(共36张PPT)
第二课时 等差数列的性质及实际应用
课标要求 素养要求
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质，并能运用这些性质简化运算.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 通过推导等差数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等差数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.
新知探究
请同学们思考以下问题：
若等差数列{an}为1，3，5，7，…，2n－1，则数列{an＋2}，{2an}是等差数列吗？
提示 因为等差数列的通项为an＝2n－1，则an＋2＝2n－1＋2＝2n＋1，2an＝2(2n－1)＝4n－2，可判断数列{an＋2}，{2an}都是等差数列，一般地，若{an}为等差数列，则{an＋c}，{can}也是等差数列，你还知道等差数列的其他性质吗？
1.等差数列通项公式的变形及推广
2.若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列 结论
{c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
3.等差数列的项的对称性
在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
4.下标性质
在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则________________.特别的，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有______________.
am＋an＝ap＋aq
am＋an＝2ap
拓展深化
[微判断]
1.等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.( )
提示 反例：an＝n－1，a10＝9，a1＋a9＝8，不满足a10＝a1＋a9.
2.若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列.( )
3.若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…也是等差数列.( )
提示 反例：设两数列为1，3，5，…，4，6，8，…，显然1，4，3，6，5，8，…不是等差数列.
4.若数列{an}为等差数列，则an＋1＝an－1＋2d，n>1，且n∈N*.( )
×
√
×
√
[微训练]
1.在等差数列{an}中，a10＝18，a2＝2，则公差d＝( )
A.－1 B.2
C.4 D.6
解析 由题意知a10－a2＝8d，即8d＝16，d＝2.
答案 B
2.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A.a1＋a101>0 B.a2＋a101<0
C.a3＋a99＝0 D.a51＝51
解析 ∵a1＋a2＋…＋a101＝0，
又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，∴101a51＝0，∴a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0.
答案 C
3.在等差数列{an}中，若a2＋a8＝－3，a4＝－2，则a6＝________.
解析 由a2＋a8＝a4＋a6得a6＝－1.
答案 －1
[微思考]
1.在等差数列{an}中，ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是等差数列吗？若是，公差是多少？
提示 是.若{an}的公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…的公差为md.
2.在等差数列{an}中，若m，n，p，q，…成等差数列，那么am，an，ap，aq，…也成等差数列吗？若成等差数列，公差是什么？
提示 成等差数列，若{an}的公差为d，则am，an，ap，aq，…的公差为(n－m)d.
题型一 an＝am＋(n－m)d的应用
【例1】 在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式.
解 因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.
又因为an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1，n∈N*.
规律方法 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担.
【训练1】 已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________.
解析 法一 ∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，
∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.
∴b8＝2×8－8＝8.
答案 8
题型二 等差数列性质的应用
【例2】 已知数列{an}为等差数列，且公差为d.
(1)若a15＝8，a60＝20，求a105的值；
(2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d.
法三 ∵{an}为等差数列，∴a15，a60，a105也成等差数列，
则2a60＝a15＋a105，∴a105＝2×20－8＝32.
(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34，∴a2＋a5＝17.
规律方法 等差数列运算的两条常用思路
(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量.
(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
【训练2】 (1)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
(2)已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________.
解析 (1)3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20.
(2)法一 由性质可知，数列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差数列，所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，则a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27.
法二 设等差数列{an}的公差为d，则(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6，
解得d＝－2，所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝27.
答案 (1)20 (2)27
题型三 等差数列的设法与求解
【例3】 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.
又因为是递增数列，所以d>0，
此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.
【迁移】 已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式.
由于数列{an}为单调递增数列，
规律方法 等差数列项的常见设法
(1)通项法：设数列的通项公式，即设an＝a1＋(n－1)d.
(2)对称项设法：当等差数列{an}的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….
对称项设法的优点是：若有n个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为na.
【训练3】 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数.
解 法一 设此等差数列的首项为a1，公差为d.
所以这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.
所以所求四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.
已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中小寒与清明之间的晷影长之差为( )
A.105.6寸 B.48寸 C.57.6寸 D.67.2寸
节气 冬至 小寒
(大雪) 大寒
(小雪) 立春
(立冬) 雨水
(霜降) 惊蛰
(寒露) 春分
(秋分)
晷影长/寸 135.0 125. 115.1 105.2 95.3 85.4 75.5
节气 清明
(白露) 谷雨
(处暑) 立夏
(立秋) 小满
(大暑) 芒种
(小暑) 夏至
晷影长/寸 65.5 55.6 45.7 35.8 25.9 16.0
答案 C
规律方法 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中.
(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.
【训练4】 假设某市2020年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在________年新建住房的面积开始大于820万平方米.
答案 2 029
3.等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.
4.等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
二、素养训练
1.在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于( )
A.3 B.－6
C.4 D.－3
答案 B
2.在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7等于( )
A.5 B.8 C.10 D.14
解析 法一 设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.
法二 由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.
答案 B
3.在等差数列{an}中，a1＋a5＝2，a3＋a7＝8，则a11＋a15＝________.
答案 32
4.在等差数列{an}中，已知5是a3和a6的等差中项，则a1＋a8＝________.
解析 由题意知a3＋a6＝10，故a1＋a8＝a3＋a6＝10.
答案 10
5.三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数.
∴所求三个数为－2，2，6或6，2，－2.(共36张PPT)
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第一课时 等差数列的概念与通项公式
课标要求 素养要求
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.
2.体会等差数列与一元一次函数的关系. 在根据实例抽象出等差数列的概念并归纳出等差数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.
新知探究
观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题.
我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为
2 017，2 029，2 041，2 053，2 065，2 077，…；①
我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为
275，270，265，260，255，250，…；②
2020年1月中，每个星期日的日期为
5，12，19，26.③
问题 数列①②③有什么共同的特点？
提示 从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，都是等差数列.
1.等差数列的概念
等差数列的定义中的几个关键词是“从第2项起”，“同一个常数”
条件 从第____项起
每一项与它的________的差都等于____________
结论 这个数列就叫做等差数列
有关概念 这个常数叫做等差数列的______，通常用字母____表示
2
前一项
同一个常数
公差
d
2.等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时____叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝________.
A
a＋b
3.等差数列的通项
(1)通项公式：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝_____________.
(2)等差数列与一次函数的关系：
①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n，an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.
②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，则f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，其首项为________，公差为____.
a1＋(n－1)d
(k＋b)
k
公式
一般形式：an＝am＋(n－m)d
拓展深化
[微判断]
1.常数列是等差数列.( )
2.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( )
提示 差都是同一个常数.
3.数列{an}满足an＋1－an＝1(n＞1)，则数列{an}是等差数列.( )
提示 {an}不一定是等差数列，忽略了第1项.
√
×
×
[微训练]
1.已知实数m是1和5的等差中项，则m＝( )
解析 由题知：2m＝1＋5＝6，m＝3.
答案 C
2.等差数列{1－3n}的公差d等于( )
A.1 B.3
C.－3 D.n
解析 ∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5，
∴d＝a2－a1＝－3.
答案 C
3.等差数列－3，－1，1，…的通项公式为an＝________.
解析 由题知，a1＝－3，d＝2，an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5.
答案 2n－5
[微思考]
1.如果数列{an}满足an＋1－an＝d(常数)或2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，那么数列{an}是等差数列吗？
提示 是等差数列.
2.等差数列{an}的单调性与其公差d有什么关系？
提示 当公差d＝0时，{an}是常数列；
当公差d>0时，{an}是递增数列；
当公差d<0时，{an}是递减数列.
题型一 等差数列的通项公式及相关计算
【例1】 在等差数列{an}中，
解 (1)an＝a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.
(2)由an＝a1＋(n－1)d得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.
(3)由a6＝a1＋5d得12＋5d＝27，解得d＝3.
(4)由a7＝a1＋6d得a1－2＝8，解得a1＝10，
规律方法 等差数列通项公式中的四个参数及其关系
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d
四个参数 a1，d，n，an
“知三求一” 知a1，d，n求an
知a1，d，an求n
知a1，n，an求d
知d，n，an求a1
【训练1】 (1)已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝( )
答案 (1)B (2)B
题型二 等差中项及其应用
【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.
解 ∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，
∴该数列为－1，1，3，5，7.
规律方法 (1)由等差数列的定义知an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即2an＝an－1＋an＋1，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.(2)在设等差数列的项时，可利用上述性质.
(2)由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.
答案 (1)A (2)B
题型三 等差数列的判定
角度1 等差数列的证明
【例3－1】 (1)已知数列{an}是等差数列，设bn＝2an＋3，求证：数列{bn}也是等差数列.
证明 因为数列{an}是等差数列，可设其公差为d，则an＋1－an＝d.
从而bn＋1－bn＝(2an＋1＋3)－(2an＋3)＝2(an＋1－an)＝2d，它是一个与n无关的常数，
所以数列{bn}是等差数列.
∴an＝n·2n.
角度2 等差数列的探究
【例3－2】 数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*).
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)是否存在λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由.
(2)不存在.∵a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n，∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2，即2＋2λ2－10λ＋16＝2(2λ－4)，∴λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解，∴λ不存在，即不存在λ使{an}为等差数列.
规律方法 (1)证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*) {an}是等差数列；an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*) {an}是等差数列.
②等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}是等差数列.
(2)若证明一个数列不是等差数列，则只要证明其中特定三项(如前三项a1，a2，a3)不是等差数列即可.
一、素养落地
1.通过学习等差数列的概念，提升数学抽象素养，通过学习等差数列的证明及相关计算，提升逻辑推理及数学运算素养.
2.判断一个数列是不是等差数列的常用方法：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*) {an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*) {an}是等差数列.
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.
3.由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.
二、素养训练
1.给出下列数列：
(1)0，0，0，0，0，…； (2)1，11，111，1 111，…；
(3)2，22，23，24，…； (4)－5，－3，－1，1，3，…；
(5)1，2，3，5，8，….
其中是等差数列的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 数列(1)，(4)是等差数列，故选B.
答案 B
2.若数列{an}的通项公式是an＝2(n＋1)＋3，则此数列( )
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为3的等差数列
C.是公差为5的等差数列
D.不是等差
解析 an＋1－an＝[2(n＋2)＋3]－[2(n＋1)＋3]＝2，故{an}是公差为2的等差数列.
答案 A
3.在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5＝( )
A.5 B.6
C.8 D.9
解析 因为a5是a1和a9的等差中项，所以2a5＝a1＋a9，即2a5＝10，a5＝5.
答案 A
4.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是________.
解析 d＝－1－1＝－2，设an＝－89，则－89＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)，解得n＝46.
答案 46
5.在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
