湘教版数学八年级上册同步课件：2.3.1 等腰(边)三角形的性质(共22张PPT)

(共22张PPT)
第二章 三角形
2.3 第1课时　等腰(边)三角形的性质
情景引入
如图,把一张长方形纸片按图中的虚线对折,
AC和AB有什么关系 这个三角形有什么特点
然后沿着虚线剪去一部分,再把它展开,
得△ABC.
一.基本概念
1.定义:
两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图AB=AC , 就是等腰三角形
2.等腰三角形的基本要素:
相等的两边叫做腰
另一边叫做 底边
两腰的夹角叫做顶角
腰和底边的夹角叫做底角
A
B
C
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
C
A
B
AC=BC
B
C
A
AB=CB
腰：
底边：
顶角：
底角：
腰：
底边：
顶角：
底角：
AC，BC
AB
A，
B
AB，CB
AC
B
A，
C
C
探究
任意画一个等腰三角形ABC， 其中AB =AC， 如图, 作△ABC 关于顶角平分线AD 所在直线的轴反射， 由于∠1 =∠2， AB=AC， 因此：
射线AB的像是射线AC， 射线AC的像是射线 ；
线段AB的像是线段AC， 线段AC的像是线段 ；
点B的像是点C， 点C的像是点 ；
线段BC的像是线段CB.
从而等腰三角形ABC关于直线 对称.
AB
AB
B
AD
获取新知
由于点D 的像是点D, 因此线段DB 的像是线段 ， 从而AD 是底边BC上的 .
由于射线DB的像是射线DC, 射线DA的像是射线 , 因此∠BDA=∠CDA= °, 从而AD是底边BC上的 .
由于射线BA 的像是射线CA , 射线BC 的像是射线 ,因此∠B ∠C.
DC
中点
DA
90
高
CB
=
1、等腰三角形是轴对称图形
2、∠ B =∠ C
3、BD = CD ， AD 为底边上的中线
4、∠ADB = ∠ADC = 90°，AD为底边上的高
5、∠BAD = ∠CAD ， AD为顶角平分线
问题：结论（2）用文字如何表述？
C
A
B
D
结论
等腰三角形是轴对称图形，
对称轴是顶角平分线所在的直线.
等腰三角形的两底角相等
（简称“等边对等角”）．
在△ABC中，
∵ AC=AB（已知 ）
∴ ∠B=∠C（等边对等角）
几何语言：
等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合
（简称“三线合一”）．
在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上
1、∵AD ⊥ BC
∴∠ = ∠ ， = .
2、∵AD是中线，
∴ ⊥ ，∠ =∠ .
3、∵AD是角平分线，
∴ ⊥ ， = .
几何语言：
BAD CAD
BD CD
BD CD
BAD CAD
AD BC
AD BC
在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，BD=BC=AD，求△ ABC各角的度数 .
解：∵在△ABC中，AB=AC
∴∠ABC=∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∵在△ABD中，BD=AD
∴∠ABD=∠A，∠BDC=∠A+∠ABD,
即∠BDC=2∠A
∵ 在△BDC中，BD=BC
∴∠BDC=∠BCD,
∠A+2∠ACB=180°
即 ∠A+4∠A=180°
∴∠A=36°
∠ABC=∠BCA=2∠A=72°
如图（1）在等腰△ABC中，
AB =AC, ∠A = 36°,则∠B = ,∠C= .
变式练习：
1、如图（2）在等腰△ABC中，∠A = 50°, 则∠B = ，∠C= .
2、如图（3）在等腰△ABC中，∠A = 120°则∠B = ，∠C= .
72 °
72 °
65 °
65 °
30 °
30 °
想一想
如图， △ABC 是等边三角形， 那么∠A， ∠B，∠C的大小之间有什么关系呢？
因为△ABC 是等边三角形，
所以AB＝BC＝AC,
从而∠C ＝∠A＝∠B
由三角形内角和定理可得：
∠A＝∠B＝∠C ＝ 60°．
等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.
由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.
例1
已知： 如图， 在△ABC中， AB=AC， BD⊥AC， 垂足为点D.
求证： ∠DBC= ∠A.
作AF⊥BC于F
∵AB=AC AF⊥BC
∴∠CAF=∠BAF= ∠BAC
∵AF⊥BC BD⊥AC
∴∠CAF+∠C=∠DBC+∠C=90°
∴∠DBC =∠CAF
∴∠DBC= ∠BAC
解
解题规律：在等腰三角形中，做顶角平分线或作底边上高或作底边上中线是一种常用的辅助线.
例题讲解
已知： 如图, 在△ABC 中, AB = AC,点D, E在边BC上, 且AD = AE.
求证： BD = CE.
证明：作AF⊥BC,垂足为点F, 则AF 是等腰三角形ABC 和等腰三角形ADE 底边上的高, 也是底边上的中线.
∴ BF = CF，
DF = EF，
∴ BF － DF = CF － EF，
即BD = CE.
例2
如图 的三角测平架中,AB=AC,在BC的中点D 挂一个重锤,自然下垂,调整架身, 使点A恰好在铅垂线上．
AD与BC是否垂直,试说明理由;
(2) 这时BC处于水平位置,为什么
议一议
垂直，三线合一
AD为铅垂线，BC垂直于AD，所以处于水平位置
1. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAC=49°，BC= 4，求∠BAD的度数及DC的长.
答：∠BAD=24.5°
DC=2.
随堂演练
2. 如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一点，且∠APD= 80°，AD=AP，求∠DPC的度数.
答：∠DPC =20°.
3.等腰三角形两边长分别是2cm和5cm，则这个三角形周长为（ ）
A.9cm B.12cm
C.9cm或12cm D.14cm
B
解析
另一边长为2cm或5cm，2，2，5不符合三角形三边关系定理，故选5.
∴周长为5+5+2=12cm.
4. 若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A. 50° B. 80°
C. 65°或50° D. 50°或80°
解析
因为50°可作为等腰三角形的一顶角或一底角，故选D.
D
本节课你学习了等腰三角形的哪些重要性质
1、等腰三角形的性质：
等边对等角
2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
3、等边三角形的性质。
等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.
（三线合一）
课堂小结