(共31张PPT)
第二课时 等比数列的性质及实际应用
课标要求 素养要求
1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 通过推导等比数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.
新知探究
1915年，波兰数学家谢尔宾斯基创造了一个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示.我们来数一数图中那些白色的同一类三角形的个数，可以得到一列数：1，3，9，27，……，我们知道这是一个等比数列.
问题 在等差数列{an}中有这样的性质：若m＋n＝p＋q，那么am＋an＝ap＋aq，用上述情境中的数列验证，在等比数列中是否有类似的性质？
提示 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，那么am·an＝ap·aq.
常用等比数列的性质
1.如果m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，则有______________.
am·an＝ak·al
a2·an－1
拓展深化
[微判断]
1.知道等比数列的某一项和公比，可以计算等比数列的任意一项.( )
2.若{an}为等比数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am·an＝ap.( )
√
×
3.若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列.( )
提示 反例：{an}为：1，－1，1，－1，…，{bn}为－1，1，－1，1，…，则{an＋bn}为：0，0，0，0，…，显然不是等比数列.
4.若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列.( )
提示 反例：1，3，2，6，4，12，…显然满足条件，但不是等比数列.
×
×
答案 C
2.在等比数列{an}中，已知a3＝1，a5＝4，a12＝8，则a10＝________.
解析 由a3a12＝a5a10得1×8＝4a10，解得a10＝2.
答案 2
[微思考]
1.在等比数列{an}中，若am·an＝ak·al，是否有m＋n＝k＋l成立？
提示 不一定成立，如an＝2，a1a2＝a3a4，但1＋2≠3＋4.
2.若数列{an}是各项都是正数的等比数列，那么数列{lg an}还是等比数列吗？
提示 是等差数列.
题型一 等比数列性质的应用
【例1】 已知{an}为等比数列.
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
(2)根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.
【迁移1】 在例1(1)中，添加条件a1a7＝4，求an.
解 由等比数列的性质得a1a7＝a3a5＝4，又由例1(1)知a3＋a5＝5，解得a3＝1，a5＝4或a3＝4，a5＝1，
若a3＝1，a5＝4，则q＝2，an＝2n－3；
【迁移2】 把例1(2)的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
解 a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)＝q300(a1a2a3…a10)3＝3300，
即a1a2a3…a10＝1，
则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log31＝0.
规律方法 巧用等比数列的性质解题
(1)解答等比数列问题的基本方法——基本量法.
①基本思路：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解；
②优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁.
(2)利用等比数列的性质解题
①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；
②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.
解析 (1)由a6·a12＝a4·a14＝6，且a4＋a14＝5，解得a4＝2，a14＝3或a4＝3，a14＝2，
答案 (1)A (2)16
题型二 等差数列与等比数列的综合问题
【例2】 已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值.
所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.
即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.
规律方法 解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面
(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用.
(2)对于解答题注意基本量及方程思想.
(3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题.
(4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系.
【训练2】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1.
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
当a＝8，q＝2时，所求四个数为0，4，8，16；
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
题型三 等比数列的实际应用
【例3】 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值.
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解 (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，
首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，
∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.
∴n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元.
(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，
∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元.
规律方法 求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列问题，在建立等比数列模型后，运算中往往要运用指数运算等，要注意运算的准确性，对于近似计算问题，答案要符合题设中实际问题的需要.
【训练3】 画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________.
一、素养落地
1.通过学习等比数列性质的应用，提升数学运算素养，通过解决等比数列实际应用问题，提升数学建模素养.
2.解决等比数列的问题，通常考虑两种方法：
(1)基本量法：利用等比数列的基本量a1，q，先求公比，后求其他量.
(2)数列性质：等比数列相邻几项的积成等比数列、与首末项等距离的两项的积相等、等比中项的性质等在解题中经常被用到.
3.解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列.在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算，不要在运算中出现问题.
二、素养训练
1.(多选题)若数列{an}是等比数列，则下面四个数列中也是等比数列的有( )
解析 当c＝0时，{can}不是等比数列，当数列{an}的公比q＝－1时，an＋an＋1＝0，不是等比数列；由等比数列的定义，选项CD中的数列是等比数列.
答案 CD
2.在等比数列{an}中，a4＝6，a8＝18，则a12＝( )
A.24 B.30
C.54 D.108
答案 C
答案 1
4.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________.
5.在等比数列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10.
解 因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8.(共36张PPT)
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第一课时 等比数列的概念与通项公式
课标要求 素养要求
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2.体会等比数列与指数函数的关系. 在根据实例抽象出等比数列的概念并归纳出等比数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.
新知探究
我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
问题1 你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？
提示 构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98.
问题2 根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？
提示 上述数列中，从第2项起，每一项与前一项的比都是9，这种数列称为等比数列.
1.等比数列的定义及通项公式
等比数列定义中的关键词：从第2项起，同一个常数
(1)等比数列的定义和通项公式
2
它的前一项
同一
个常数
常数
q
A1qn-1
2.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成______数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时G2＝______.
等比
ab
拓展深化
[微判断]
1.等比数列的公比可以为任意实数.( )
提示 公比不可以为0.
2.若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.( )
提示 应为同一个常数.
3.常数列既是等差数列又是等比数列.( )
提示 0数列除外.
×
×
×
[微训练]
1.等比数列{an}中，a1＝3，公比q＝2，则a5＝( )
A.32 B.－48
C.48 D.96
解析 a5＝a1q4＝3×24＝48.
答案 C
2. 等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第4项等于( )
A.－24 B.0
C.12 D.24
解析 由x，3x＋3，6x＋6成等比数列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6)，
解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去)，第2项为－6.
故数列的第4项为－24.
答案 A
3.4与16的等比中项是________.
解析 由G2＝4×16＝64得G＝±8.
答案 ±8
[微思考]
1.等比中项与等差中项有什么区别？
提示 (1)任意两数都存在等差中项，但不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时，才存在等比中项.
(2)任意两数的等差中项是唯一的，而如果两数有等比中项，则这两数的等比中项有两个，且互为相反数.
2.设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，当a1与q分别满足什么条件时，{an}是递增数列，{an}是递减数列？
题型一 等比数列通项公式的应用
【例1】 在等比数列{an}中：
解 设等比数列{an}的公比为q.
【训练1】 (1)在等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为( )
答案 (1)C (2)C
题型二 等比中项及其应用
【例2】 已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项.
解 设该等比数列的公比为q，首项为a1，
∴a5，a7的等比中项是±3.
规律方法 (1)首项a1和公比q是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法.
(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项.
【训练2】 (1)三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是________.
(2)在等差数列{an}中，a3＝0.如果ak是a6与ak＋6的等比中项，那么k＝________.
答案 (1)2，4，8或8，4，2 (2)9
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列.
【迁移1】 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*).
(1)求证：{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式.
(1)证明 ∵an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1，∴bn＋1＝an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)＝2bn，又∵b1＝a1＋1＝2，
∴数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列.
(2)解 由(1)知，an＋1＝2×2n－1，∴an＝2n－1.
(4)构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b，kb(k－1)≠0关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可.
注：第(1)、(3)也可作为等比数列的证明方法.
【训练3】 已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.证明：数列{an＋4}是等比数列.
证明 ∵a1＝－2，∴a1＋4＝2.
∵an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)，
一、素养落地
1.通过学习等比数列的概念及判断方法提升数学抽象及逻辑推理素养，通过运用等比数列的通项公式求项或公比、项数，提升数学运算素养.
2.等比数列的证明
二、素养训练
1.(多选题)下列说法正确的有( )
A.等比数列中的项不能为0
B.等比数列的公比的取值范围是R
C.若一个常数列是等比数列，则公比为1
D.22，42，62，82，…成等比数列
答案 AC
2.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于( )
A.16 B.16或－16
C.32 D.32或－32
3.已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于( )
A.6 B.－6
C.±6 D.±12
答案 C
4.45和80的等比中项为________.
解析 设45和80的等比中项为G，则
G2＝45×80，∴G＝±60.
答案 －60或60
5.已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝2an－5，求证{an－5}是等比数列.
证明 由an＋1＝2an－5得an＋1－5＝2(an－5).
又a1－5＝－1≠0，故数列{an－5}是首项为－1，公比为2的等比数列.
