(共35张PPT)
第二课时 等差数列前n项和的最值及应用
课标要求 素养要求
能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 通过利用等差数列的前n项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.
新知探究
公元前二千多年的巴比伦人就提出了等差数列问题，“十兄弟分银子”就是其中之一.有100两银子要分给10个兄弟，按年龄的不同分给不同的数量，老大要比老二多，老二要比老三多，依次类推，都相差一级，每一级相差数都一样，但不知是多少，只知道老八分到的银子是6两.
问题 每一级的差额是多少？
提示 设十兄弟所分得的银子从多到少依次为a1，a2，…，a10，易知其为等差数列，且a8＝6，
2.等差数列前n项和的最值
d的符号决定Sn有最大值还是最小值
×
2.若等差数列{an}的公差d>0，则{an}的前n项和一定有最小值.( )
√
×
[微训练]
1.等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－3n，则其最小值为________.
答案 －2
2.设an＝14－3n，则数列{an}的前n项和Sn有最________(填“大”或“小”)值为________.
解析 由于a1＝11>0，d＝－3<0，所以Sn有最大值.
答案 大 26
[微思考]
1.在等差数列{an}中，若a1＞0，d＞0或a1＜0，d＜0时，Sn能否取得最值？
提示 当a1＞0，d＞0时，Sn的最小值为a1，无最大值；当a1＜0，d＜0时，Sn的最大值为a1，无最小值.
2.若数列{an}的通项公式为an＝2n－37，则当n为何值时Sn取得最小值？
提示 ∵an＝2n－37，an＋1－an＝2＞0，
∴{an}为递增数列.由an＝2n－37≥0，
得n≥18.5.∴a18＜0，a19＞0，∴S18最小，
即当n＝18时，Sn取得最小值.
题型一 等差数列前n项和最值问题的判断
【例1】 (多选题)在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为Sn(n∈N*)，则下列命题正确的是( )
A.若S3＝S11，则必有S14＝0
B.若S3＝S11，则S7是{Sn}中的最大项
C.若S7>S8，则必有S8>S9
D.若S7>S8，则必有S6>S9
答案 ABCD
A.第1项 B.第8项
C.第9项 D.第15项
答案 B
(1)求Sn；
(2)求Tn及Tn的最小值.
解 (1)设数列{an}的公差为d.
规律方法 求等差数列前n项和的最值的方法有：(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解；(2)通项公式法，求使an≥0(an≤0)成立时最大的n即可.
【训练2】 已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
解 (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)法一 ∵a1＝9，d＝－2，
法二 由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列.
∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
题型三 等差数列求和的实际应用
【例3】 7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件.
(1)问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？
(2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行.问该款服装在社会上流行几天？
解 (1)设7月n日售出的服装件数为an(n∈N*，1≤n≤31)，最多售出ak件.
∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件.
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，
∵S13＝273>200，
∴当1≤n≤13时，由Sn>200，得12≤n≤13，
当14≤n≤31时，日销售量连续下降，由an<20，得23≤n≤31，∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日).
规律方法 应用等差数列解决实际问题的一般思路：
【训练3】 某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.
(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；
(2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？
解 (1)由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项a1＝40，公差d＝40的等差数列{an}，
所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋(10－1)×40＝400.
从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10，所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390.
(2)9月份前10天流感病毒的新感染者人数的和为
9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b1＝390，公差d1＝－10的等差数列{bn}，
又b20＝390－10×19＝200，
所以后20天流感病毒的新感染者人数的和为
所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有
2 200＋5 900＝8 100(人).
一、素养落地
1.通过学习等差数列前n项和最值的求法，提升数学运算素养，通过学习利用等差数列前n项和解决实际问题，提升数学建模素养.
2.求等差数列前n项和最值的方法：
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观.
3.解决与等差数列有关的实际应用题时，要抓住其反映等差数列的特征，仔细审题，用心联想.要明确该问题是求an还是求Sn？要特别注意弄清项数是多少.
二、素养训练
1.设an＝2n－9，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为( )
A.4 B.5
C.4或5 D.5或6
答案 A
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＝S12，则( )
A.S9最大 B.S10最大
C.S9与S10相等且最大 D.以上都不对
解析 由于不能明确公差的符号，所以S9与S10相等可能是最大值也可能是最小值.
答案 D
3.若在数列{an}中，an＝43－3n，则当Sn取最大值时，n＝( )
A.13 B.14
C.15 D.14或15
答案 B
4.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝( )
A.35 B.32 C.23 D.38
答案 A
5.某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
解 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.
∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线.(共36张PPT)
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第一课时 等差数列的前n项和公式及相关性质
课标要求 素养要求
1.探索并掌握等差数列的前n项和公式.
2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系. 在探索等差数列的前n项和公式及相关性质的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.
新知探究
在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇帝建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.
问题 文中所提到的最高一层的石板一共有多少块？
提示 9＋2×9＋3×9＋…＋8×9＋9×9＝405(块).
1.等差数列的前n项和公式
求Sn的条件：已知n，a1，an或n，a1，d
(1)等差数列的前n项和公式
2.等差数列前n项和的性质
拓展深化
[微判断]
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an不可能相等.( )
提示 当an＝0时，Sn＝an.
2.等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数.( )
提示 当公差d＝0时，Sn＝na1不是关于n的二次函数.
×
×
√
[微训练]
1.等差数列{an}中a1＝2，a2＝3，则其前10项的和S10＝________.
答案 65
2.等差数列{an}中，若a1＝－1，S25＝30，则公差d＝________.
3.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是________.
解析 等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.
答案 －1
[微思考]
1.高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和.如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？
2.能否用“倒序相加法”求首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和Sn呢？
提示 由上节课学到的性质：在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n项和，其方法如下：
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an
＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－1)d]；
Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1
＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－2)d]＋[an－(n－1)d].
两式相加，得2Sn＝(a1＋an)·n，
根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，
题型一 等差数列前n项和公式的基本运算
【例1】 在等差数列{an}中：
(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；
(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.
解 (1)法一 由已知条件得
∴n＝20.
规律方法 等差数列中基本计算的两个技巧
(1)利用基本量求值.
(2)利用等差数列的性质解题.
【训练1】 (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2 018，S6－2S3＝18，则S2 020＝( )
A.－2 018 B.2 018
C.2 019 D.2 020
(2)(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，当首项a1和公差d变化时，若a1＋a8＋a15是定值，则下列各项中为定值的是( )
A.a7 B.a8 C.S15 D.S16
答案 (1)D (2)BC
题型二 等差数列前n项和性质的应用
【例2】 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
解 (1)法一 在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30，70，S3m－100成等差数列.
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
【训练2】 (1)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18等于( )
答案 (1)A (2)C
题型三 求数列{|an|}的前n项和
【例3】 若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
解 ∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
当n≤4时，
当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn
规律方法 已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤
第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点.
第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1＞0，d＜0(或a1＜0，d＞0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加.
【训练3】 已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n (n∈N*).
①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn
＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，
一、素养落地
1.通过学习等差数列前n项和公式的推导过程及性质，提升逻辑推理和数学运算素养.
2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
3.求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到{an}的正负项的分界点.
二、素养训练
1.在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是( )
A.12 B.24
C.36 D.48
答案 B
2.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
答案 C
答案 A
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝2，S8＝6，则S12＝________.
解析 因为 S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，故2(S8－S4)＝S4＋S12－S8，即2×4＝2＋S12－6，得S12＝12.
答案 12
5.已知等差数列{an}中，
整理得n2－7n－60＝0，解之得n＝12或n＝－5(舍去).
解之得n＝4.又由an＝a1＋(n－1)d，
即－512＝1＋(4－1)d，解之得d＝－171.
