§5.6 向心加速度
★教学目标
知识与技能
知道匀速圆周运动是变速运动， 存在加速度。
理解匀速圆周运动的加速度指向圆心，所以又叫做向心加速度。
知道向心加速度和线速度、角速度的关系式
能够运用向心加速度公式求解有关问题
★教学重点
理解匀速圆周运动是变速运动，存在加速度。
从运动学角度理论推导加速度的公式，体会极限思想。
加速度公式的基本应用。
★教学过程
一、引入
师：上节课我们学习了圆周运动中比较有代表性的匀速圆周运动，同学们回忆一下，匀速圆周运动有什么特点？
生：匀速圆周运动是线速度大小不变（或角速度不变）的圆周运动。
师：匀速圆周运动是匀速运动吗？
生：不是，匀速圆周运动虽然线速度大小不变，但线速度方向一直在变化，所以匀速圆周运动是变速运动。
师：匀速圆周运动有加速度吗？
生：有！根据加速度公式知只要速度变化了，就存在加速度。
师：好，那请大家回答下面的问题。
例1、如下图，物体沿顺时针方向做匀速圆周运动，角速度ω=πrad/s，半径R=1m。0时刻物体处于A点，后物体第一次到达B点，求
这内的速度变化量；
这内的平均加速度。
【解析】：
（1）速度变化量等于末速度减去初速度。
速度变化量：如图
由图知的大小与A或B的速度大小相等，为 ,方向是左下方与竖直方向夹角30°
（2）根据加速度公式，知平均加速度大小为
【牢记】：
①要注意的是：速度是矢量，矢量加减法则跟标量加减法则是不一样的，矢量加减法则是三角形定则；
②前面在学习直线运动时，我们是直接对速度进行加减的，没有用什么三角形定则，这是怎么回事？
答：这是因为对于同一直线上的矢量加减，我们可以通过选定正方向，同向为正，反向为负的方法将复杂的矢量计算变成简单的标量计算。这个方法的本质还是矢量加减法则。
例2、一物体做平抛运动的初速度为10m/s，则1秒末物体速度多大？2秒末速度多大？1秒末至2秒末这段时间内速度变化量是多大？加速度是多大？
师：通过上面的解题过程，我相信大家对矢量的理解又加深了。既然匀速圆周运动是变速运动，存在加速度，那它的加速度有什么特点呢？匀速圆周运动会是我们以前接触过的匀变速运动吗？这就是今天我们的学习目标：研究匀速圆周运动的加速度的特点。
师：我们都知道，对于加速度的研究，我们可以从两个方面进行：1、单纯从运动学角度用公式来研究加速度；2、从结合受力从动力学角度用公式来研究加速度。今天我们从第1个方面来研究加速度。
二、探究向心加速度大小及方向
方向
师：从理论上讲，瞬时加速度是△t→0时平均加速度的极限值。由图可知，当时间间隔t取值越来越小时，θ越来越小，越接近于0；α越来越大，越接近于90°，当△t→0时，α=90°，△v与垂直。公式在△t→0时的极限值就是A点的瞬时加速度，因为加速度的方向与△v方向相同，于是可知A点的瞬时加速度与A点瞬时速度垂直，指向圆心。
大小
师：请同学们根据上面的分析，尝试推导出向心加速度大小的表达式。
【解析】： 当t→0时，有t→0时，
又因为 有
观看动画视频：向心加速度
三、向心加速度
师：通过刚才的分析，我们得到结论：物体做匀速圆周运动时某点的向心加速度大小为；方向与该点速度方向垂直，指向圆心。这个结论是通过理论推导出来的，不涉及某个具体的运动，如“地球绕太阳做近似的匀速圆周运动”“电子绕原子核做匀速圆周运动”等，所以这个结论具有一般性、普遍性。
师：因为匀速圆周运动的加速度指向圆心，所以我们把匀速圆周运动的加速度又叫做向心加速度。
【定义】：做匀速圆周运动物体的加速度由于指向圆心，又叫做向心加速度。
【公式】： 【单位】：m/s2 【方向】：指向圆心
师：向心加速度的物理意义是什么呢？有同学能说一说吗？
生：加速度是描述物体速度变化快慢的物理量。
师：做匀速圆周运动物体的线速度大小变了吗？
生：没有。
师：所以更详细地讲向心加速度的物理意义是描述线速度方向变化快慢的物理量。
【物理意义】：是用来描述物体做圆周运动的线速度方向变化快慢的物理量。
【问题】：匀速圆周运动是匀变速运动吗？
生：不是，做匀速圆周运动物体的向心加速度大小不变，方向指向圆心，虽然都是指向圆心，但不同位置指向圆心的位置是不同的，所以不是匀变速。
【牢记】：匀变速圆周运动是非匀变速曲线运动。
例3、从公式看，向心加速度与圆周运动的半径成反比？从公式看，向心加速度与半径成正比，这两个结论是否矛盾？请从以下两个角度来讨论这个问题。
①在y=kx这个关系式中，说y与x成正比，前提是什么？
②自行车的大车轮，小车轮，后轮三个轮子的半径不一样，它们的边缘上有三个点A、B、C，其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”，哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”？
例4、说法正确的是（C）
向心加速度越大，物体速率变化越快
向心加速度大小与轨道半径成反比。
向心加速度方向始终与速度方向垂直
在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的。
例5、关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（ BD ）
A、它们的方向都沿半径指向地心
B、它们的方向都在平行赤道的平面内指向地轴
C、北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D、北京的向心加速度比广州的向心加速度小
【解析】地球表面各点的向心加速度方向应该指向各点做匀速圆周运动的圆心，所以首先必须找到地球表面各点做圆周运动的轨道，找出其圆心，即可以知道向心加速度的方向。如图所示，各点加速度都在平行赤道的平面内指向地轴。选项B正确，选项A错误.在地面上纬度为φ的P点，做圆周运动的轨道半径r＝R0cosφ，其向心加速度为：an＝rω2＝R0ω2cosφ.
由于北京的地理纬度比广州的地理纬度大，北京随地球自转的半径比广州随地球自转的半径小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小，选项D正确，选项C错误.本题的【答案】为B、D.
【点评】因为地球自转时，地面上的一切物体都在垂直于地轴的平面内绕地轴做匀速圆周运动，它们的转动中心（圆心）都在地轴上，而不是地球球心。
训练6 向心加速度
[基础题]
1．下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是 ( )
A．向心加速度越大，物体速率变化越快
B．向心加速度越大，物体速度变化越大
C．向心加速度越大，物体速度方向变化越快
D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量
2．由于地球自转，比较位于赤道上的物体1与位于北纬60°的物体2，则 ( )
A．它们的角速度之比ω1∶ω2＝2∶1
B．它们的线速度之比v1∶v2＝2∶1
C．它们的向心加速度之比a1∶a2＝2∶1
D．它们的向心加速度之比a1∶a2＝4∶1
3．关于匀速圆周运动，下列说法正确的是 ( )
A．由a＝可知，a与r成反比
B．由a＝ω2r可知，a与r成正比
C．由v＝ωr可知，ω与r成反比
D．由ω＝2πn可知，ω与n成正比
4．A、B两个质点分别做匀速圆周运动，在相同时间内它们通过的路程比sA∶sB＝2∶3，转过的角度比φA∶φB＝3∶2，则下列说法中正确的是 ( )
A．它们的周期比TA∶TB＝2∶3
B．它们的周期比TA∶TB＝3∶2
C．它们的向心加速度大小比aA∶aB＝4∶9
D．它们的向心加速度大小比aA∶aB＝9∶4
5．如图1所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘的一点，则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是 ( )
图1
A．anC＝anD＝2anE B．anC＝2anD＝2anE
C．anC＝＝2anE D．anC＝＝anE
[能力题]
6．如图2所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么 ( )
图2
A．加速度为零
B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
7．如图3所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是边缘上的一点，左轮是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中皮带不打滑，则 ( )
图3
A．a点和b点的线速度大小相等
B．a点和b点的角速度相等
C．a点和c点的线速度大小相等
D．a点和d点的向心加速度的大小相等
8．如图4所示A、B、C分别是地球表面上北纬30°、南纬60°和赤道上
的点．若已知地球半径为R，自转的角速度为ω0，求：
(1)A、B两点的线速度大小；
(2)A、B、C三点的向心加速度大小之比．
图4
[探究与拓展题]
9．如图5所示，一轿车以30 m/s的速率沿半径为60 m的圆形跑道行驶，当轿车从A运动到B时，轿车和圆心的连线转过的角度为90°.求：
图5
(1)此过程中轿车的位移大小；
(2)此过程中轿车通过的路程；
(3)轿车运动的向心加速度大小．
答案 1．C 2．BC 3．D 4．A 5.C 6.D 7．CD 8．(1)ω0R ω0R (2)∶1∶2 9．(1)85 m (2)94.2 m (3)15 m/s2
向心力的理解
1．如图5-6-3所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是
( )．
图5-6-3
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
解析 小球受重力和绳子拉力作用，向心力是指向圆心方向的合外力，它可以是小球所受合力沿绳子方向的分力，如图甲．也可以是各力沿绳方向的分力的合力，如图乙．正确选项为C、D.
答案 CD
2．如图5-6-4所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是
( )．
图5-6-4
A．木块A受重力、支持力和向心力
B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反
C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心
D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同
解析 由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以，它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡．而木块在水平面内做匀速圆周运动，其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心O.
答案 C
向心力公式的应用
3．汽车甲和汽车乙质量相等，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为Ff甲和Ff乙．以下说法正确的是
( )．
A．Ff甲小于Ff乙
B．Ff甲等于Ff乙
C．Ff甲大于Ff乙
D．Ff甲和Ff乙大小均与汽车速率无关
解析 两车做圆周运动的向心力均由摩擦力提供，由于甲车在乙车外侧，故r甲＞r乙，而两者质量和速率均相等，据Ff＝m可得选项A正确．
答案 A
4．如图5-6-5所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方处有一钉子C，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的
( )．
图5-6-5
A．线速度突然增大 B．角速度突然增大
C．向心加速度突然增大 D．悬线拉力突然增大
解析 悬线与钉子碰撞前后很短时间内，由于惯性，故小球的线速度不变．当半径减小时，由ω＝知ω变大，再由F向＝m知向心加速度突然增大．而在最低点F向＝F－mg，故悬线拉力变大．由此可知，B、C、D选项正确．
答案 BCD
5．有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图5-6-6所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
图5-6-6
解析 对座椅受力分析如图所示，由向心力公式F＝mω2r得
mgtan θ＝mω2(r＋Lsin θ)
则ω＝
答案 ω＝
6 向心力
(时间：60分钟)
知识点
基础
中档
稍难
向心力的理解
1、2
3、4
向心力公式的应用
6
5、7
8、9
综合提升
11、12
10、13
知识点一 向心力的理解
1．对于做匀速圆周运动的物体，下列判断正确的是
( )．
A．合力的大小不变，方向一定指向圆心
B．合力的大小不变，方向也不变
C．合力产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小
D．合力产生的效果只改变速度的方向，不改变速度的大小
解析 匀速圆周运动的合力等于向心力，由于线速度v的大小不变，故F合只能时刻与v的方向垂直，即指向圆心，故A正确；由于F合时刻指向圆心，故其方向必须时刻改变才能时刻指向圆心，否则F就不能时刻指向圆心了，故B错；由合力F合的方向时刻与速度的方向垂直而沿切线方向无分力，故该力只改变速度的方向，不改变速度的大小，C错、D对．
答案 AD
2．关于向心力的下列说法中正确的是
( )．
A．物体受到向心力的作用才能做圆周运动
B．向心力是指向圆心方向的合外力，它是根据力的作用效果命名的
C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是某种力的分力
D．向心力只能改变物体的运动方向，不可能改变运动的快慢
解析 向心力是根据力的作用效果命名的，而不是一种性质力，物体之所以能做匀速圆周运动，不是因为物体多受了一个向心力的作用，而是物体所受各种力的合外力始终指向圆心，从而只改变速度的方向而不改变速度的大小，故选项A错误，B、C、D三个选项均正确．
答案 BCD
3．如图5-6-7所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体，物体随筒一起转动，物体所需的向心力由下面哪个力来提供
( )．
图5-6-7
A．重力 B．弹力
C．静摩擦力 D．滑动摩擦力
解析 本题可用排除法．首先可排除A、D两项．若向心力由静摩擦力提供，则静摩擦力或其分力应指向圆心，这是不可能的，C错．故选B.
答案 B
4．如图5-6-8所示，汽车减速经过水平弯路(可看做圆形轨道的一部分)，则关于汽车向心力及合外力的分析正确的是
( )．
图5-6-8
A．汽车拐弯时向心力由汽车方向盘来提供
B．汽车拐弯时向心力由地面来提供，与线速度方向相反
C．汽车拐弯时所受合外力指向圆心方向
D．汽车拐弯时所受合外力可能指向如图虚线方向
解析 汽车拐弯时向心力由地面(摩擦力)来提供，方向与线速度方向垂直，由于减速拐弯，所以合外力沿v的反方向有分力，合外力方向可能指向题图所示的虚线方向，A、B、C错，D对．
答案 D
知识点二 向心力公式的应用
5．绳子的一端拴一重物，用手握住另一端，使重物在光滑的水平面内做匀速圆周运动，下列判断正确的是
( )．
A．每秒转数相同，绳短时易断
B．线速度大小一定，绳短时易断
C．运动周期相同，绳短时易断
D．线速度大小一定，绳长时易断
解析 由题知，绳的拉力F提供向心力，由F＝mr·4π2n2知，n一定时，F∝r，故A错；由F＝m知，v一定时，F∝，故B对、D错；由F＝m知，T一定时，F∝r，故C错．
答案 B
6．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相同的时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们的向心力大小之比为
( )．
A．1∶4 B．2∶3
C．4∶9 D．9∶16
解析 由于m1∶m2＝1∶2，r1∶r2＝1∶2，
ω1∶ω2＝θ1∶θ2＝4∶3，向心力
F＝mrω2，故F1∶F2＝4∶9，C对．
答案 C
7．如图5-6-9所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的是
( )．
图5-6-9
A．线速度vA>vB
B．运动周期TA>TB
C．它们受到的摩擦力FfA>FfB
D．筒壁对它们的弹力FNA>FNB
解析 由于两物体角速度相等，而rA>rB，所以vA＝rAω>vB＝rBω，A项对；由于ω相等，则T相等，B项错；因竖直方向受力平衡，Ff＝mg，所以FfA＝FfB，C项错；弹力等于向心力，所以FNA＝mrAω2>FNB＝mrBω2，D项对．
答案 AD
8．游乐场中有一种娱乐设施叫“魔盘”，人就地坐在转动的大圆盘上，当大圆盘转速增加时，人就会自动滑向盘边缘．图5-6-10中有a、b、c三人坐在圆盘上，a的质量最大，b、c的质量差不多，但c离圆盘中心最远，a、b离盘心的距离相等，若三人与盘面的动摩擦因数相等，且假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则
( )．
图5-6-10
A．当圆盘转速增加时，三人同时开始滑动
B．当圆盘转速增加时，b首先开始滑动
C．当圆盘转速增加时，a和c首先同时开始滑动
D．当圆盘转速增加时，c首先开始滑动
解析 设转盘的角速度为ω，则人所受的向心力F＝mω2R.圆盘上的人受到的最大静摩擦力为Ff＝μmg.由题意知，当mω2R>μmg，即ω2R>μg时，转盘上的人开始滑动，坐在“魔盘”上的人未滑动时的角速度ω相同，由此知，当圆盘转速增加时，c首先开始滑动，再增大ω，a、b同时开始滑动，故选D.
答案 D
9．质量为m的飞机，以速度v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，空气对飞机作用力的大小等于
( )．
A．m B．m
C．m D．mg
解析 首先对飞机在水平面内的受力情况进行分析，其受力情况如图所示，飞机受到重力mg、空气对飞机的作用力为F，两力的合力为F向，方向沿水平方向指向圆心．由题意可知，重力mg与F向垂直，故F＝，又F向＝m，代入上式，得F＝m ，故正确选项为A.
答案 A
10．一个内壁光滑的圆锥筒的轴线竖直，圆锥固定，有质量相同的两个小球A和B贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图5-6-11所示，A的半径较大，则
( )．
图5-6-11
A．A球的向心力大于B球的向心力
B．A球对筒壁的压力大于B球对筒壁的压力
C．A球的运动周期大于B球的运动周期
D．A球的角速度小于B球的角速度
解析 两球贴着筒壁在水平面内做匀速圆周运动时，受到重力和筒壁对它的支持力，其中FN的分力F提供球做匀速圆周运动的向心力，如图所示，由图可得
F向＝F＝①
FN＝②
由上述两式可以看出，由于两个小球的质量相同，θ为定值，故A、B两球所受的向心力和它们对筒壁的压力大小是相等的，选项A、B错误．由向心力的计算公式F＝mrω2和F＝mr得
mg/tan θ＝mrω2，ω＝ ③
mg/tan θ＝mr，T＝2π ④
由④可知TA＞TB，所以C正确．
由③可知ωA＜ωB，所以D正确．
答案 CD
11．如图5-6-12所示，在以角速度ω＝2 rad/s匀速转动的水平圆盘上，放一质量m＝5 kg的滑块，滑块离转轴的距离r＝0.2 m，滑块跟随圆盘一起做匀速圆周运动(二者未发生相对滑动)．求：
图5-6-12
(1)滑块运动的线速度大小；
(2)滑块受到静摩擦力的大小和方向．
解析 (1)滑块的线速度大小v＝ωr
代入数据得v＝0.4 m/s.
(2)滑块受到静摩擦力的大小f＝mω2r
代入数据得f＝4 N
方向：由所在位置垂直指向转轴．
答案 (1)0.4 m/s (2)4 N 由所在位置垂直指向转轴
12．长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图5-6-13所示，当摆线L与竖直方向的夹角为α时，求：
图5-6-13
(1)细线的拉力F大小．
(2)小球运动的线速度的大小．
(3)小球运动的角速度及周期．
解析 做匀速圆周运动的小球受力如右图所示，小球受重力mg和细线的拉力F的作用．
(1)因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力沿水平方向指向圆心O′.由平行四边形定则得小球受到的合力大小为mgtan α，细线对小球的拉力大小为：
F＝
(2)由牛顿第二定律得：mgtan α＝
由几何关系得r＝Lsin α
所以，小球做匀速圆周运动的线速度的大小为
v＝
(3)小球运动的角速度
ω＝＝＝
小球运动的周期T＝＝2π .
答案 (1) (2)
(3) 2π
13．如图5-6-14所示，水平长杆AB绕过B端的竖直轴OO′匀速转动，在杆上套有一个质量m＝1 kg的圆环，若圆环与水平杆间的动摩擦因数μ＝0.5，且假设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，则：
图5-6-14
(1)当杆的转动角速度ω＝2 rad/s时，圆环的最大回转半径为多大？
(2)如果水平杆的转动角速度降为ω′＝1.5 rad/s，圆环能否相对于杆静止在原位置，此时它所受到的摩擦力有多大？(g取10 m/s2)
解析 (1)圆环在水平面内做匀速圆周运动的向心力是杆施加给它的静摩擦力提供的，则最大向心力F向＝μmg，代入公式F向＝mRmaxω2，得Rmax＝，代入数据可得Rmax＝1.25 m.
(2)当水平杆的转动角速度降为1.5 rad/s时，
圆环所需的向心力减小，
则圆环所受的静摩擦力随之减小，
不会相对于杆滑动，
故圆环相对杆仍静止在原来的位置，
此时的静摩擦力Ff＝mRmaxω′2＝2.81 N.
答案 (1)1.25 m (2)2.81 N
课件27张PPT。6 向心力1．知道什么是向心力，理解它是一种效果力．
2．知道向心力大小与哪些因素有关，理解公式的确切含义，并能用来进行计算．
3．知道变速圆周运动中向心力是合外力的一个分力，知道合外力的作用效果．合力 圆心 速度方向 来源
(1)向心力不是像重力、弹力、摩擦力那样作为某种性质的力来命名的．它是根据力的 来命名的．
(2)凡是产生 的力，不管属于哪种力，都是向心力．匀速圆周运动的向心力一定是其 ．
温馨提示 匀速圆周运动的向心力大小不变，方向时刻改变，是变力．作用效果向心加速度合力二、变速圆周运动和一般的曲线运动
?变速圆周运动
变速圆周运动物体所受合外力 向心力，合外力一般产生两个效果，根据合外力F产生的效果，可以把F分解为两个互相垂直的分力：
(1)跟圆周相切的分力Ft产生沿 方向的加速度，简称为切向加速度．切向加速度与物体的 方向共线，描述物体 ；一般不等于圆周切线速度速度大小的变化快慢 (2)指向圆心的分力Fn就是 ，产生向心加速度．向心加速度始终与速度方向 ，描述 ．
仅有向心加速度的圆周运动是 运动，同时具有向心加速度和切向加速度的圆周运动就是 运动．
?一般曲线运动的处理方法
一般曲线运动，可以把曲线分割为许多很短的小段，质点在每一小段的运动都可以看做 的一部分，圆弧弯曲程度不同，表明它们具有不同的 ．这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了．向心力垂直速度方向改变的快慢匀速圆周变速圆周圆周运动半径来源
(1)向心力可以由重力提供，如用细线拴住小球在竖直面内转动，当它经过最高点时，若绳的拉力恰好为零，则此时向心力由重力提供，Fn＝G，如图5-6-1(a)．
(2)向心力可以由弹力提供，如用细线拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动，向心力由细线的拉力FT(即弹力)提供，即Fn＝FT，如5-6-1(b)．
图5-6-1(3)向心力可以由摩擦力提供，如物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对转盘静止，向心力由转盘对物体的静摩擦力提供，即Fn＝Ff，如图5-6-1(c)．
(4)向心力可以由合力来提供，如细线拴住小球在竖直面内做匀速圆周运动，当小球经过最低点时向心力由细线的拉力FT和重力G的合力提供，即Fn＝FT－G，如图5-6-1(d)．
(5)向心力可由某个力的分力提供，如小球在细线作用下，在水平面内做圆锥摆的运动，向心力由细线的拉力在水平面内的分力提供，即Fn＝F1，如图5-6-1(e)．
注意：向心力是效果力，对物体进行受力分析时不能考虑向心力．二、匀速圆周运动与变速圆周运动的比较 变速圆周运动中，合外力沿半径方向的分力提供向心力，产生向心加速度，只改变速度方向，不改变速度大小；合外力沿圆周切线方向的分力产生切向加速度，只改变速度的大小，而不改变速度的方向．【典例1】 下列关于向心力的说法中正确的是
( )．
A．物体由于做圆周运动而产生向心力
B．向心力不改变做圆周运动物体的速度大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定是向心力向心力的理解 解析 力是改变物体运动状态的原因，具有向心力，物体才做圆周运动，而不是因为做圆周运动才产生向心力．故A错．向心力只改变物体运动的方向，不改变速度的大小．故B对．物体做匀速圆周运动的向心力方向永远指向圆心，其大小不变，方向时刻改变，故C错．只有匀速圆周运动中，合外力充当向心力，而非匀速圆周运动中向心力并非物体所受的合外力，而是合外力指向圆心的分力提供向心力，D错．故选B.
答案 B借题发挥 向心力是效果力，是做圆周运动物体所受的指向圆心的合力或合力的分力，它的作用是产生向心加速度，它只改变线速度的方向，不改变线速度的大小．【变式1】
做匀速圆周运动的物体所受的向心力是
( )．
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是 一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改 变线速度的大小
C．物体所受的合外力
D．向心力和向心加速度的方向都是不变的解析 做匀速圆周运动的物体所受的向心力是物体所受的合外力，由于指向圆心，且与线速度垂直，不能改变线速度的大小，只能改变线速度的方向，向心力虽大小不变，但方向时刻改变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的，所以A、D错误，B、C正确．
答案 BC【典例2】 (2011·广州高一检测)如图5-6-2所示，细绳一端系着质量M＝0.6 kg的物体A静止在水平转台上，另一端通过轻质小滑轮O吊着质量m＝0.3 kg的物体B.A与滑轮O的距离为0.2 m，且与水平面的最大静摩擦力Fmax＝2 N，为使B保持静止状态，水平转台做圆周运动的角速度ω应在什么范围内？(g取10 m/s2)向心力公式的应用 图5-6-2借题发挥 在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体的向心力变化，物体有远离或向着圆心运动的(半径有变化)趋势．这时要根据物体的受力情况，判断物体受的某个力是否存在以及这个力存在时的方向，大小变化情况(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)，此类临界问题可以考虑极限情况．【变式2】
做匀速圆周运动的物体，它所受的向心力的大小必定与
( )．
A．线速度平方成正比
B．角速度平方成正比
C．运动半径成反比
D．线速度和角速度的乘积成正比单击此处进入 课堂对点演练单击此处进入 活页规范训练六、向心加速度
【要点导学】
1、速度变化量Δv指末速度v2与初速度v1的差值，即Δv＝v2－v1。注意，这里的差值并非速度大小相减的结果，而是两个速度矢量相减。某一过程的速度变化量可按照以下方法求解：从同一点作出物体在一段时间的始末两个速度矢量v1和v2，从初速度v1的末端作一个矢量Δv至末速度v2的末端，所作矢量Δv就是速度的变化量。
2、做匀速圆周运动的物体，加速度方向始终指向 ，这个加速度叫做 。
3、向心加速度的大小表达式有an＝ 、an＝ 等。
4、匀速圆周运动是一个加速度大小不变、方向时刻变化的变加速曲线运动。
【范例精析】
例1 一质点沿着半径r = 1 m的圆周以n = 1 r/s的转速匀速转动，如图，试求：
(1)从A点开始计时，经过1/4 s的时间质点速度的变化；
(2)质点的向心加速度的大小。
例2 关于向心加速度，下列说法正确的是（ ）
A．它是描述角速度变化快慢的物理量
B．它是描述线速度大小变化快慢的物理量
C．它是描述线速度方向变化快慢的物理量
D．它是描述角速度方向变化快慢的物理量
例3 如图所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线，表示质点P的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点的一条直线。由图可知（ ）
A．质点P线速度大小不变
B．质点P的角速度大小不变
C．质点Q的角速度随半径变化
D．质点Q的线速度大小不变
【能力训练】
1．由于地球的自转，地球表面上各点均做匀速圆周运动，所以（ ）
A．地球表面各处具有相同大小的线速度
B．地球表面各处具有相同大小的角速度
C．地球表面各处具有相同大小的向心加速度
D．地球表面各处的向心加速度方向都指向地球球心
2．下列关于向心加速度的说法中，正确的是（ ）
A．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直
B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
3．由于地球自转，比较位于赤道上的物体1与位于北纬60°的物体2，则（ ）
A．它们的角速度之比ω1∶ω2=2∶1
B．它们的线速度之比v1∶v2=2∶1
C．它们的向心加速度之比a1∶a2=2∶1
D．它们的向心加速度之比a1∶a2=4∶1
4．关于质点做匀速圆周运动的下列说法正确的是（ ）
A．由a=v2/r，知a与r成反比
B．由a=ω2r，知a与r成正比
C．由ω=v/r，知ω与r成反比
D．由ω=2πn，知ω与转速n成正比
5．A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30r/min，B的转速为15r/min。则两球的向心加速度之比为（ ）
A．1：1 B．2：1
C．4：1 D．8：1
6．如图所示皮带传动轮，大轮直径是小轮直径的3倍，A是大轮边缘上一点，B是小轮边缘上一点，C是大轮上一点，C到圆心O1的距离等于小轮半径，转动时皮带不打滑。则A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC= ，向心加速度大小之比aA∶aB∶aC= 。
7．如图所示，定滑轮的半径r=2 cm，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a=2 m/s2做匀加速运动。在重物由静止下落1 m的瞬间，滑轮边缘上的P点的角速度ω=_____ rad/s，向心加速度a=_____ m/s2。
8．如图所示，摩擦轮A和B通过中介轮C进行传动，A为主动轮，A的半径为20 cm，B的半径为10 cm，则A、B两轮边缘上的点，角速度之比为_____；向心加速度之比为_____。
5.6 向心加速度（同步测试）
1、甲、乙两个质点，分别做不同的圆周运动，下面说法中正确的是（ ）
A．线速度较大的质点，速度方向变化较快
B．角速度较大的质点，速度方向变化较快
C．向心加速度较大的质点，速度方向变化较快
D．以上说法都不对
2、关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期与向心加速度的关系，下列说法中正确的是（ ）
A．角速度大的向心加速度一定大
B．线速度大的向心加速度一定大
C．线速度与角速度乘积大的向心加速度一定大
D．周期小的向心加速度一定大
3、如图所示，是A、B两物体做匀速圆周运动时的向心加速度随半径变化的关系图像，A是以坐标轴为渐近线的双曲线，B是一条过原点的倾斜直线，则从图像可以看出（ ）
A．A物体运动时线速度的大小保持不变
B．A物体运动时角速度的大小保持不变
C．B物体运动时角速度随半径而变化
D．B物体运动时线速度的大小保持不变
4、某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮的角速度为ω，则丙轮边缘上某点的向心加速度为（ ）
A． B．
C． D．
5、甲、乙两个物体都做匀速圆周运动．转动半径比为3：4，在相同的时间里甲转过60圈时，乙转过45圈，则它们所受的向心加速度之比为 ( )
A．3：4 B．4；3 C．4：9 D．9：16
6、地球自转角速度是 ，上海在北纬31°，上海绕地轴做圆周运动的线速度是 ，向心加速度是 （地球半径为6400km）。
7、一个小球作半径为r的匀速圆周运动，其线速度为v。从某时刻算起，使其速度的增量的大小为v，所需的最短时间是多少？
8、如图所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动。若运动员的转速为30r/min，女运动员触地冰鞋的线速度为4.8m/s，求女运动员做圆周运动的角速度、触地冰鞋做圆周运动的半径及向心加速度大小。
9、如图所示，质量为m的小球用长为L的悬绳固定于O点，在O点的正下方处有一颗钉子，把悬绳拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，则小球从右向左摆的过程中悬绳碰到钉子的前后．小球的向心加速度之比为多少?
10、长度为L=0．5m的轻杆，一端固定质量为M=1．0kg的小球A(小球的半径不计)，另一端固定在一转动轴O上．小球绕轴在水平面上匀速转动的过程中，每隔0.1s杆转过的角度为30°．试求：小球运动的向心加速度．
参考答案
1、【答案】:C
2、【答案】:C
【解析】：对于D选项，好多同学都进行了计算，其实大家只要知道，就知道周期小就是角速度大，角速度大加速度一定大吗？不一定，所以D错。
3、【答案】:A
【解析】：图中描述的是加速度a与半径r的关系，据公式， 可知：当角速度ω不变时，a与r成正比；当线速度大小不变时，加速度a与r成反比。对照图可知：A中a与r成反比，所以A中线速度大小不变；B中a与r成正比，所以B中角速度不变。选择A
4、【答案】:A
【解析】：三轮的关系应该有，再用公式即可求得。
5、【答案】:B
根据公式及有。因为
所以选B。
6、【答案】: 400m/s
地球自转周期为24小时，据可求得角速度；作图知上海至地轴的距离为Rsin31°即上海随地球做圆周运动的半径，据可求得线速度；据可求得加速度。
7、【答案】: πr/3v
【解析】：作图可知要使速度增量大小为v，则小球最少转过60°，则时间t应该为
8、【答案】: 3.14rad/s；1.53m；15.1m/s2
【解析】：据；据有
据可得最后结果15.1m/s2
9、【答案】: 2：3
【解析】：在悬绳碰到钉子的前后瞬间，速度不变。做圆周运动的半径从L变成了，则根据加速度公式有两次a之比为半径之反比。即2：3
10、【答案】: 14 m／S2
【解析】：要注意的是需将角度30°转化为弧度，由题意知，据加速度公式14m/s
课件20张PPT。 5.6 向心加速度提问：什么是匀速圆周运动?
“匀速”的含义是什么？讨论：那么物体所受的外力沿什么方向？加速度又怎样呢？匀速圆周运动是变加速曲线运动变加速曲线运动运动状态改变一定受到外力一定存在加速度(1)图6．6—1中的地球受到什么力的作用?这个力可能沿什么方向?
(2)图6.6—2中的小球受到几个力的作用?这几个力的合力沿什么方向?学生小实验步骤一：拉住绳子一端，使小球在桌面上做匀速圆周运动。观察与思考：
1、小球受到哪些力作用？合外力是哪个力？这个力的方向有什么特点？生答：做匀速圆周运动的物体所受的力或合外力指向圆心。2、我们这节课讨论向心加速度，而这里却在讨论物体受力情况，这不是“南辕北辙”了吗？生答：由牛顿第二定律知，知道了合外力就可以推出加速度，那么物体的加速度也指向圆心3、“任何物体做匀速圆周运动的加速度都指向圆心”吗?分析生活中圆周运动例子： 下面我们要从加速度的定义a= △ v/△t进行一般性的讨论一、速度的变化量1、如果初速度v1和末速度v2在同一方向上，如何表示速度的变化量△v? △v是矢量还是标量？甲V1△VV2（1）v1 < V2 （如图甲）乙V1△VV2（2）v1 > v2 （如图乙）2、如果初速度v1和末速度v2不在同一直线上，如何表示速度的变化量△v?V1△VV2 速度的变化量△v与初速度v1和末速度v2的关系：从同一点作出物体在一段时间的始末两个速度的矢量v1和v 2，从初速度矢量v1的末端作一个矢量△v至末速度矢量v2的末端，矢量△v就等于速度的变化量。速度的变化量探究：设质点沿半径为r的圆周运动，某时刻位于A点，速度为VA，经过时间后位于B点，速度为VB，质点速度的变化量沿什么方向？注意：1、 VA 、VB的长度是否一样？2、VA平移时注意什么？3、△v/△t表示什么？4、△v与圆的半径平行吗？在什么条件下，△v与圆的半径平行？结论：当△t很小很小时，△v指向圆心． 二、向心加速度r1、做匀速圆周运动的物体加速度指向圆心．这个加速度称为向心加速度． △vV△Lra= △ v/△tV = △ L /△t思考：从公式a=v2/r看,向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式a=rw2看，向心加速度与半径成正比，这两个结论是否矛盾？1)在y=kx这个关系式中，说y与x成正比，前提是什么？2)自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的 半径不一样，它们的边缘上有三个点A、B、C。其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径 成正比”，哪两点适用于“向心加速度与半径 成反比”？三、课堂练习1、下列关于向心加速度的说法中，正确的是…………( )
A.向心加速度的方向始终与速度的方向垂直
B.向心加速度的方向保持不变
C.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D.在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
2、一个拖拉机后轮直径是前轮直径的2倍，当前进且不打滑时，前轮边缘上某点A的线速度与后轮边缘上某点B的线速度之比VA：VB=________，
角速度之比ωA：ωB=_________，
向心加速度之比aA：aB=_________。1 、科学方法：
（1）发现物理规律的基本方法：以观察实验为基础，分析、综合的方法；
（2）实验方法：研究物理问题的重要方法之一——控制因素（变量）法。2、 知识整合：圆周运动匀速圆
周运动匀速圆
周运动圆周运动 向心力
（向心加速度）再见
