嘉兴市第五高级中学2021学年第二学期期中测试
高二年级数学试题卷
考生须知：
1．本试卷为试题卷，满分100分，考试时间80分钟。
2．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效。
3. 考试结束，上交答题卷。
一、单选题：本大题共14小题，每小题3分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则 （ ▲ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集为 （ ▲ ）
A． B． C． D．
3．命题“，”的否定是 （ ▲ ）
A．， B．， C．， D．，
4．下列函数在上单调递减的是 （ ▲ ）
A． B． C． D．
5．下列命题中，正确的是 （ ▲ ）
A．若，， 则 B．若， 则
C．若，， 则 D．若，则
6．某高中学校高二和高三年级共有学生人，为了解该校学生的视力情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽取人，则高一年级学生人数为 （ ▲ ）
A． B． C． D．
7．设，为两个平面，则的充要条件是 （ ▲ ）
A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行
C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面
8．要得到函数的图象，只要将函数的图象 （ ▲ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
9．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20），[20,22.5），[22.5,25），[25,27.5），[27.5,30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 （ ▲ ）
A．56 B．60 C．140 D．120
10．从0，1，2，3，4，5这六个数中任取两个不同的数，则取出的两个数的和为5的概率为 （ ▲ ）
A． B． C． D．
11．函数的图象大致为 （ ▲ ）
A． B． C． D．
12．如图，已知正方形的对角线，点P在另一对角线上，则的值为 （ ▲ ）
A． B．2 C．1 D．4
13．已知正实数a，b满足，则的最小值是 （ ▲ ）
A．2 B．6 C． D．
如图，已知是圆的直径，，在圆上且分别在的两侧，其中，.现将其沿折起使得二面角为直二面角，则下列说法不正确的是 （ ▲ ）
A．，，，在同一个球面上
B．当时，三棱锥的体积为
C．与是异面直线且不垂直
D．存在一个位置，使得平面平面
二、多选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对的得1分。
15．若，则角终边可能在 （ ▲ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
16．已知复数，则下列说法正确的是 （ ▲ ）
A．z的实部为1 B．z在复平面内对应的点位于第四象限
C．z的虚部为﹣i D．z的共轭复数为
17．袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则 （ ▲ ）
A．甲与乙互斥 B．乙与丙互斥 C．甲与乙独立 D．甲与乙对立
18．已知是定义在上的奇函数，的图像关于对称，当时，，则下列判断正确的是 （ ▲ ）
A．的周期为4 B．的值域为
C．是偶函数 D．
三、填空题：本大题共4小题，每空3分，共15分。
19．计算的结果是 ▲ .
20．如图是一个平面图形的直观图，斜边O'B'=2，则原平面图形的面积是 ▲ .
在中，内角所对的边分别为．若，，，则 ▲ ；
▲ .
已知函数，则关于的方程的所有实数根的和
为 ▲ .
四、解答题:本大题共3小题,共31分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
23．（本题10分）已知函数，．
(1)求的值；
(2)求的最小正周期；
(3)求的单调递增区间．
24．（本题10分）如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面，且，为中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
25．（本题11分）已知函数，．
(1)若为偶函数，求k的值；
(2)若有且仅有一个零点，求k的取值范围；
(3)求在区间[0,2]上的最大值．嘉兴市第五高级中学2021学年第二学期期中测试
高二年级数学参考答案及评分细则
单选题：本大题共14小题，每小题3分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1—5 AACBA 6—10 DBDCB 11—14 CBDD
14.解析：因为，所以A正确；
当，A，C各在所在圆弧的中点，此时三棱锥的底面BCD的面积和高均处于最大位置，此时体积为，所以B正确；
AB与CD显然异面，用反证法证明他们不垂直．若，过A作BD的垂线，垂足为E，因为为直二面角，所以AE⊥平面BCD，所以，所以，所以，这与矛盾，所以AB与CD不垂直，所以C正确；
假设存在一个位置，使得平面平面，过作于，则平面由于平面，与选项矛盾.
故选：D．
多选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对的得1分。
15. BD 16. ABD 17. BC 18. ACD
18.解析：由是定义在上的奇函数，则，又，
即，即，则
即为向左平移1个单位，即由的图像关于对称得的图像关于轴对称，为偶函数
当时，，由奇函数性质，，
即值域为
． 故选ACD
填空题：本大题共4小题，每空3分，共15分。
6 20. 21. ， 2 22. 3
22.解析：，或.
方程的根可视为直线与函数图象交点的横坐标，
作出函数和直线的图象如下图：
由图象可知，关于的方程的实数根为、.
由于函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称，
关于的方程存在四个实数根、、、如图所示，
且，，，
因此，所求方程的实数根的和为.
故答案为：.
四、解答题:本大题共3小题,共31分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
23.（本题10分）
(1)………………………………………………………………………3
的最小正周期为………………………………………………………6
（3）令，，
解得，，
故的单调递增区间为（）……………………………………10
(本题10分)
（1）解：如图所示：
取边的中点E，连，
则三角形中位线可知：且，
由题可知：且，
且，
即四边形为平行四边形，
又平面平面，
故平面；………………………………………………………………………………4
建系如图
…………………………………………………………………………………6
设平面PDC的法向量为
解得…………………………………………………………………………………8
…………………………………………………………………………10
（本题11分）
(1)∵为偶函数，
∴，即，解得k＝0，经检验k＝0符合题意；……………………………3
(2)由题意得，方程有且仅有一个解，显然，x＝1已是该方程的解，
当x≥1时，方程化为；当x＜1时，方程化为；
∴(x≥1)有且仅有一个等于1的解或无解且(x＜1)无解，
又x＝1时，k＝2，此时x＝3也是方程的解，不合题意，
∴关于x的方程(x≥1)、(x＜1)均无解，可得k＜2且k≤2，
综上，k≤2，即实数k的取值范围为(∞,2]．……………………………………………7
(3)当x∈[0,2]时，，
∵在 [0,2]上由两段抛物线段组成，且两个抛物线开口均向上，
∴最大值只可能是其中之一，
又，，，显然，
∴当k＜3时，所求最大值为；当k≥3时，所求最大值为．………11
