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第四章 数 列
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
数列的历史悠久，中国、古印度、阿拉伯、古希腊等数学历史中都有数列的主题，分布广泛，人类对数列的认识很早，不晚于函数，而且各个国家、地区对数列的认识水平较深入.
《庄子》中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；古代《易经》中有“是故《易》有太极，是生两仪；两仪生四象，四象生八卦”，这里包含了数列的涵意.中国的刘徽《九章算术》、西方的欧几里得《几何原本》都有丰富的数列内容.它们表明，数列是非常古老的数学对象，无论东方还是西方，古往今来，数列始终是数学研究的重要问题之一，历史悠久，文化灿烂.
[读图探新]——发现现象背后的知识
发现规律的能力是各行各业的人都需要具备的，因此，很多职业测试中都会有数字推理的考查内容.例如，以下是“行政职业能力测验”中的一道题，你能快速地做出来并说明理由吗？
根据1，2，4，7，( )，16中各数字之间的关系，填出括号中的数.
解答此类题目的关键无疑是要找出其中数字出现的规律.事实上，很久以前人们就开始了对类似问题的研究.
例如，古希腊的毕达哥拉斯学派将1，4，9，16等数称为正方形数，因为这些数目的点可以摆成一个正方形，如下图所示.
依据这一规律，我们很容易就能知道，下一个正方形数应该是25，再下一个是36，等等.
你知道吗？通过寻找数字出现的规律，可以产生新的发现.
19世纪的时候，门捷列夫将当时已有的原子量约为7至14的元素按从小到大的顺序排列后，得到了如下结果：
元素 锂 硼 碳 铍 氮
原子量 7 11 12 13.5 14
化合价 ＋1 ＋3 ＋4 ＋2 ＋5
仔细观察，你是否发现了其中的不“和谐”的地方？
门捷列夫当时猜测，铍的原子量可能不是13.5，而应该约为9，这一猜测后来在实验室得到验证！
数学上，通常将按一定顺序排列的数称为数列.本章我们要学习的就是数列的基础知识，以及两种规律比较常见的数列.
4.1 数列的概念
第一课时 数列的概念与表示
课标要求 素养要求
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(表格、图象、解析法).
2.了解数列是一种特殊函数. 从日常生活和数学中的实例，经历数列的概念的抽象过程，并在由数列的前几项归纳数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象素养和逻辑推理素养.
新知探究
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数.毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1，3，6，10等数时，小石子都能摆成正三角形，如图1.他把这些数叫作三角形数；当小石子的数目是1，4，9，16等数时，小石子都能摆成正方形，如图2.他把这些数叫作正方形数，等等.每一系列有形状的数按顺序排列出来就称为数列.那么数列的有关概念是什么？
可分为哪几类？就让我们一起进入今天的学习吧.
1.
(1)数列：按照____________排列的一列数称为数列.
(2)数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.
数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号______表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用______表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用______表示.其中第1项也叫做______.
确定的顺序
a1
a2
an
首项
数列与数列的项
“顺序”是数列最根本的性质
2.数列的
数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}.
3.数列的表示方法
(1)表示方法：解析式法、表格法、图象法.
(2)数列的通项公式：如果数列{an}的__________与它的________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
第n项an
序号n
一般形式
与集合的表示方法不同！
4.数列的
类别 含义
递增数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列
常数列 各项都______的数列
单调性
与函数的单调性类似，项数n相当于自变量x，项an相当于函数值f(x).
大于
小于
相等
拓展深化
[微判断]
1.1，1，1，1是一个数列.( )
2.数列1，3，5，7，…的第10项是21.( )
提示 第10项并不一定是21，也可能是其它任何数.
3.每一个数列都有通项公式.( )
提示 并不是每一个数列都有通项公式.
4.如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列.( )
提示 也可能是摆动数列，如：1，－1，1，－1，….
√
×
×
×
解析 a3＋a6＝(3＋2)＋(6－3)＝5＋3＝8.
答案 8
2.根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式.
[微思考]
1.数列的项和它的项数是否相同？
提示 数列的项与它的项数是不同的概念.数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.
2.数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与{1，2，3，4，5}有什么区别？
提示 数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性.
题型一 数列的概念与分类
【例1】 (1)(多选题)下列四个数列中的递增数列是( )
解析 (1)A是递减数列；B是摆动数列；C，D是递增数列.
解得2
答案 (1)CD (2)D
规律方法 数列单调性的判断
若满足anan＋1(n∈N*)则是递减数列；若满足an＝an＋1(n∈N*)则是常数列；若an与an＋1(n∈N*)的大小不确定时，则是摆动数列.
【训练1】 已知下列数列：
答案 (1)①② (2)③
题型二 由数列的前几项写出数列的一个通项公式
【例2】 写出下面各数列的一个通项公式
(3)这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为1，2，3，4，5，6，分子依次为1，3，1，3，1，3，所以它的一个通项公式为
规律方法 此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法求解.具体注意以下几方面：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同；(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1处理.
【训练2】 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
规律方法 判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.
【训练3】 在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数.
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断88是不是数列{an}中的项？
(2)令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5 N*，
∴88不是数列{an}中的项.
解 法一 函数单调性法
当n<8时，an＋1－an>0，即an＋1>an，即{an}在n<8时单调递增；
当n＝8时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an，得a8＝a9；
当n>8时，an＋1－an<0，即an＋18时单调递减.
法二 不等式组法
(1)讨论数列{an}的单调性；
(2)求数列{an}的最大项和最小项.
据此可得1>a1>a2>a3>…>a15，且a16>a17>a18>a19>…>1，所以当n<16时，数列{an}单调递减；当n≥16时，数列{an}单调递减.
(2)由(1)，知数列{an}的最大项为a16，最小项为a15.
一、素养落地
1.通过学习数列的通项公式求法及应用，重点培养逻辑推理素养及提升数学运算素养.
2.数列中的项具有三个性质：(1)确定性，(2)可重复性，(3)有序性.
3.数列可以看作以自然数n(n≥1)为自变量，以对应的项为函数值的函数，因此数列也具有单调性，有递增数列和递减数列之分.
4.根据数列的前几项求其通项公式时，抓住其每一项之间的特征，并对此进行联想、转化、归纳.
二、素养训练
1.下列叙述正确的是( )
答案 D
2.数列{an}中，an＝2n，则16是这个数列的( )
A.第16项 B.第8项
C.第4项 D.第2项
解析 令an＝2n＝16，得n＝4.
答案 C
3.数列2，3，4，5，…的一个通项公式为( )
A.an＝n B.an＝n＋1
C.an＝n＋2 D.an＝2n
解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以它的一个通项公式为an＝n＋1.
答案 B
A.12 B.13
C.14 D.15
答案 C
5.已知an＝n2－2n＋5，求数列{an}的最小值.
解 由an＝n2－2n＋5＝(n－1)2＋4可知，当n＝1时，an的最小值为a1＝4.(共31张PPT)
第二课时 数列的递推公式
课标要求 素养要求
1.理解数列的递推公式是数列的表示方法的一种形式.
2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法. 通过由数列的递推公式归纳或者推导数列的通项公式，提升学生的数学运算素养和逻辑推理素养.
新知探究
历史上有一个有名的关于兔子的问题：假设有一对兔子(一雄一雌)，长两个月它们就算长大成年了.然后每个月都会生出1对兔子，生下来的兔子也都是长两个月就算成年，然后每个月也都会生出1对兔子.这里假设兔子不会死，且每次都是只生1对兔子.
第一个月，只有1对兔子；
第二个月，小兔子还没长成年，还是只有1对兔子；
第三个月，兔子长成年了，同时生了1对小兔子，因此有两对兔子；
第四个月，成年兔子又生了1对兔子，加上自己及上月生的小兔子，共有3对兔子；
第五个月，成年兔子又生了1对兔子，第三月生的小兔子现在已经长成年了且生了1对小兔子，加上本身两只成年兔子及上月生的小兔子，共5对兔子；
问题1 过了一年之后，会有多少对兔子？
提示 我们可以把这些兔子的数量以对为单位列出数字就能得到一组数字：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233.所以，过了一年之后，总共会有233对兔子.
问题2 兔子的对数所组成的数列为1，1，2，3，5，8，13，…这个数列的第n项an，第n＋1项an＋1，第n＋2项an＋2有何关系？
提示 an＋an＋1＝an＋2.
1.数列的递推公式
如果一个数列的__________或______之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
2.数列的前n项和
(1)数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝_________________.
(2)数列的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
相邻两项
多项
a1＋a2＋…＋an
序号n
3.an与Sn的关系式
拓展深化
[微判断]
1.数列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N*，则a2＝2a1.( )
2.利用an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}.( )
提示 只有给出a1的值，才可以确定数列{an}.
3.设数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1.( )
√
×
×
[微训练]
1.已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an＋1，则数列的第5项a5＝________，由此归纳出{an}的一个通项公式为________，可以求得a8＝________.
解析 ∵a1＝3，∴a2＝2a1＋1＝7，a3＝2a2＋1＝15，a4＝2a3＋1＝31，a5＝2a4＋1＝63，∴a5＝63.可以看出an＝2n＋1－1，∴a8＝29－1＝511.
答案 63 an＝2n＋1－1 511
2.设数列{an}的前n项和为Sn＝2n－3，则an＝________.
[微思考]
1.利用数列的递推公式确定一个数列，必须给出哪些条件？
提示 (1)“基础”，即第1项(或前几项)；
(2)递推关系，即递推公式.
2.数列的递推公式与其通项公式有何异同？
提示
相同点 不同点
通项公式 均可确定一个数列，求出数列中的任意一项 给出n的值，可求出数列中的第n项an
递推公式 由前一项(或前几项)，通过一次(或多次)运算，可求出第n项an
规律方法 递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律.
A.22 B.24
C.26 D.28
所以数列{an}是周期为3的数列，故a22＝a28＝3.
答案 AD
题型二 由递推公式求数列的通项
【例2】 (1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，n∈N*，求通项an；
解 (1)当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
a1＝1也符合上式，所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1，n∈N*.
…
【迁移2】 把例3中数列{an}的前n项和改为Sn＝2n－1，求数列{an}的通项公式.
解 ∵Sn＝2n－1，∴当n＝1时，a1＝S1＝2－1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1.
当n＝1时，a1＝1符合上式，∴an＝2n－1.
规律方法 已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示，不符合则分段表示.
【训练3】 已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋n＋3，求数列{an}的通项公式.
解 ∵Sn＝2n2＋n＋3，∴当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋1＋3＝6；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n＋3－[2(n－1)2＋(n－1)＋3]＝4n－1.
当n＝1时，a1不符合上式，
一、素养落地
1.通过学习由数列的递推公式求数列的项或通项公式，提升逻辑推理素养和数学运算素养.
2.由数列的递推公式求数列的通项公式的方法有：(1)归纳法；(2)累加法；(3)累乘法；(4)迭代法.
答案 C
2.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( )
A.an＝an－1＋2(n≥2)
B.an＝2an－1(n≥2)
C.a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)
D.a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
解析 A，B中没有说明某一项，无法递推；D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意.
答案 C
3.已知数列{an}中，an＋1＝2an对 n∈N*成立，且a3＝12，则a1＝________.
解析 ∵a3＝2a2＝12，∴a2＝6，a2＝2a1＝6，∴a1＝3.
答案 3
5.设数列{an}的前n项和为Sn＝3n，求an.
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3(n－1)＝3，
又a1＝S1＝3，所以an＝3.