河南省郑州市盛同学校2013届高三4月模拟考试数学（理）试题

河南省郑州市盛同学校2013届高三4月模拟考试
数学试题（理科）
本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分。共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项正确．）
1．设a∈R，若为纯虚数，则a的值为
A．1 B．0 C．－1 D．1
2．不等式>0的解集是
A．（2，＋∞） B．（－2，1）∪（2，＋∞）
C．（－2，1） D．（－∞，－2）∪（1，＋∞）
3．已知向量a＝（3，4），b＝（2，－1），如果向量a＋kb与b垂直，则实数k的值为
A． B． C．2 D．－
4．已知关于x的函数y＝（2－ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是
A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．[2，＋∞）21世纪教育网
5．从正方体的八个顶点中任取四个点连线，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的
度数不可能是
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．设双曲线的焦点为F1、F2，过F1作x轴的垂线与该双曲线相交，其中一个交点为M，则｜｜＝
A．5 B．4 C．3 D．2
7．若一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为( )
A． B． C．1 D．
8．已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=( )
A．2 B．3 C．4 D．5
9．设函数，则 ( )
A．在区间[，]上是减函数 B．在区间[，]上是增函数
C．在区间[，]上是增函数 D．在区间[，]上是减函数
10．已知命题p：函数(a≠0)在(0，1)内恰有一个零点；命题q：函数在(0，+)上是减函数．若p且为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a>1 B．a≤2 C．12
11．从l、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有 ( )
A．51个 B．54个 C．12个 D．45个
12．设P为椭圆上一点，且∠PF1F2=30o，∠PF2F1=45o，其中F1，F2为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于( )
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卷的相应位置上。）
13．已知为纯虚数，则复数的共轭复数为 。
14．地面上有三个同心圆（如右图），其半径分别为3、2、1。若向图[
中最大的圆内投点且投到图中阴影区域的概率为，则两直线所
夹锐角的弧度数为 。
15．如图，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及
其准线于点A、B、C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程
是 。
16．下列说法：
①“”的否定是“”；
②函数的最小正周期是
③命题“函数处有极值，则”的否命题是真命题；
④上的奇函数，时的解析式是，则时的解析式为其中正确的说法是 。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且，，。
（1）求的值；
（2）求ΔABC的面积。
18．（本小题满分12分）
某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排共有两种：白天背和晚上临睡前背。为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排类型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是，使两组学生记忆40个无意义音节（如XIQ、GEH），均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验。不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验。
两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点而不含右端点）
（1）估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；
（2）从乙组准确回忆因结束在[12,24)范围内的学生中随机选3人，记能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量X，求X分布列及数学期望；
（3）从本次实验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好? 计算并说明理由。
19．（本小题满分12分）
设数列的前项和为，且满足
（1）求数列的通项公式；
（2）在数列的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列，在两项之间插入个数，使这个数构成等差数列，求的值；
（3）对于（2）中的数列，若，并求（用表示）．
20.（本小题满分12分）
设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为，在轴负半轴上有一点，且
（1）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆C交于两点，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由．
21．（本题满分12分）
已知，函数
（1）求的极小值；
（2）若在上为单调增函数，求的取值范围；
（3）设，若在（是自然对数的底数）上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD//AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且
（1）求证：A、P、D、F四点共圆；
（2）若AE·ED=24，DE=EB=4，求PA的长。
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数
（1）若不等式的解集为，求实数a，m的值。
（2）当a=2时，解关于x的不等式
理科数学 参考答案
一、选择题
DBDBA BABBC AC
填空题
13. 14. 15. 16.①④
三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）
18.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）∵，
由甲图知，甲组有（人），∴乙组有20人．
又∵，
∴识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的在甲组中有1人
乙组有（人）
∴
即估计1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的人数为180人．
（Ⅱ）由乙图知，乙组在之间有（人）
在之间有（人）
∴的可能取值为0,1,2,3
，
，
，
∴的分布列为
0
1
2
3
数学期望．
（Ⅲ）参考答案：
甲组学生准确回忆音节数共有：个
故甲组学生的平均保持率为
乙组学生准确回忆音节数共有：
个
故乙组学生平均保持率为，
所以临睡前背单词记忆效果更好. （只要叙述合理都给分）
19．解：（1）当时，由.又与相减得：
，故数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以；…………4分
（2）设和两项之间插入个数后，这个数构成的等差数列的公差为，则
，又，故……………………………… 8分
（3）依题意，
，考虑到，
令，则
，
所以………………………… 12分
20．解：（1）由题意，得，所以
又 由于，所以为的中点，
所以
所以的外接圆圆心为，半径…………………3分
又过三点的圆与直线相切，
所以解得，
所求椭圆方程为 …………………………………………………… 6分
（2）有（1）知,设的方程为：
将直线方程与椭圆方程联立
,整理得
设交点为，因为
则……………………………………8分
若存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形，
由于菱形对角线垂直，所以
又
又的方向向量是，故，则
，即
由已知条件知………………………11分
，故存在满足题意的点且的取值范围是………………13分
21．解：（1）由题意，，，∴当时，；当时，，所以，在上是减函数，在上是增函数，故． …………………………………………………………………4分
（2） ，，由于在内为单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以的取值范围是．…………………9分
（3）构造函数，
当时，由得，，，所以在上不存在一个，使得．
当时，，因为，所以，，所以在上恒成立，故在上单调递增，，所以要在上存在一个，使得，必须且只需，解得，故的取值范围是．…………………
另法:（Ⅲ）当时，．
当时，由，得 ， 令，则，所以在上递减，．
综上，要在上存在一个，使得，必须且只需．
……………………………………………………………………………………………
22. （Ⅰ）证明：，
又，
，，
又
故，所以四点共圆．┄┄┄┄5分
(Ⅱ)解：由（Ⅰ）及相交弦定理得，
又，
，
由切割线定理得，
所以为所求． ┄┄┄┄10分
23. （Ⅰ）解：由得，
所以解之得为所求． ┄┄┄┄3分
(Ⅱ)解：当时,，
所以，①
当时，不等式①恒成立，即；
当时，不等式①
解之得或或，即；
综上，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为． ┄┄┄┄10分