计算天体的质量和密度
1．一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要
( )．
A．测定飞船的运行周期
B．测定飞船的环绕半径
C．测定行星的体积
D．测定飞船的运行速度
解析 取飞船为研究对象，由G＝mR及M＝πR3ρ，知ρ＝.A对．故选A.
答案 A
2．地球绕太阳公转的轨道半径为1.49×1011 m，公转的周期是3.16×107s，太阳的质量是多少？
解析 根据牛顿第二定律，可知：
F向＝ma向＝mr， ①
又因F向是由万有引力提供的
则F向＝F万＝G， ②
则由①②联立可解得
M＝＝ kg＝1.96×1030kg.
答案 1.96×1030 kg
天体运动规律
3．如图6-4-1所示，a、b、c是在地球大气层以外圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则
( )．.
图6-4-1
A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相同且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
解析 因卫星运动的向心力就是它们所受的万有引力，而b所受的引力最小，故A对．由GMm/r2＝ma得a＝GM/r2.即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错．
由GMm/r2＝4π2mr/T2得T＝2π.
即人造地球卫星运动的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B对．
由GMm/r2＝mv2/r得v＝.
即地球卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b、c线速度大小相等且小于a的线速度，D对．
答案 ABD
4．据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 km和100 km，运行速率分别
为v1和v2.那么，v1和v2的比值为(月球半径取1 700 km)
( )．
A. B. C. D.
解析 根据卫星运动的向心力由万有引力提供，有G＝m，那么卫星的线速度跟其轨道半径的平方根成反比，则有＝＝ .
答案 C
5．两个行星质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求：
(1)它们与太阳间的万有引力之比；
(2)它们的公转周期之比．
解析 (1)设太阳质量为M，由万有引力定律得，
两行星与太阳间的万有引力之比为
＝＝.
(2)两行星绕太阳的运动看作匀速圆周运动，
向心力由万有引力提供，则有
G＝m()2r.
所以，行星绕太阳运动的周期为T＝2π .
则两行星绕太阳的公转周期之比为＝ .
答案 (1) (2)
6.4 万有引力理论的成就
课 题
6.4 万有引力理论的成就
备课时间
上课时间
总课时数
课程目标
知识与
技能
了解万有引力定律在天文学上的应用
会用万有引力定律计算天体的质量和密度
掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法
过程与
方法
通过求解太阳.地球的质量，培养学生理论联系实际的运用能力
情感态度与价值观
通过介绍用万有引力定律发现未知天体的过程，使学生懂得理论来源于实践，反过来又可以指导实践的辨证唯物主义观点
教学重点
1、行星绕太阳的运动的向心力是由万有引力提供的。
2、会用已知条件求中心天体的质量。
教学难点
根据已有条件求中心天体的质量。
教学过程
二次备课
引入新课
教师活动：上节我们学习了万有引力定律的有关知识，现在请同学们回忆一下，万有引力定律的内容及公式是什么？公式中的G又是什么？G的测定有何重要意义？ 学生活动：思考并回答上述问题：
教师活动：万有引力定律的发现有着重要的物理意义：它对物理学、天文学的发展具有深远的影响；它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一起来；对科学文化发展起到了积极的推动作用，解放了人们的思想，给人们探索自然的奥秘建立了极大信心，人们有能力理解天地间的各种事物。这节课我们就共同来学习万有引力定律在天文学上的应用。
新课讲解
一、“科学真实迷人”
教师活动：引导学生阅读教材“科学真实迷人”部分的内容，思考问题
1、推导出地球质量的表达式，说明卡文迪许为什么能把自己的实验说成是“称量地球的重量”？
例：设地面附近的重力加速度g=9.8m/s2，地球半径R =6.4×106m，引力常量G=6.67×10-11 Nm2/kg2，试估算地球的质量。
kg
二、计算天体的质量
教师活动：引导学生阅读教材“天体质量的计算”部分的内容，同时考虑下列问题 1、应用万有引力定律求解天体质量的基本思路是什么?
2、求解天体质量的方程依据是什么?
学生活动：学生阅读课文第一部分，从课文中找出相应的答案.
1、应用万有引力定律求解天体质量的基本思路是：根据环绕天体的运动情况，求出其向心加速度，然后根据万有引力充当向心力，进而列方程求解.
2、从前面的学习知道，天体之间存在着相互作用的万有引力，而行星（或卫星）都在绕恒星（或行星）做近似圆周的运动，而物体做圆周运动时合力充当向心力，故对于天体所做的圆周运动的动力学方程只能是万有引力充当向心力，这也是求解中心天体质量时列方程的根源所在.
教师活动：请同学们结合课文知识以及前面所学匀速圆周运动的知识，加以讨论、综合，然后思考下列问题。学生代表发言。
1.天体实际做何运动?而我们通常可认为做什么运动?
2.描述匀速圆周运动的物理量有哪些?
3.根据环绕天体的运动情况求解其向心加速度有几种求法?
4.应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力求出的天体质量有几种表达式?各是什么?各有什么特点?
5.应用此方法能否求出环绕天体的质量?
学生活动：分组讨论，得出答案。学生代表发言。
1.天体实际运动是沿椭圆轨道运动的，而我们通常情况下可以把它的运动近似处理为圆形轨道，即认为天体在做匀速圆周运动.
2.在研究匀速圆周运动时，为了描述其运动特征，我们引进了线速度v，角速度ω，周期T三个物理量.
3.根据环绕天体的运动状况，求解向心加速度有三种求法.即：
（1）a心= （2）a心=ω2·r （3）a心=4π2r/T2
4.应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力，结合圆周运动向心加速度的三种表述方式可得三种形式的方程，即
（1）F引=G=F心=ma心=m. 即：G ①
（2）F引=G=F心=ma心=mω2r 即：G=mω2·r ②
（3）F引=G=F心=ma心=m 即：G=m ③
从上述动力学方程的三种表述中，可得到相应的天体质量的三种表达形式：
（1）M=v2r/G. （2）M=ω2r3/G. （3）M=4π2r3/GT2.
上述三种表达式分别对应在已知环绕天体的线速度v，角速度ω，周期T时求解中心天体质量的方法.以上各式中M表示中心天体质量，m表示环绕天体质量，r表示两天体间距离，G表示引力常量.
从上面的学习可知，在应用万有引力定律求解天体质量时，只能求解中心天体的质量，而不能求解环绕天体的质量。而在求解中心天体质量的三种表达式中，最常用的是已知周期求质量的方程。因为环绕天体运动的周期比较容易测量。
投影例题：把地球绕太阳公转看做是匀速圆周运动，平均半径为1.5×1011 m，已知引力常量为：G=6.67×10-11 N·m2/kg2，则可估算出太阳的质量大约是多少千克?（结果取一位有效数字）
分析：题干给出了轨道的半径，虽然没有给出地球运转的周期，但日常生活常识告诉我们：地球绕太阳一周为365天。
故：T=365×24×3600 s=3.15×107 s
由万有引力充当向心力可得：
G=m 故：M=
代入数据解得M=kg=2×1030 kg
教师活动：求解过程，点评。
三、发现未知天体
教师活动：请同学们阅读课文“发现未知天体”部分的内容，考虑以下问题
1、应用万有引力定律除可估算天体质量外，还可以在天文学上有何应用？
2、应用万有引力定律发现了哪些行星？
学生活动：阅读课文，从课文中找出相应的答案：
1、应用万有引力定律还可以用来发现未知的天体。
2、海王星、冥王星就是应用万有引力定律发现的。
教师活动：引导学生深入探究
人们是怎样应用万有引力定律来发现未知天体的?发表你的看法。
学生活动：讨论并发表见解。
人们在长期的观察中发现天王星的实际运动轨道与应用万有引力定律计算出的轨道总存在一定的偏差，所以怀疑在天王星周围还可能存在有行星，然后应用万有引力定律，结合对天王星的观测资料，便计算出了另一颗行星的轨道，进而在计算的位置观察新的行星。
教师点评：万有引力定律的发现，为天文学的发展起到了积极的作用，用它可以来计算天体的质量，同时还可以来发现未知天体.
四、课堂小结
让学生概括总结本节的内容。
五、作业：
【板书设计】
教学后记：
训练4 万有引力理论的成就
[基础题]
1．火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为 ( )
A．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g
2．一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行．认为该行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量 ( )
A．飞船的轨道半径 B．飞船的运行速度
C．飞船的运行周期 D．行星的质量
3．在万有引力常量G已知的情况下，若再知道下列哪些数据，就可以计算出地球的质量 ( )
A．地球绕太阳运动的周期及地球离太阳的距离
B．人造地球卫星在地面附近绕行的速度和运行周期
C．月球绕地球运行的周期及地球半径
D．若不考虑地球自转，已知地球半径和地球表面的重力加速度
4．我国曾发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设想“嫦娥一号”贴近月球表面做匀速圆周运动，其周期为T.“嫦娥一号”在月球上着陆后，自动机器人用测力计测得质量为m的仪器重力为P.已知引力常量为G，由以上数据可以求出的量有 ( )
A．月球的半径
B．月球的质量
C．月球表面的重力加速度
D．月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度
[能力题]
5．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处的重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的 ( )
A.倍 B．4倍 C．16倍 D．64倍
6．火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转半径的1.5倍．根据以上数据，下列说法中正确的是 ( )
A．火星表面重力加速度的数值比地球表面的小
B．火星公转的周期比地球的长
C．火星公转的线速度比地球的大
D．火星公转的向心加速度比地球的大
7．已知地球质量大约是M＝6.0×1024 kg，地球平均半径为R＝6 370 km，地球表面的重力加速度g＝9.8 m/s2.求：
(1)地球表面一质量为10 kg的物体受到的万有引力；
(2)该物体受到的重力；
(3)比较说明为什么通常情况下重力可以认为等于万有引力．
8.假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G，则该天体的密度是多少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？
9．已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地球做圆周运动，由G＝m2h，得M＝.
(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果；
(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．
[探究与拓展题]
10．如图1所示为中国月球探测工程的形象标志，它以中国书法的笔触，
勾勒出一轮明月和一双踏在其上的脚印，象征着月球探测的终极梦
想．一位勤于思考的同学，为探月宇航员设计了如下实验：在距月球
表面高h处以初速度v0水平抛出一物体，然后测量该物体的水平位
移为x.通过查阅资料知道月球的半径为R，引力常量为G，若物体只
受月球引力的作用，请你求出：
(1)月球表面的重力加速度g月； 图1
(2)月球的质量．
答案 1．B 2．C 3．BD 4．ABC 5．D 6．AB 7．(1)98.6 N (2)98 N (3)比较以上计算结果，万有引力比重力大，原因是在地球表面上的物体所受到的万有引力可分解为重力和随地球自转所需的向心力．计算结果表明物体随地球自转所需的向心力远小于物体受到的万有引力，所以通常情况下可认为重力等于万有引力． 8. 9．(1)上面结果是错误的．地球的半径R在计算过程中不能忽略．
正确的解法和结果是
G＝m2(R＋h)，得
M＝
(2)方法一：对于月球绕地球做圆周运动，由
G＝m2r，得M＝.
方法二：在地球表面物体的重力近似等于地球对物体的万有引力，
由G＝mg得M＝. 10．(1) (2)
4 万有引力理论的成就
(时间：60分钟)
知识点
基础
中档
稍难
计算天体的质量和密度
1、2、3
4
天体运动规律
6、7
5
双星问题
8、9
综合提升
10、11、12
13
知识点一 计算天体的质量和密度
1．地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为
( )．
A. B. C. D.
解析 忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg＝G，又地球质量M＝ρV＝πR3ρ.代入上式化简可得地球的平均密度ρ＝.
答案 A
2．土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒大小不等，线度从1 μm到10 m的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104 km延伸到1.4×105 km，已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期均为14 h，引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(估算时不考虑环中颗粒间的作用)
( )．
A．9.0×1016 kg B．6.4×1017 kg
C．9.0×1025 kg D．6.4×1026 kg
解析 由G＝mr得土星的质量M＝＝ kg≈6.4×1026 kg.
答案 D
3．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有
( )．
A．月球的质量
B．地球的质量
C．地球的半径
D．月球绕地球运行速度的大小
解析 由天体运动的受力特点，得G ＝m ·R，可得地球的质量M＝.由周期和线速度的关系，可得0月球绕地球运行速度的大小v＝.故选B、D.
答案 BD
4．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的
( )．
A. B．4倍 C．16倍 D．64倍
解析 由＝mg得M＝，ρ＝＝＝，R＝，＝·＝＝4，结合题意，该星球半径是地球半径的4倍．根据M＝，＝·＝64.
答案 D
知识点二 天体运动规律
5．据媒体报道，“嫦娥一号”卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度200 km，运行周期127分钟．若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是
( )．
A．月球表面的重力加速度 B．月球对卫星的吸引力
C．卫星绕月运行的速度 D．卫星绕月运行的加速度
解析 在月球表面万有引力等于重力，
即G＝mg，故g＝ ①
对“嫦娥一号”卫星，万有引力提供向心力
G＝m(R＋h)，得M＝ ②
根据题意G、R、h、T已知，由①②式可求出月球表面的重力加速度，A可求出；由于不知卫星的质量，月球对卫星的吸引力不能求出：由G＝ma＝m可得a＝G，v＝ ，故C、D可求出，答案选B.
答案 B
6．(2011·天津高考)质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响， 则航天器的
( )．
A．线速度v＝ B．角速度ω＝
C．运行周期T＝2π D．向心加速度a＝
解析 由＝m＝mω2R＝mR＝mg＝ma得v＝，A对；ω＝，B错；T＝2π，C对；a＝，D错．故选A、C.
答案 AC
7．如图6-4-2所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)．下列说法中正确的是
( )．
图6-4-2
A．a、b的线速度大小之比是 ∶1
B．a、b的周期之比是1∶2
C．a、b的角速度大小之比是3∶4
D．a、b的向心加速度大小之比是9∶4
解析 两卫星均做匀速圆周运动，F万＝F向，向心力选不同的表达形式分别分析，如下表：
选项
内容指向、联系分析
结论
A
由＝m得＝ ＝ ＝
错误
B
由＝mr得＝ ＝
错误
C
由＝mrω2得＝＝
正确
D
由＝ma得＝＝
正确
答案 CD
知识点三 双星问题
8．月球与地球质量之比约为1∶80.有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为
( )．
A．1∶6 400 B．1∶80 C．80∶1 D．6 400∶1
解析 双星系统中的向心力大小相等，角速度相同．据此可得M＝m，Mω2r1＝mω2r2，联立得＝＝，故C项正确．
答案 C
9．某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G，由此可求出S2的质量为
( )．
A. B.
C. D.
解析 设S1和S2的质量分别为m1、m2，对于S1有
G＝m1r1，得m2＝.
答案 D
10．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星，这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为
( )．
A．1.8×103 kg/m3 B．5.6×103 kg/m3
C．1.1×104 kg/m3 D．2.9×104 kg/m3
解析 近地卫星绕地球做圆周运动时，所受万有引力充当其做圆周运动的向心力，即：G＝mR，由密度、质量和体积关系M＝ρ·πR3解两式得：ρ＝≈5.60×103 kg/m3.由已知条件可知该行星密度是地球密度的25/4.7倍，即ρ＝5.60×103× kg/m3＝2.98×104 kg/m3，D项正确．
答案 D
11．已知地球半径约为6.4×106 m，又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地心的距离约为多大．(结果只保留一位有效数字)
解析 设地球、月球质量分别为M、m，月球到地心的距离为r，则G＝mr.
又因为物体在地球表面上的重力近似等于地球对它的引力，设物体的质量为m′，有：
m′g＝G，
解得r＝，代入数据得r≈4×108 m.
答案 4×108 m
12．宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起．设二者的质量分别为m1和m2，二者相距为L.求：
(1)双星的轨道半径之比；
(2)双星的线速度之比；
(3)双星的角速度．
解析 设二者轨迹圆的圆心为O.圆半径分别为R1和R2.
由万有引力提供向心力有：
G ＝m1ω2R1 ①
G ＝m2ω2R2 ②
(1)①②两式相除，得＝.
(2)因为v＝ωR，所以＝＝.
(3)由几何关系知：R1＋R2＝L ③
联立①②③式解得：ω＝ .
答案 (1)m2∶m1 (2)m2∶m1 (3)
13．图6-4-3为中国月球探测工程的形象标志，它以中国书法的笔触，勾勒出一轮明月和一双踏在其上的脚印，象征着月球探测的终极梦想．一位勤于思考的同学为探月宇航员设计了如下实验：在距月球表面高h处以初速度v0水平抛出一个物体，然后测量该平抛物体的水平位移为x；通过查阅资料知道月球的半径为R，引力常量为G，若物体只受月球引力的作用，请你求出：
图6-4-3
(1)月球表面的重力加速度g月；
(2)月球的质量M；
(3)环绕月球表面的宇宙飞船的速率v是多少？
解析 (1)设月球表面重力加速度g月，取水平抛出的物体为研究对象，有：h＝g月t2，x＝v0t，解得g月＝.
(2)取月球表面上的物体m为研究对象，它受到的重力与万有引力相等，即mg月＝，解得：M＝＝.
(3)环绕月球表面的宇宙飞船做匀速圆周运动的半径为R，万有引力充当向心力，故有：＝(m′为飞船质量)
所以v＝ ＝＝.
答案 (1) (2) (3)
课件24张PPT。4 万有引力理论的成就1．掌握测量地球质量的方法．
2．了解发现未知天体的过程．
3．理解掌握应用万有引力定律计算天体质量的方法．自转 重力 万有引力 万有引力 太阳 行星 温馨提示 以上方法所求质量为中心天体的质量，中心天体指处于另一天体(或卫星)做圆周运动的圆心处的天体．
三、发现未知天体
1．被人们称为“笔尖下发现的行星”被命名为 ．
2．海王星的发现和 的“按时回归”确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈．海王星哈雷彗星(2)质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动特别提醒 (1)计算天体的质量的方法不仅适用于地球 ，也适用于其他任何星体．注意方法的拓展应用．明确计算出的是中心天体的质量．
(2)要注意R、r的区分．R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径．若绕近地轨道运行，则有R＝r.常用的几个关系式
设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动，则故对于绕同一天体做圆周运动的不同天体，轨道半径r越大，T越大，v、ω、a越小．【典例1】 假设宇航员乘坐宇宙飞船到某行星考察，当宇宙飞船在靠近该星球表面空间做匀速圆周运动时，测得环绕周期为T.当飞船降落在该星球表面时，用弹簧测力计称得质量为m的砝码受到的重力为F，试根据以上数据求得该行星的质量．计算天体的质量和密度 借题发挥 求解天体质量一般有两种方法：
(1)测出飞船的运行周期及轨道半径，求得行星的质量．
(2)由星球表面物体受到的重力等于万有引力，利用星球的半径及物体在该星球上的重力，求得行星质量．【变式1】
在万有引力常量G已知的情况下，已知下列哪些数据，可以计算出地球质量
( )．
A．地球绕太阳运动的周期及地球离太阳的距离
B．人造地球卫星在地面附近绕行的速度和运行周期
C．月球绕地球运行的周期及地球半径
D．若不考虑地球自转，已知地球半径和地球表面的重力加速 度【典例2】 天文学家在太阳系中发现了一颗比地球小得多的新行星，而且还测得它绕太阳公转的周期约为288年，若把它和地球绕太阳公转的轨道都看做圆，问它与太阳的距离约是地球与太阳距离的多少倍．(最后结果可用根式表示)天体运动规律 【变式2】
科学家们推测，太阳系有颗行星和地球在同一轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息我们可以推知
( )．.
A．这颗行星的质量等于地球的质量
B．这颗行星的密度等于地球的密度
C．这颗行星的公转周期与地球公转周期相等
D．这颗行星的自转周期与地球自转周期相等解析 由题意知，该行星和地球一样绕太阳运行，且该行星、太阳、地球在同一直线上，说明该颗行星与地球有相同的公转周期，C选项正确，但根据所给条件，无法进一步判断该行星与地球的自转周期、质量、密度是否相同．
答案 C单击此处进入 课堂对点演练单击此处进入 活页规范训练四、万有引力理论的成就
［要点导学］
1．计算天体质量（或密度）。应用万有引力定律计算天体质量的基本思路和方法是将围绕某天体的行星的运动看成圆周运动，根据行星运动的向心力由它们间的万有引力提供建立方程，求出天体质量（或密度）。
(1)在不考虑地球自转的影响时，地面上物体受到的引力大小等于物体的重力。利用。解得地球质量_________。卡文迪许用扭秤测量了铅球间得作用力大小，得到了引力常量G，进而计算了地球的质量。从而使得万有引力定律进入定量计算领域，有了更实用的意义。
(2)根据卡文迪许计算地球质量的思路，我们还可以计算天体表面的重力加速度，某行星表面物体受到行星的引力大小等于物体在该行星表面的重力，解得:。式中M为行星质量，R为行星半径
（3）行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的，由此可以列出方程，从中解出太阳的质量。
（4）假如一个近地卫星（离地高度忽略，运动半径等于地球半径R）的运行周期是T。有:，解得地球质量为___________;由于地球的体积为可以计算地球的密度为:______________.
2．发现未知天体等：
问题的发现：天文学家在用牛顿的引力理论分析天王星运动时，发现用万有引力定律计算出来的天王星的轨道与实际观测到的结果不相符，发生了偏离。
两种观点：一是万有引力定律不准确；二是万有引力定律没有问题，只是天王星轨道外有未知的行星吸引天王星，使其轨道发生偏离。
亚当斯和勒维耶的计算及预言：亚当斯和勒维耶相信未知行星的存在（即第二种假设）。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。
伽勒的发现：1846年，德国科学家伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了海王星。和预言的位置只差1度。在理论指导下进行有目的的观察，用观察到的事实结果验证了万有引力定律的准确性。1930年，汤姆根据洛韦尔对海王星轨道异常的分析，发现了冥王星。未知天体的发现是根据已知天体的轨道偏离，由万有引力定律推测并计算未知天体的轨道并预言它的位置从而发现未知天体。
［范例精析］
例1：地球和月球的中心距离大约是r=4×108m，试估算地球的质量。估算结果要求保留一位有效数字。
解析：月球是绕地球做匀速运动的天体，它运动的向心力由地球对它的引力提供。根据牛顿定律和万有引力定律，可以列式求出地球质量。月球绕地球运动的周期约为27.3天，由于本题是估算，且只要求结果保留一位有效数字，可以取月球周期T=30天。
设地球质量为M，月球质量为m，有
得到地球质量
拓展：本题主要是依据课本计算太阳质量的思路和方法进行计算，从中体会解题思路和方法。由于有关天体的数据计算比较复杂，要注意细心、准确，提高自己的估算能力。
例2：已知地球半径R约为6.4×106m，地球质量M约为6×1024kg，引力常量G为6.67×10-11Nm2/kg2，近地人造地球卫星的周期T近约为85min，估算月球到地心的距离。
解析：本题的研究对象为月球，可以认为它绕地球做匀速圆周运动，圆周运动的向心力由地球对它的引力提供。本题还可以用到一个常识，即月球的周期T为一个月，约为30天。
解法一：对月球，万有引力提供向心力，有
（m为月球质量）
得：
答：月球到地心的距离为4×108m。
解法二：对月球有
设地面上有一物体质量为m’，在不考虑地球自转时有
，得，
代入上式得到
答：月球到地心的距离为4×108m。
解法三：利用开普勒第三定律求解：
得:
=4×108m
答：月球到地心的距离为4×108m。
拓展：本题方法一和方法二，仍然依据“将天体运动看成圆周运动，天体和中心天体间得万有引力提供向心力”的思路解题。方法一利用地球质量和引力常量，方法二运用地球表面物体的重力近似等于引力，作了替换。这种方法常常会被采用。方法三则运用开普勒第三定律解决勒问题。学习中要开阔思路，多练习从不同角度去思考问题。
例3：两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。
解析:双星之间的相互引力提供它们做匀速圆周运动的向心力，由于向心力总指向圆心，所以圆心在两星的连线上，且它们的角速度相同。如图所示，虚线圆是它们的轨道。
设它们的质量分别是m1、m2，两星到圆心的距离分别是L1、L2，做圆周运动的周期为T，根据万有引力提供向心力，有
由于
解得：
拓展：对于这种问题，不仅要明确万有引力提供向心力，还要注意到天体运动的特点和空间位置分布，特别要注意，万有引力中的距离L和两星做圆周运动的半径L1、L2之间的区别。另外要明确两星运动之间的联系，即向心力、周期相同。
1．人造地球卫星A和B,它们的质量之比为mA：mB=1：2,它们的轨道半径之比为2:1,则下面的结论中正确的是（BC）.
A.它们受到地球的引力之比为FA：FB=1：1
B.它们的运行速度大小之比为vA：vB=1：
C.它们的运行周期之比为TA：TB=2：1
D.它们的运行角速度之比为ωA：ωB=3：1
2．离地面高度h处的重力加速度是地球表面重力加速度的1/2，则高度是地球半径的（D）
A. 2倍 B.1/2倍 C. 倍 D.（－1）倍
3．由于地球自转，又由于地球的极半径较短而赤道半径较长，使得在地球表面的同一物体受到的重力（A）
A.在两极较大 B.在赤道较大
C.在两极跟在赤道一样大 D.无法判断
4．为了计算地球的质量必须知道一些数据，下列各组数据加上已知的万有引力常量为G，可以计算地球质量的是（BC）
A．地球绕太阳运行的周期T和地球离太阳中心的距离R
B．月球绕地球运行的周期T和月球离地球中心的距离R
C．人造地球卫星在地面附近运行的速度v和运行周期T
D．地球自转周期T和地球的平均密度ρ
5．一艘宇宙飞船在一个星球表面附近作圆形轨道环绕飞行，宇航员要估测该星球的密度，只需要（C）
A.测定飞船的环绕半径
B.测定行星的质量
C.测定飞船的环绕周期
D.测定飞船的环绕速度
6．在绕地球圆形轨道上运行的卫星里，下列可能产生的现象是（D）
A.在任何物体轻轻放手后，就地停着不动，不需要支承
B.物体抛出后，将在封闭卫星内壁碰撞而往返运动
C.触动一下单摆的摆球，它将绕悬点做匀速圆周运动
D.摩擦力消失
7．对某行星的一颗卫星进行观测，已知它运行的轨迹是半径为r的圆周，周期为T.则该行星质量为______________；若测得行星的半径为卫星轨道半径的1/4，则此行星表面重力加速度为______________。
8．已知月球绕地球运行的轨道半径是地球半径的60倍，求月球环绕地球运行的速度.已知第一宇宙速度为7.9km/s.
1.0km/s
9．太阳对木星的引力是4.17×1023N，它们之间的距离是7.8×1011m，已知木星质量约为2×1027kg，求太阳的质量.
1.9×1030kg
10．已知太阳光照射到地球历时8分20秒，万有引力恒量为6.67×10-11Nm2/kg2.试估算太阳质量(保留一位有效数字).
2.0×1030kg
11．在天文学中，把两颗相距很近的恒星叫双星，这两颗星必须以一定的速度绕某一中心转动，才不至于被万有引力吸引到一起。已知两星的质量分别为m1和m2，距离为L，求两恒星转动中心的位置。
离m1距离
12．某一行星上一昼夜为T＝6h.若弹簧秤在其赤道上比在两极处读数小了10%，试计算此行星的平均密度ρ.万有引力恒量G＝6.67×10-11N·m2/kg2.
3×103kg/m3
6.4 万有引力理论的成就（同步测试）
1、已知万有引力常量和下列各组数据，能计算出地球质量的是( )
A.月球绕地球运行的周期及月球距地球的距离
B.地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离
C.人造卫星在地面附近运行的速度和运行周期
D.若不考虑地球自转，已知地球的半径及重力加速度
2、若知道太阳的某一颗行星绕太阳运转的轨道半径为，周期为，万有引力常量，则可求得（ ）
A.该行星的质量 B.太阳的质量
C.该行星的密度 D.太阳的平均密度
3、若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，已知其周期为，引力常量为，那么该行星的平均密度为（ ）
A. B. C. D.
4、一颗质量为的卫星绕质量为的行星做匀速圆周运动，则卫星的周期（ ）
A.与卫星的质量无关 B.与卫星的运行速度成正比
C.与行星质量的平方根成正比 D.与卫星轨道半径的次方有关
5、绕地球做匀速圆周运动的宇宙飞船中有一质量为10千克的物体挂在弹簧秤上，这时弹簧秤的示数（ ）
A.等于98N B.小于98N C.大于98N D.等于0
6、设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/g0为( )
Ａ．1 Ｂ．1/9 Ｃ．1/4 Ｄ．1/16
7、物体在月球表面的重力加速度是在地球表面的重力加速度的1/6，这说明了( )
A．地球的半径是月球半径的6倍
B．地球的质量是月球质量的6倍
C．月球吸引地球的力是地球吸引月球的力的1/6
D．物体在月球表面的重力是其在地球表面的重力的1/6
8、假设火星和地球都是球体，火星质量M火和地球质量M地之比为M火/M地＝p，火星半径R火和地球半径R地之比为R火/R地＝q，那么火星表面处的重力加速度g火和地球表面处的重力加速度g地之比g火/g地等于( )
A．p/q2 B．pq2 C．p/q D．pq?
9、设在地球上和在x天体上，以相同的初速度竖直上抛一物体，物体上升的最大高度比为K(均不计阻力)，且已知地球和x天体的半径比也为K，则地球质量与x天体的质量比为( )
A．1 B．K C．K2 D．1/K
10、太阳光到达地球需要的时间为500s，地球绕太阳运行一周需要的时间为365天，试估算太阳的质量（取一位有效数字）。
11、两个靠得很近的天体，离其它天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示。已知双星的质量为和，它们之间的距离为。求双星运行轨道半径和，以及运行的周期。
12、假如地球自转速度达到使赤道上的物体“飘”起来(即完全失重)，那么地球上一天等于多少小时？(地球半径取6.4×106 m)
参考答案
1、【答案】:ACD
2、【答案】:B
3、【答案】:D
4、【答案】:AD
5、【答案】:D
【解析】：完全失重
6、【答案】:D
【解析】：
7、【答案】:D
8、【答案】:A
【解析】：
9、【答案】:B
【解析】：mg＝G，g＝GH＝，g＝
两式联立求解得：M∶M′＝K∶1
答案：B
10、【答案】:
【解析】：先求出地日间距离为,再用公式求解。
11、【答案】: ,
【解析】：由万有引力定律和向心力公式来求即可．m1、m2做匀速圆周运动的半径分别为R1、R2，它们的向心力是由它们之间的万有引力提供，所以
G＝m1R1 ①
G＝m2R2 ②
R1+R2＝L ③
由①②③得：
，得：R1＝L
代入①式
T2＝
所以：
12、【答案】:1.4h
【解析】：由万有引力提供向心力，则
G＝mg＝m??2R＝m·R
所以T＝2??＝2??
＝2?? s
＝16??×102 s＝h＝1.396 h＝1.4 h
答案：1.4 h
课件21张PPT。第六章 万有引力与航天
6.4 万有引力理论的成就
学习目标 1、了解万有引力定律在天文学上的应用 2、会用万有引力定律计算天体的质量
和密度 3、掌握综合运用万有引力定律和圆周
运动学知识分析具体问题的方法 秤量地球的重量 1、卡文迪许为什么说自己的实验是“称
量地球的重量（质量）”？请你解释
一下原因。 不考虑地球自转的影响 M是地球质量，r是物体距地心的距离，
即地球半径R 重力加速度g和地球半径R在卡文迪许之
前就知道了，一旦测得引力常量G，则
可以算出地球质量M。 例1、设地面附近的重力加速度g=9.8m/s2，
地球半径R =6.4×106m，引力常量
G=6.67×10-11 Nm2/kg2，试估算地
球的质量。 计算天体的质量 月球绕地球做匀速圆周运动 需要条件：月球线速度v；
月球轨道半径r。 需要条件：月球角速度ω；
月球轨道半径r 需要条件：月球公转周期T；
月球轨道半径r 注意 1、上面三式中，因为线速度与角速度实际操作中
不好测量，周期好测量，所以我们用得最多的
公式将会是第三个 2、在处理这部分知识时，大家头脑一定要清醒，
左边中向心力公式，向心力应用的对象是做圆
周运动的物体，对地月系统来说就是月球。所
以左边公式中的m是月球质量、T是月球做圆周
运动的周期即公转周期、r是月球做圆周运动的
半径即地心到月心的距离。右边是万有引力公
式，m是月球质量M则是中心天体即地球的质量、
r是两球心距离即地心到月心的距离。 计算天体的质量 地球绕太阳做匀速圆周运动 需要条件：地球线速度v；
地球轨道半径r。 需要条件：地球角速度ω；
地球轨道半径r 需要条件：地球公转周期T；
地球轨道半径r 例2、回答下面3个小问题。
①如果以水星绕太阳做匀速圆周运
动为研究对象，需要知道哪些量
才能求得太阳的质量？ 需要知道水星做匀速圆周运动的公转
周期T及公转半径 r②水星和地球绕太阳做圆周运动的公转周
期T是不一样的，公转半径也是不一样的，
那用公式 求解出来的太阳的质量会是一样的吗？ 是一样的，根据开普勒第三定律，对于同
一中心天体，所有环绕天体的值是有 一样的。所以③你现在能证明开普勒第三定律中的k与中心天体有关吗？ 牢记 计算的是中心天体的质量，不能计算
环绕天体的质量。 归纳总结 （1）对于有行星（或卫星）的天体，可
把行星（或卫星）绕中心天体的运
动近似看做匀速圆周运动，其所需
的向心力由中心天体对其的万有引
力提供的。 （2）对于没有行星（或卫星）的天体，
或虽有行星（或卫星），但不知
道其运行的有关物理量的情况下，
可以忽略天体自转的影响，根据
万有引力近似等于重力的关系列
式，计算天体的质量。 例3、宇航员站在一个星球表面上的某高
处h自由释放一小球，经过时间t落
地，该星球的半径为R，你能求解
出该星球的质量吗？ 牢记 不同星球表面的力学规律相同，只是重力
加速度g不同，在解决其他星球表面上的
力学问题时，若要用到重力加速度应该是
该星球的重力加速度，如：竖直上抛运动、
平抛运动、竖直平面内的圆周运动，都要
用该星球的重力加速度。 请阅读课本“发现未知天体”，回到如下问题：问题1：笔尖下发现的行星是哪一颗行星？
问题2：人们用类似的方法又发现了哪颗星？发现未知天体背景：
1781年由英国物理学家威廉．赫歇
尔发现了天王星，但人们观测到的天王星
的运行轨迹与万有引力定律推测的结果
有一些误差…… 发现未知天体海王星的轨道由英
国的剑桥大学的学
生亚当斯和法国年
轻的天文爱好者勒
维耶各自独立计算
出来。1846年9月
23日晚，由德国的
伽勒在勒维耶预言
的位置附近发现了
这颗行星,人们称其
为“笔尖下发现的
行星” 。发现未知天体 当时有两个青年——英国的亚当
斯和法国的勒威耶在互不知晓的情况
下分别进行了整整两年的工作。1845
年亚当斯先算出结果，但格林尼治天
文台却把他的论文束之高阁。1846年
9月18日，勒威耶把结果寄到了柏林，
却受到了重视。柏林天文台的伽勒于
1846年9月23日晚就进行了搜索，并
且在离勒威耶预报位置不远的地方发
现了这颗新行星。 海王星的发现使哥
白尼学说和牛顿力学得到了最好的证明。科学史上的一段佳话 发现未知天体 海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理
论计算的不一致．于是几位学者用亚当斯和勒维列
的方法预言另一颗新星的存在．
在预言提出之后，1930年3月14日，汤博发现
了这颗新星——冥王星．发现未知天体谢谢！
该课件只是用于课堂列出重要知识点及
视频展示，需要结合配套教案使用，例
题都在学案上！课件25张PPT。4．万有引力理论的成就1．若不考虑地球__________的影响，地面上的物体所受的________等于地球对它的万有引力．自转重力2．在地面或地面附近的物体到地心的距离，可以近似看做______________．地球的半径3．两个物体间的万有引力大小为 F，若两物体间的距离增大为原来的 2 倍，则此时两物体间的万有引力的大小为()A．2F 1
B. F
2C．4F 1
D. F
4D4．下列关于万有引力定律的说法，正确的是()A．天体间的万有引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离成反比B B．任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物
体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比
C．万有引力与质量、距离和万有引力常量都成正比
D．万有引力定律对质量大的物体适用，对质量小的物体
不适用知识点计算天体的质量和密度 2012 年8 月，美国国家航空航天局宣布在距地球4 900 光
年处发现了一个新的类太阳系，并在其网站上展示了模拟图片
和视频．该类太阳系的核心为两颗恒星，两者互为中心转动，
天文学上称作双子星体系．据报道，其中一颗恒星的大小与太
阳相近，亮度为太阳的 84%；另一颗则尺寸约为太阳的三分之
一，但亮度还不足太阳的 1%. 该发现最令人兴奋的还在于它同时拥有两个环绕行星，它
们围绕着共同的“动态目标”进行公转．这表明能够超过一颗
行星在双子星强大的引力下形成天体系统，反映出天体系统存
在的多样性． 科学家介绍说，内层的行星叫做开普勒－47b，公转周期不
超过 50 天，不过可能由于其过热的大气层内有甲烷燃烧而导致
覆盖着一层浓雾，无法直接观测到；外层的行星叫做开普勒－
47c，公转周期约 303 天，轨道占据在所谓的适居带上，使得该
行星表面温度适宜，能够稳定存有液态水，存在孕育生命的条件．图 6－4－1讨论：(1)在该类太阳系中，简述星体的运动情况． 提示：两颗恒星绕着它们共同的质量中心转动，且周期、
角速度一样；两颗行星各自在离两颗恒星较远的不同轨道上，
环绕着两颗恒星进行公转．(2)结合万有引力定律，分析星体的运动情况．1．基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成匀速圆周运动，其所需的向心力由万有引力提供．
2．解决天体做圆周运动问题的两条思路：(1)在地面附近，万有引力近似等于物体的重力，有 F引＝ 【例 1】为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量
M.已知地球的半径 R＝6.4×106 m，地球的质量 m＝6×1024 kg，
日地中心的距离 r＝1.5×1011 m，地球表面的重力加速度 g＝10
m/s2，1 年约为 3.2×107 s，试估算目前太阳的质量 M.(保留一位
有效数字，引力常数未知) 解：设 T 为地球绕太阳运动的周期，则由万有引力定律和
动力学知识得【触类旁通】 1．某行星绕太阳的运动可近似看做是匀速圆周运动，已知
行星运动的轨道半径为 R，周期为 T，引力常数为 G，则该行星
的线速度为多大？太阳的质量为多少？ 【例 2】假设在半径为 R 的某天体上发射一颗该天体的卫
星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为 T1，已知
引力常数为 G，则该天体的密度为多少？若这颗卫星距该天体
表面的高度为 h，测得在该处做匀速圆周运动的周期为 T2，则
该天体的密度又可表示为什么？【触类旁通】
2．“神舟”六号飞船在预定圆轨道上飞行，每绕地球一圈需
要的时间为 90 min，每圈飞行的路程为 L＝4.2×104 km.试根据以
上数据估算地球的质量和密度．(地球的半径 R 约为 6.37×103 km，
引力常量 G为6.67×10－11 N·m2/kg2，结果保留两位有效数字)双星问题 天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗
恒星称为双星，双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中
两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量． 【例 3】已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某
一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为 T，两颗恒星之间的
距离为 r，试计算这个双星系统的总质量．(引力常量为 G)解：设两颗恒星的质量分别为 m1、m2，做圆周运动的半径分别为 r1、r2，角速度分别是ω1、ω2.根据题意有ω1＝ω2①r1＋r2＝r②根据万有引力定律和牛顿运动定律，有【触类旁通】 3．土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动
可视为圆周运动．其中有两个岩石颗粒 A 和 B 与土星中心的距
离分别为 rA＝8.0×104 km 和 rB＝1.2×105 km.忽略所有岩石颗
粒间的相互作用．求：(结果可用根式表示)(1)岩石颗粒 A 和 B 的线速度之比；
(2)岩石颗粒 A 和 B 的周期之比． 解：(1)设土星的质量为 M0，岩石颗粒的质量为 m，岩石颗
粒距土星中心的距离为 r，线速度为 v，根据牛顿第二定律和万自转的影响，则星球对物体的万有引力等于物体的重力，有G——“黄金代换”的理解与运用若已知星球表面的重力加速度 g 和星球的半径 R，忽略星球MmR2＝mg，所以 GM＝gR2，此式是在有关计算中常用到的一个替换关
系，称为“黄金代换”． (1)若物体绕星球表面(忽略物体离星球表面的高度)做匀速圆
周运动，则轨道半径近似地认为是星球半径 R，重力加速度为星
球表面的重力加速度 g； (2)若物体在离星球表面 h 处(h 不能忽略)绕星球做匀速圆周运
动，则轨道半径为 r＝R＋h，高度为 R＋h 处的重力加速度为 g′.【触类旁通】
4．一人造地球卫星距地球表面的高度是地球半径的 15 倍，
地球半径 R＝6 400 km，试估算此卫星的线速度．
