4.4 数学归纳法 课件(共40张PPT)

(共40张PPT)
4.4*　数学归纳法
课标要求 素养要求
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题. 通过利用数学归纳法证明与自然数n有关的数学命题，发展学生的逻辑推理和数学运算素养.
新知探究
五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授(1908～1996)给大学一年级学生讲高等数学课时，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他对数学归纳法所作的讲解极其生动，他讲了一个“公鸡归纳法”的故事：某主妇养小鸡十只，公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐.每天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃.”这
时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了.这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了.虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃.赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”.
问题　“公鸡归纳法”得到的结论一定正确吗？
提示　不一定正确，“公鸡归纳法”是不完全归纳法，用其得到的结论是不一定正确的.
1.数学归纳法的定义
一般地，证明一个与__________有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当____________时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
正整数n
n＝k＋1
2.数学归纳法中的两个步骤之间的关系
记P(n)是一个关于正整数n的命题.可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：(1)P(n0)为真；(2)若______为真，则_________也为真，结论：P(n)为真.
(1)第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题_______为真；
(2)第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：______________________________.
只要将两步交替使用，就有P(n0)为真，P(n0＋1)真，……P(k)真，P(k＋1)真…….从而完成证明.
P(k)
P(k＋1)
P(n0)
若P(k)为真，则P(k＋1)也为真
拓展深化
[微判断]
1.与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( )
提示　也可用其他方法证明.
2.在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用归纳假设.( )
提示　数学归纳法的两个步骤缺一不可.
3.用数学归纳法证明等式时，由n＝k到n＝k＋1，等式的项数不一定增加了一项.( )
×
×
√
A.1 B.2
C.3 D.4
解析　边数最少的凸n边形是三角形，故选C.
答案　C
2.用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立.
解析　本题在由n＝k成立证明n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符.
答案　未用归纳假设
[微思考]
1.数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1
提示　不一定，如证明n边形的内角和为(n－2)·180°时，第一个值n0＝3.
2.先假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，再证n＝k＋1时命题也成立，就可说明命题成立，请说明原因.
提示　假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，其本质是证明一个递推关系，有了这种向后传递的关系，就能从一个起点不断发展，以至无穷.如果不证明n＝k＋1时命题也成立，即便前面验证了命题对许多正整数都成立，也不能保证命题对后面的所有正整数都成立.
所以左边＝右边，等式成立.
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，
那么当n＝k＋1时，
1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2
即当n＝k＋1时，等式也成立，
综上，对任何n∈N*，等式都成立.
规律方法　用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n＝k＋1时证明目标的表达式进行变形.
【训练1】　用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*).
证明　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立.
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3.
则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3，
即当n＝k＋1时，等式也成立.
由(1)(2)知，等式对任何n∈N*都成立.
(2)解　由(1)，知Sn＝n2，
综上，原不等式成立.
规律方法　用数学归纳法证明不等式的四个关键：
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立.
则当n＝k＋1时，
即当n＝k＋1时，不等式成立.
由(1)和(2)可知，不等式对所有的n∈N*都成立.
题型三　用数学归纳法证明整除等数学命题
【例3】　证明：当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
证明　(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64能被64整除.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除，
则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64.
故f(k＋1)也能被64整除.
综合(1)(2)，知当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
规律方法　用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当n＝k＋1时，代数式可被除数整除，一般利用构造法，构造出含有除数及n＝k时的代数式，根据归纳假设即可证明.
(2)假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时，命题成立.
现在考虑n＝k＋1时的情形.
由(1)和(2)，可知原结论成立.
题型四　归纳——猜想——证明
【例4】　将正整数进行如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)……分别计算各组包含的正整数的和如下：
S1＝1，
S2＝2＋3＝5，
S3＝4＋5＋6＝15，
S4＝7＋8＋9＋10＝34，
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
……
(1)求S7的值；
(2)由S1，S1＋S3，S1＋S3＋S5，S1＋S3＋S5＋S7的值，试猜测S1＋S3＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明.
解　(1)S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175.
(2)S1＝1；S1＋S3＝16；S1＋S3＋S5＝81；S1＋S3＋S5＋S7＝256；猜测S1＋S3＋…＋S2n－1＝n4.
证明如下：
记Mn＝S1＋S3＋…＋S2n－1.
①当n＝1时，猜想成立.
②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，猜想成立，即Mk＝S1＋S3＋…＋S2k－1＝k4.
则当n＝k＋1时，
所以当n＝k＋1时猜想也成立.
由①②，可知对任意n∈N*，猜想都成立.
规律方法　“归纳—猜想—证明”的一般步骤
(1)求a2，a3，a4的值；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明.
(2)猜想an＝，下面用数学归纳法给出证明.
①当n＝1时，结论成立；
∴当n＝k＋1时结论成立.
一、素养落地
1.通过利用数学归纳法证明数学命题，提升逻辑推理和数学运算素养.
2.在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；
(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；
(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.
A.1＋a B.1＋a＋a2
C.1＋a＋a2＋a3 D.1＋a＋a2＋a3＋a4
解析　将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.
答案　C
答案　B
答案　D
4.某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立.现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得(　　)
A.当n＝4时命题不成立 B.当n＝6时命题不成立
C.当n＝4时命题成立 D.当n＝6时命题成立
解析　因为当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立.
答案　A
A.过程全部正确
B.n＝1验得不正确
C.归纳假设不正确
D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
解析　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，故选D.
答案　D