广西壮族自治区柳州市2022届高三下学期5月冲刺高考理科数学模拟卷(二)（Word版含答案）

冲刺2022年广西柳州市高考理科数学模拟卷(二)
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x|x2<1}，则A∩( RB)＝(　　)
A．{－2，－1，1} B．{－2, 0, 1} C．{－2，－1} D．{－1, 1}
2．已知复数z1＝3＋i和z2＝1＋i，则z1z2＋＝(　　)
A．3＋4i B．4＋3i C．3＋6i D．6＋3i
3．已知向量a＝(1，2)，b＝(－1，3)，且(ma＋nb)⊥b，则＝(　　)
A．－ B． C．2 D．－2
4．下列叙述中错误的是(　　)
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．命题“ x0>0，ln x0＝x0－1”的否定是“ x>0，ln x≠x－1”
C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是真命题
D．已知x0>0，则“ax0>bx0”是“a>b>0”的必要不充分条件
5．已知随机变量X～N(1，σ2)，且P(X<0)＝P(X≥a)，则(x2＋a)的展开式中的常数项为(　　)
A．25 B．－25 C．5 D．－5
6．在△ABC中，lg (sin A＋sin C)＝2lg sin B－lg (sin C－sin A)，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
7．函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)
A．a>0，b>0，c<0 B．a<0，b>0，c>0 C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0
8．设数列{nan}的前n项和为Sn，且an＝2n，则使得Sn<1 000成立的最大正整数n的值为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
9．给出下列命题：
①若△ABC的三条边所在直线分别交平面α于P，Q，R三点，则P，Q，R三点共线；
②若直线a，b是异面直线，直线b，c是异面直线，则直线a，c是异面直线；
③若三条直线a，b，c两两平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；
④对于三条直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b.
其中所有真命题的序号是(　　)
A．①② B．①③ C．③④ D．②④
10．已知函数f(x)＝a sin (ωx＋φ)＋cos (ωx＋φ)的最小正周期为π，其最小值为－2，且满足f(x)＝－f，则φ＝(　　)
A． B． C．或 D．±
11已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且PF1∥QF2.若|PF1|＋|QF2|≥b，则C的离心率的取值范围是(　　)
A． B． C．(0，] D．[，1)
12．若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，设bn＝log3an＋1，记[x]表示不超过x的最大整数．设Sn＝，若不等式Sn≥t，对 n∈N*恒成立，则实数t的最大值为(　　)
A．2 020 B．2 019 C．1 010 D．1 009
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．
如图所示，在边长为π的正方形内，四条曲线均是y＝sin x在x∈[0，π]的图象，若在正方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率P＝________．
14．若实数x，y满足约束条件，则z＝ax＋by(a>b>0)取最大值4时，＋的最小值为________．
15．设点P是直线3x－4y＋7＝0上的动点，过点P引圆(x－1)2＋y2＝r2(r>0)的切线PA，PB(切点为A，B)，若∠APB的最大值为，则该圆的半径r等于________．
16．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点E是棱AD的中点，点F，G在平面A1B1C1D1内，若|EF|＝，CE⊥BG，则|FG|的最小值为________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(12分)在①q·d＝1，②a2＋b3＝0，③S2＝T2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的空格处：
已知Sn是公差为d的等差数列{an}的前n项和，Tn是公比为q的等比数列{bn}的前n项和，________，若a1＝1，S5＝25，a2＝b2.是否存在正实数m，使得对任意的正自然数n，不等式m|Tn|<12恒成立，若恒成立，求出正实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
18．(12分)如图，O1，O2分别是圆台上下底面的圆心，AB是下底面圆的直径，AB＝2O1O2，点P是下底面内以AO2为直径的圆上的一个动点(点P不在AO2上).
(1)求证：平面APO1⊥平面PO1O2；
(2)若O1O2＝2，∠PAB＝45°，求二面角A PO1 B的余弦值．
19.(12分)甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”(即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束).比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为.
(1)甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；
(2)甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．
20．(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，动点G到F1(－，0)，F2(，0)两点的距离之和为4.
(1)试判断动点G的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程C；
(2)已知直线l：y＝k(x－)(k>0)与圆F：(x－)2＋y2＝交于M、N两点，与曲线C交于P、Q两点，其中M、P在第一象限．d为原点O到直线l的距离，是否存在实数k，使得T＝(|NQ|－|MP|)·d2取得最大值，若存在，求出k；不存在，说明理由．
21．(12分)已知函数f(x)＝x(ln x－1).
(1)设曲线y＝f(x)在x＝处的切线为y＝g(x)，求证：f(x)≥g(x)；
(2)若f(x)＝a有两个根x1，x2，求证：|x1－x2|<2a＋e＋.
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数且α∈)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，射线θ＝γ与C1的交点为M(异于极点)，与C2的交点为N(异于极点)，若|MN|＝|MA|，求tan γ的值．
23．[选修4－5：不等式选讲](10分)
[2022·河南高三开学考试]已知函数f(x)＝2|x－1|－x.
(1)求不等式f(x)<2x－4的解集．
(2)已知函数f(x)的最小值为m，且a，b，c都是正数，a＋2b＋c＝－m，证明：＋≥4.
参考答案
1．答案：A
解析：B＝{x|－1所以A∩（ RB）＝{－2，－1，1}．故选A.
2．答案：B
解析：由题意，
z1z2＋＝z1＝（3＋i）＝（3＋i）＝（3＋i）＝＝＝4＋3i.故选B.
3．答案：D
解析：因为a＝（1，2），b＝（－1，3），所以ma＋nb＝（m－n，2m＋3n），又因为（ma＋nb）⊥b，所以（ma＋nb）·b＝－（m－n）＋3（2m＋3n）＝0，化简得＝－2.故选D.
4．答案：A
解析：对于A，若p∨q为真命题，则p，q中至少一个为真命题，当p，q中只有一个为真命题时，p∧q为假命题，A不正确；
对于B，命题“ x0>0，ln x0＝x0－1”是特称命题，其否定为“ x>0，ln x≠x－1”，B正确；
对于C，命题“若x＝y，则sin x＝sin y”是真命题，则其逆否命题是真命题，C正确；
对于D，当x0>0时，函数y＝xx0在（0，＋∞）上单调递增，若a>b>0，则ax0>bx0，
反之，若ax0>bx0，当x0＝2时，a，b可以都为负数，即a>b>0不一定成立，
所以“ax0>bx0”是“a>b>0”的必要不充分条件，D正确．故选A.
5．答案：B
解析：由随机变量X～N（1，σ2），且P（X<0）＝P（X≥a），则a＝2，
则（x2＋2）＝x2＋2，
由的展开式的通项公式为：Tr＋1＝Cx6－r＝（－1）rCx6－2r，0≤r≤6，r∈N，
令6－2r＝－2，解得r＝4，令6－2r＝0，解得r＝3，
所以（x2＋2）的展开式中的常数项为：C－2C＝－25.故选B.
6．答案：B
解析：因lg （sin A＋sin C）＝2lg sin B－lg （sin C－sin A），则有lg （sin2C－sin2A）＝lg sin2B，
即有sin2C－sin2A＝sin2B，于是得sin2C＝sin2A＋sin2B，
在△ABC中，由正弦定理＝＝得：c2＝a2＋b2，
所以△ABC是直角三角形．故选B.
7．答案：C
解析：函数在P处无意义，由图象看P在y轴右侧，所以－c>0，c＜0，f（0）＝＞0，
∴b>0，由f（x）＝0，∴ax＋b＝0，即x＝－，即函数的零点x＝－>0，∴a<0，
∴a＜0，b＞0，c<0.故选C.
8．答案：B
解析：由题意，得nan＝n·2n，
Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n①，则
2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋（n－1）×2n＋n×2n＋1②，
①－②，得－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2，
所以Sn＝n×2n＋1－2n＋1＋2＝（n－1）×2n＋1＋2，
当n＝6时，Sn＝642，
当n＝7时，Sn＝1 538，
所以要使Sn<1 000成立的最大正整数为n＝6.故选B.
9．答案：B
解析：对于①中，若△ABC的三条边所在直线分别交平面α于P，Q，R三点，
可得P，Q，R α且P，Q，R 平面ABC，所以P，Q，R三点必在两平面的交线上，
所以P，Q，R三点共线，所以①正确；
对于②中，若直线a，b是异面直线，直线b，c是异面直线，则直线a，c可能相交，平行或异面，所以②错误；
对于③中，若三条直线a，b，c两两平行且分别交直线l于A，B，C三点，由公理3可得这四条直线共面，所以③正确；
对于④中，例如：若a，b，c是过长方体一顶点的三条棱，则满足若a⊥c，b⊥c，此时a与b相交，所以④错误．
其中所有真命题的序号是①③.故选B.
10．答案：D
解析：由辅助角公式可得：f（x）＝a sin （ωx＋φ）＋cos （ωx＋φ）＝sin （ωx＋φ＋β）.因为T＝＝π，ω>0，所以ω＝2.又f（x）最小值为－2，所以a＝±.
又tan β＝＝±，所以β＝±.因为f（x）＝－f，所以f（x）关于对称，所以f＝2sin ＝2cos （φ＋β）＝0.因为|φ|<，所以φ＋β＝±，φ＝±.故选D.
11．答案：C
解析：由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，
延长PF1交椭圆另一交点为A，
由PF1∥QF2再结合椭圆的对称性，
易知|QF2|＝|F1A|，
所以|PF1|＋|QF2|＝|PF1|＋|F1A|＝|PA|，
由椭圆过焦点的弦通径最短，
所以当|PA|垂直x轴时，|PA|最短，
所以b≤|PA|min＝，
所以ab≤2b2，
解得012．答案：C
解析：由题意得：f′（x）＝4an＋1x3－3anx2－an＋2，
∵x＝1是f（x）的极值点，∴f′（1）＝4an＋1－3an－an＋2＝0，
∴an＋2－an＋1＝3（an＋1－an），又a2－a1＝3－1＝2，
∴数列{an＋1－an}是以2为首项，3为公比的等比数列，∴an＋1－an＝2·3n－1，
又an－an－1＝2·3n－2，an－1－an－2＝2·3n－3，…，a3－a2＝2×31，a2－a1＝2×30，
∴an－a1＝2×（30＋31＋…＋3n－2）＝2×＝3n－1－1，∴an＝3n－1；
∴bn＝log3an＋1＝log33n＝n，∴＝＝－，
∴＋＋…＋＝2020×＝，
∴Sn＝＝，
∵≤，∴≤1 010，∴2 020－≥1 010，∴（Sn）min＝1 010.
∵Sn≥t对 n∈N*恒成立，∴t≤（Sn）min＝1 010，则实数t的最大值为1 010.故选C.
13．答案：
解析：因为四条曲线均是y＝sin x在x∈[0，π]的图象，
所以空白部分的面积为S1＝4sin xdx＝4（－cos x）|＝4（－cos π＋cos 0）＝8，
又正方形区域的面积为S＝π2，
所以阴影部分的面积为S－S1＝π2－8，
因此在正方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率P＝.
14．答案：
解析：由约束条件可得可行域如图阴影部分所示：
当z＝ax＋by（a>b>0）时，直线y＝－x＋在y轴截距最大，
∵a>b>0，∴－<－1，则由图形可知：当y＝－x＋过A时，在y轴截距最大，
由得：，即A（1，1），∴zmax＝a＋b＝4，
∴＋＝（a＋b）＝≥＝（当且仅当＝，即a＝2b＝时取等号），∴＋的最小值为.
15．答案：1
解析：设圆的圆心为C（1，0），
因为点P是直线3x－4y＋7＝0上的动点，
所以当点P到点C的距离最小时，∠APB取得最大值，此时CP与直线3x－4y＋7＝0垂直，
因为∠APB为，所以∠APC＝，
点C到直线的距离为d＝＝2，
在Rt△APC中，r＝|AC|＝d＝1.
16．答案：－1
解析：如图，取A1D1的中点O，连接EO，FO，
则EO⊥平面A1B1C1D1，由|EF|＝，OE＝2，
可得OF＝1，则F在以O为圆心，以1为半径的圆上，
取CD中点K，连接BK，在正方形ABCD中，
由E为AD的中点，K为CD的中点，
可得CE⊥BK，取C1D1的中点H，连接KH，B1H，
由BB1∥KH，BB1＝KH，得四边形BB1HK为平行四边形，则BK∥B1H，得G在线段B1H上．
过O作OG⊥B1H，交半圆弧于F，则|FG|为要求的最小值．
由已知可得B1H＝，设|OG|＝h，
由等面积法可得，××h＝2×2－×2×1－×1×1－×2×1＝，
可得h＝，∴|FG|的最小值为－1.
17．解析：因为S5＝＝＝5a3＝25，所以a3＝5，
所以a2＝＝＝3，所以b2＝a2＝3.
可得：d＝a2－a1＝3－1＝2，
若选①，
因为q·d＝1，所以q＝＝，可得b1＝＝3×2＝6，
所以Tn＝＝12>0
若m|Tn|<12，可得m×12<12，可得m<＝＝1＋，
当n＝1时，1＋最大为2，所以1<1＋≤2，
所以m≤1，又m>0，所以m的取值范围为（0，1]；
若选②，
因为a2＋b3＝0，
所以b3＝－a2＝－3，所以q＝＝＝－1，所以b1＝＝＝－3，
所以当n为偶数时，Tn＝0，则m>0；
当n为奇数时，Tn＝－3，由m|Tn|<12得m<4
综上得m的取值范围为（0，4）；
若选③，
由S2＝T2得b1＝a1＋a2－b2＝1＋3－3＝1，
所以q＝＝3，所以Tn＝＝－，
由指数函数的性质可知Tn无最大值，
所以不存在正数m，使得m|Tn|<12.
18．解析：（1）由题意，O1，O2分别是圆台上下底面的圆心，可得O1O2⊥底面O2，
因为AP 底面O2，所以AP⊥O1O2，
又由点P是下底面内以AO2为直径的圆上的一个动点，可得AP⊥O2P，
又因为O1O2∩O2P＝O2，且O1O2，O2P 平面PO1O2，所以AP⊥平面PO1O2，
因为AP 平面APO1，所以平面APO1⊥平面PO1O2.
（2）以O2为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为O1O2＝2，则AB＝2O1O2＝4，∠PAB＝45°，
可得A（0，－2，0），B（0，2，0），O1（0，0，2），P（1，－1，0），
所以＝（1，1，0），AO1＝（0，2，2），
设平面APO1的法向量为n1＝（x1，y1，z1），
则，即，令y1＝1，可得x1＝－1，z2＝－1，所以n1＝（－1，1，－1），
又由PO1＝（－1，1，2），＝（－1，3，0），
设平面BPO1的法向量为n2＝（x2，y2，z2），
则，即，令y2＝1，可得x2＝3，z2＝1，所以n2＝（3，1，1），
所以cos 〈n1，n2〉＝＝＝－，
因为二面角A PO1 B为钝角，所以二面角A PO1 B的余弦值为－.
19．解析：（1）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝＋C···＝，
P（X＝1）＝C···＝，
P（X＝2）＝C···＝，
P（X＝3）＝C···＋＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以数学期望E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
（2）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A，
设第i场甲、乙两队积分分别为Xi，Yi，则Xi＝3－Yi，i＝1，2，
因两队积分相等，所以X1＋X2＝Y1＋Y2，即X1＋X2＝（3－X1）＋（3－X2），则X1＋X2＝3，
所以P（A）＝P（X1＝0）P（X2＝3）＋P（X1＝1）P（X2＝2）＋P（X1＝2）P（X2＝1）＋P（X1＝3）P（X2＝0）＝×＋×＋×＋×＝.
20．解析：（1）由题意知，|GF1|＋|GF2|＝4，又4>2，所以，动点G的轨迹是椭圆．
由椭圆的定义可知，c＝，a＝2，又因为a2－b2＝c2所以b2＝1，
故G的轨迹方程＋y2＝1.
（2）由题设可知，M、N一个在椭圆外，一个在椭圆内；P、Q一个在⊙F2内，一个在⊙F2外，在直线l上的四点满足：|NQ|－|MP|＝（|NQ|＋|NP|）－（|MP|＋|NP|）＝|PQ|－|MN|＝|PQ|－1，
由消去y得：（1＋4k2）x2－8k2x＋12k2－4＝0，Δ>0恒成立．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），由韦达定理，
得x1＋x2＝，x1x2＝
|PQ|＝＝.
所以|NQ|－|MP|＝|PQ|－1＝，O到l距离d＝，
T＝（|NQ|－|MP|）·d2＝＝＝≤＝1，
当且仅当4k2＝，即k＝±时等号成立．
验证可知k＝±满足题意．
∵k>0，∴k＝.
21．解析：证明：（1）由于f′（x）＝ln x，则f′＝－1，
又f＝－，所以f（x）在x＝处的切线方程为y＋＝－，
即y＝g（x）＝－x－，
令h（x）＝f（x）－g（x）＝x（ln x－1）＋x＋，则h′（x）＝ln x＋1，
于是当x∈时，h′（x）<0；
当x∈时，h′（x）>0，
所以h（x）在上单调递减，在上单调递增，
故h（x）≥h＝0，即f（x）≥g（x）.
（2）不妨设x1又由（1）知：f（x）≥g（x），则a＝－x0－＝f（x1）≥g（x1）＝－x1－，
从而x1≥x0＝－a－，当且仅当x0＝，a＝－时取等号．
下证：x2≤a＋e.
由于a＝f（x2），所以x2≤a＋e x2≤f（x2）＋e，即证：f（x2）－x2＋e≥0，
令φ（x）＝f（x）－x＋e＝x ln x－2x＋e，则φ′（x）＝ln x－1，
当x∈（0，e）时，φ′（x）<0；
当x∈（e，＋∞），φ′（x）>0；
所以φ（x）在（0，e）上单调递减，在（e，＋∞）上单调递增；
故φ（x）≥φ（e）＝0，即x2≤a＋e成立，当且仅当x2＝e，a＝0时取等号．
由于等号成立的条件不能同时满足，
所以|x1－x2|＝x2－x1<（a＋e）－＝2a＋e＋.
22．解析：（1）因为曲线C1的参数方程为，
所以C1是圆心为（0，2），半径为2的右半圆，
所以C1的直角坐标方程为x2＋（y－2）2＝12（x≥0），
由ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得ρ2－4ρsin θ＝0，
所以C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
（2）设M（ρ1，θ），N（ρ2，θ），
∵θ＝γ，∴|OM|＝4sin γ，|ON|＝4cos γ，
|MN|＝||OM|－|ON||＝|4sin γ－4cos γ|，
|MA|＝|OA|sin ＝4cos γ，
因为|MN|＝|MA|，
所以|4sin γ－4cos γ|＝×4cos γ tan γ＝或－（舍）.
∴tan γ＝.
23．解析：（1）∵f（x）＝2|x－1|－x且f（x）<2x－4，
即2|x－1|<3x－4，
即－（3x－4）<2（x－1）<3x－4，
解得：x>2，
故不等式f（x）<2x－4的解集为（2，＋∞）；
（2）证明：f（x）＝，
则m＝f（1）＝1－2＝－1，
则（a＋b）＋（b＋c）＝1，＋＝[（a＋b）＋（b＋c）]＝2＋＋≥4，
当且仅当＝时，取等号，
即＋≥4.