°
外部取一点 3×180°-180°=360° 4×180°-180°=540° （n-1）·180°-180°
n180°-360°=n180°-2×180°=(n-2)·180°
（n-1）180°-180°=（n-1）180°-180°×1
=（n-1-1）180°=（n-2）·180°
附：
7.3.2 多边形的内角和探究表
活动一：探究四边形内角和
活动二：探究五边形、六边形内角和
活动三：探究n边形内角和
