18.2.3正方形课件2021—2022学年人教版数学八年级下册 (共21张PPT)

(共21张PPT)
18.2.3 正方形
丰富多彩的正方形
一、再识正方形
1、你对正方形有哪些认识？
2、你的生活中有用到正方形图案吗？
我们学行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊的四边形，在这些特殊的四边形中，正方形无疑是最美、性质最多的四边形。
丰富多彩的正方形
实践出真知
A
B
C
D
E
F
G
H
P
正方形：有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形
正方形的定义
一个角是直角
正方形
一组邻边相等
平行四边形
正方形
一个角是直角
菱形
正方形
一组邻边相等
矩形
探索与思考
结合之前所学知识，你知道正方形有哪些特殊性质吗？你知道正方形与矩形、菱形和平行四边形之间的关系吗？
四条边相等，四个角都是直角
矩形
邻边相等
一组邻边相等的矩形是正方形
菱形
一个角是直角
一个角为直角的菱形是正方形
正方形的性质
正方形的四个角都是直角，四条边都相等
正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分、每条对角线平分一组对角
A
B
C
D
O
想一想
正方形的两条对角线将其分成了什么三角形？
探索与思考
正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
已知: 如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O。
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形。
A
D
C
B
O
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都是等腰直角三角形,
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO
丰富多彩的正方形
变式探究
（1）把正方形A1B1C1O变成其他图形，只要满足什么条件，结论仍成立？
性质对比
边 角 对角线
平行四边形
矩形
菱形
正方形
对边平行且相等
对角相等 邻角互补
两条对角线互相平分
对边平行且相等
四个角都是直角
两条对角线平分且相等
四条边都相等
对角相等邻角互补
两条对角线相互平分垂直，且每条对角线平分一组对角
四条边都相等
四个角都是直角
两条对角线相互平分垂直且相等，且每条对角线平分一组对角
课堂测试（理解正方形的性质）
对正方形的描述错误的是(　 　)
A．正方形的四个角都是直角 B．正方形的对角线互相垂直
C．邻边相等的矩形是正方形 D．对角线相等的平行四边形是正方形
【详解】
解：∵正方形的四个角都是直角，对角线互相垂直，∴A、B正确；
∵邻边相等的矩形是正方形，∴C正确；
∵对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，∴D不正确；
故选D．
丰富多彩的正方形
反馈训练
1、如图，用边长为1的正方形，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是________．
求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
这是一道文字证明题,该怎么做 你会做吗
第一步:根据题意画出图形
第二步:写出已知、求证
第三步：进行证明
A
D
C
B
O
已知:如图,四边形ABCD是正方形,对 角线AC、BD相交于点O.
求证:△ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO
分析:利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.平分可以产生线段等量关系,垂直可以产生直角,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形.
课堂测试（理解正方形的性质）
如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（　　）
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
【解析】
∵将长方形纸片折叠，A落在BC上的F处，∴BA=BF，
∵折痕为BE，沿EF剪下，∴四边形ABFE为矩形，
∴四边形ABEF为正方形．
故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形．故选A．
丰富多彩的正方形
反馈训练
（2）请你继续完成下面的探索：
①将图甲中的正方形ACDE绕点C顺时针旋转任意角度（如图乙），那么AF与BD的关系是_________；
②当点C运动到直线AB上方时，如图丙，连接DF、AD、BF，取DF、AD、AB、BF的中点M、N、P、H，得到的四边形MNPH是什么图形？
1．操作：将一张矩形纸片沿图18－2－30中所示的箭头方向折叠，然后沿虚线剪开，所得的四边形ABCD是___________．
图18－2－30
正方形
如果给你一张矩形的纸，你能裁剪出一个正方形吗？
请动手试一试。
一个角是直角的菱形是正方形
课堂测试（利用正方形的性质进行计算）
如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（　　）
A．45° B．15° C．10° D．125°
【详解】
是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
.
故选：.
利用正方形的性质进行计算
如图，在正方形ABCD中，，点E在对角线AC上，若，则CDE的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【详解】
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAC=DAC，
∵AE=AE，∴△ABE≌△ADE，
∴=5，同理△CBE≌△CDE，
∴，
∵，
∴CDE的面积为： =3，
故选A．
例3如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
有一组邻边相等
且有一个角是直角
的平行四边形
叫做正方形。
平行四边形
有一个直角
矩形
一组邻边相等
菱形
一组邻边相等
正方形
有一个直角
有一组邻边相等的矩形是正方形
有一个角为直角的菱形是正方形
特殊的矩形
特殊的菱形
特殊的
平行四边形
一组邻边相等
有一个直角
正方形的判定
课后回顾
理解正方形的概念
01
课后回顾
理解正方形的性质
02
理解正方形的判定
03
同学们，再见