高考数学名校试题解析分类汇编-导数

各地解析分类汇编:导数（1）
1 【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学文】方程的实根个数是
A.3 B.2 C.1 D.0
【答案】C
【解析】设，，由此可知函数的极大值为，极小值为，所以方程的实根个数为1个.选C.
2 【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文】曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，在点的切线斜率为。所以切线方程为，即，与坐标轴的交点坐标为，所以三角形的面积为，选B.
3 【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文】若在上是减函数，则b的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数的导数，要是函数在上是减函数，则，在恒成立，即，因为，所以，即成立。设，则，因为，所以，所以要使成立，则有，选C.
4 【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】若函数（）有大于零的极值点，则实数范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：因为函数y=e（a-1）x+4x，所以y′=（a-1）e（a-1）x+4（a＜1），所以函数的零点为x0=，因为函数y=e（a-1）x+4x（x∈R）有大于零的极值点，故＝0，得到a<-3,选B
5 【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试 数学文】已知其导函数的图象如右图，则函数的极小值是
A． B． C． D．c
【答案】D
【解析】由导函数的图象知当时，，当时，，所以函数的极小值为，选D.
6 【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（文）】已知则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为所以，所以，，所以，选D.
7 【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 文科】 若a>0,b>0,且函数在x=1处有极值，则ab的最大值（）
A.2 B.3 C.6 D.9
【答案】D
【解析】函数的导数为，函数在处有极值，则有，即，所以，即，当且仅当时取等号，选D.
8 【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 文科】 函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2,对任意，,则的解集为( )
A.(-1，1) B.(-1，+∞) C.(-∞，-l) D.(-∞,+∞)
【答案】B
【解析】设, 则，
，对任意，有，即函数在R上单调递增，则的解集为，即的解集为，选B.
9 【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文】已知，则 .
【答案】-4
【解析】函数的导数为，所以，解得，所以，所以，所以。
10 【山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考（文）】已知函数的定义域［-1，5］，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示，
x
-1
0
2
4
5
F(x)
1
2
1.5
2
1
下列关于函数的命题；
①函数的值域为［1，2］；
②函数在［0，2］上是减函数
③如果当时，的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当时，函数最多有4个零点.
其中正确命题的序号是 .
【答案】①②④
【解析】由导数图象可知，当或时，，函数单调递增，当或，，函数单调递减，当和，函数取得极大值，，当时，函数取得极小值,，又，所以函数的最大值为2，最小值为1，值域为，①正确；②正确；因为在当和，函数取得极大值，，要使当函数的最大值是4，当，所以的最大值为5，所以③不正确；由知，因为极小值，极大值为，所以当时，最多有4个零点，所以④正确，所以真命题的序号为①②④.
11 【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文】若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由，得，当，得，由图象可知，要使函数有三个不同的零点，则有，即，所以实数的取值范围是。
12 【北京市东城区普通校2013届高三11月联考数学（文）】已知函数的定义域为，若其值域也为，则称区间为的保值区间．若的保值区间是，则的值为 .
【答案】1
【解析】因为函数的保值区间为，则的值域也是，因为因为函数的定义域为，所以由，得，即函数的递增区间为，因为的保值区间是，所以函数在上是单调递增，所以函数的值域也是，所以，即，即。
13 【北京市东城区普通校2013届高三11月联考数学（文）】（本小题满分14分）
已知．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若 求函数的单调区间；
（Ⅲ）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ） ∵ ∴∴ …………1分
∴ ， 又，所以切点坐标为
∴ 所求切线方程为，即. …………4分
（Ⅱ）
由 得 或 …………5分
(1)当时，由， 得．
由， 得或
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和.
…………7分
(2)当时，由，得．
由，得或
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和.
综上：
当时，的单调递减区间为，
单调递增区间为和
当时，的单调递减区间为
单调递增区间为和.
…………9分
（Ⅲ）依题意，不等式恒成立, 等价于
在上恒成立
可得在上恒成立 ………………11分
设, 则
………………12分
令，得（舍）当时，；当时，
当变化时，变化情况如下表：
+
-
单调递增
-2
单调递减
∴ 当时,取得最大值, =-2
∴ 的取值范围是. ………14分
14 【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】本小题满分14分） 已知函数处取得极值. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若当恒成立，求的取值范围； （Ⅲ）对任意的是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由.【答案】（Ⅰ）∵f(x)=x3－x2+bx+c， ∴f′(x)=3x2－x+b. ……2分 ∵f(x)在x=1处取得极值， ∴f′(1)=3－1+b=0. ∴b=－2. ……3分 经检验，符合题意. ……4分 （Ⅱ）f(x)=x3－x2－2x+c. ∵f′(x)=3x2－x－2=(3x+2)(x－1)， …5分
　x

　
　
　
1
(1,2)
2
f′(x)
　
+
0
－
0
+
　
f(x)
　

　

　

　
……7分 ∴当x=－时，f(x)有极大值+c. 又 ∴x∈[－1，2]时，f(x)最大值为f(2)=2+c. ……8分 ∴c2>2+c. ∴c<－1或c>2. …………10分 （Ⅲ）对任意的恒成立. 由（Ⅱ）可知，当x=1时，f(x)有极小值. 又 …12分 ∴x∈[－1，2]时，f(x)最小值为. ，故结论成立. ……14分
15 【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】（本小题满分12分）
已知是函数的一个极值点．
（1）求的值；
（2）任意，时，证明：
【答案】（1）解：， --------------2分
由已知得，解得．
当时，，在处取得极小值．所以. ---4分
（2）证明：由（1）知，，.
当时，，在区间单调递减；
当时，，在区间单调递增.
所以在区间上，的最小值为.------ 8分
又，，
所以在区间上，的最大值为. ----------10分
对于，有．
所以. -------------------12分
16 【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】（本小题满分14分）
已知函数.
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
（2）记函数，若的最小值是，求函数的解析式.
【答案】⑴ ∴在上恒成立…………2分
令
∵恒成立 ∴…………4分
… ………6分
∴ … ………7分
(2)
∵ …………9分
易知时, 恒成立
∴无最小值,不合题意 ∴…………11分
令,则(舍负) 列表如下,(略)可得,
在 (上单调递减，在上单调递增，则是函数的极小值点。
…………13分
解得 …………14分
17 【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文】（本小题满分14分）已知函数.
（Ⅰ）若在处取得极大值，求实数a的值；
（Ⅱ）若，直线都不是曲线的切线，求的取值范围；
（Ⅲ）若，求在区间［0，1］上的最大值。
【答案】解：（Ⅰ）因为………………2分
令，所以随的变化情况如下表：
+
0
-
0
+
Z
极大值
］
极小值
Z
……………………4分
所以 …………………………5分
（由得出，或，在有单调性验证也可以（标准略））
（Ⅱ）因为 ……………………6分
因为，直线都不是曲线的切线，
所以无实数解 ……………………7分
只要的最小值大于
所以 ……………………8分
（Ⅲ）因为，所以，
当时，对成立
所以当时，取得最大值 ……………………9分
当时，在时，，单调递增
在单调递减
所以当时，取得最大值………………10分
当时，在时，，单调递减
所以当，取得最大值 ……………………11分
当时，在时，单调递减
在时，，单调递增
又，
当时，在取得最大值
当时，在取得最大值
当时，在，处都取得最大值0.…………14分
综上所述，
当时，取得最大值
当时，取得最大值
当时，在，处都取得最大值0
当时，在取得最大值.
18 【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试 文】（本小题满分13分）
已知。
（1）若a=0时，求函数在点（1，）处的切线方程；
（2）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（3）令是否存在实数a，当是自然对数的底）时，函数的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。
【答案】
19 【山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考数学（文）】本小题满分12分）已知函数
若在区间［1，+）上是增函数，求实数的取值范围
若是的极值点，求在［1，］上的最大值
【答案】
20 【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 文科】（本小题满分14分）已知函数，
（I）求的单调区间；
（II）求在区间上的最小值。
【答案】解：（I），……………………………………………………..3分
令；所以在上递减，在上递增；…………………………………………………………………………………………6分
（II）当时，函数在区间上递增，所以；
当即时，由（I）知，函数在区间上递减，上递增，所以；
当时，函数在区间上递减，所以。
……………………………………………………………………………………………….14分
21 【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文】（本题满分13分）
函数；
求在上的最值；
若，求的极值点
【答案】
22【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文】（本题满分13分）
已知函数
求的单调区间；
若，函数，若对任意的，总存在，使，求实数b的取值范围。
【答案】
23 【山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考（文）】（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，若在区间上的最小值为-2，求的取值范围；
（Ⅲ）若对任意，且恒成立，求的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）当时，.………………2分
因为.
所以切线方程是 …………………………4分
（Ⅱ）函数的定义域是. ………………5分
当时，
令，即，
所以或. ……………………7分
当，即时，在［1，e]上单调递增，
所以在［1，e]上的最小值是；
当时，在［1，e]上的最小值是，不合题意；
当时，在（1，e）上单调递减，
所以在［1，e]上的最小值是，不合题意………………9分
（Ⅲ）设，则，
只要在上单调递增即可.…………………………10分
而
当时，，此时在上单调递增；……………………11分
当时，只需在上恒成立，因为，只要，
则需要，………………………………12分
对于函数，过定点（0，1），对称轴，只需，
即.
综上. ………………………………………………14分
24 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】（本小题满分12分）已知，．
（1）求在上的最小值；
（2）若对一切，成立，求实数的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ），令．
当单调递减；
当单调递增．
，
（1）当；
（2）当
所以 …………………………………………………（6分）
（Ⅱ）由得.
设，则. 令，得或（舍），当时，，h(x)单调递减；当时，，h(x)单调递增，所以 所以 …………………………………（12分）