必修第二册6.1平面向量的概念 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 6.1 平面向量的概念 同步练习
一、单选题
1．下列有关四边形的形状判断错误的是（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为梯形
C．若，且，则四边形为菱形
D．若，且，则四边形为正方形
2．下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量是相等向量
B．与实数类似，对于两个向量有，，三种关系
C．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合
3．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；
②若都是单位向量，则；
③向量与相等．
则所有正确命题的序号是（ ）
A．① B．③
C．①③ D．①②
4．下列说法中正确的个数是（ ）
①单位向量都平行；②若两个单位向量共线，则这两个向量相等；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④有相同起点的两个非零向量不平行；
⑤方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．
A．2 B．3 C．4 D．5
5．下图中与向量相等的向量是（ ）
A．，，， B．， C． D．
6．给出下列量：①角度；②温度；③海拔；④弹力；⑤风速；⑥加速度．
其中是向量的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．若为任一非零向量，的模为1，下列各式：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①④ B．③ C．①②③ D．②③
8．对于单位向量、，下列一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
10．在等式①; ②；③；④；⑤若，则；正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．已知向量，，则与共线的单位向量为
A． B．
C．或 D．或
12．如图，在矩形中，可以用同一条有向线段表示的向量是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
二、填空题
13．下列关于向量的命题，序号正确的是_____.
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量，若，则；
③对于非零向量，若，则；
④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合.
14．设，，则的最大值与最小值分别为_____________.
15．向量___________.
16．如图，在中，点D E F分别是边BC CA AB的中点，在以A B C D E F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是___________.
17．已知在边长为2的菱形中．．则________.
三、解答题
18．如图，已知 是单位向量，求出图中向量 的模.
19．如图所示，点D，E，F分别是直角三角形三边的中点，分别写出图中与，相等的向量以及与的模相等的向量.
20．已知中，延长到C，使是将分成的一个分点，和交于E，设
（1）用表示向量．
（2）若，求实数的值．
21．下列量中哪些是向量？
悬挂物受到的拉力，压强，摩擦力，频率，加速度.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
根据向量共线、相等的知识确定正确答案.
【详解】
A选项，，则，所以四边形为平行四边形，A正确.
B选项，，则，所以四边形为梯形，B正确.
C选项，，则，四边形是平行四边形；由于，所以四边形是菱形，C正确.
D选项，，则，所以四边形为平行四边形；由于，所以四边形为菱形，D选项错误.
故选：D
2．D
由相等向量和平行向量的定义进行判断
【详解】
解：对于A，向量与向量是相反向量，所以A错误；
对于B，因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B错误；
对于C，当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以C错误；
对于D，由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，有向量所在的直线可以平行，也可以重合，所以D正确，
故选：D
3．A
根据零向量和单位向量的概念可以判定①②，注意相等向量不仅要长度相等，方向要相同，可否定③.
【详解】
根据零向量的定义可知①正确；
根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；
向与互为相反向量，故③错误．
故选：.
本题考查零向量和单位向量的概念，相等向量的概念，属概念辨析，正确掌握概念即可.
4．A
根据向量的定义判断．
【详解】
①错误，因为单位向量的方向可以既不相同又不相反；
②错误，因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反；
③正确，因为零向量与任意向量共线，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④错误，有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量；
⑤正确，方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量．
正确的有两个．
故选：A．
5．D
由相等向量的定义求解即可
【详解】
由相等向量的定义可知：
两个向量的长度要相等，方向要相同，
结合图形可知满足条件，
故选：D
6．B
根据题意，由向量的定义分析给出的量，即可得答案．
【详解】
根据题意，在①角度、②温度、③海拔、④弹力、⑤风速、⑥加速度中，
是向量的有④弹力、⑤风速、⑥加速度，有个，
故选：B．
7．B
根据向量的定义依次判断即可.
【详解】
①中，的大小不能确定，故①错误；
②中，两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向，故②错误；
③中，为任一非零向量，则，故③正确；
④中，由题，故④错误.
故选：B．
8．D
根据单位向量的定义可知，，这样即可判断出答案．
【详解】
解：都是单位向量，方向不一定相同，故A错误；两个向量夹角不确定，故B错误；只有两个向量同向时，C才正确；
∵，故一定成立，故D正确．
故选：D．
本题考查了单位向量的定义，属于基础题．
9．C
根据向量的加减运算法则可得，进而可得结果.
【详解】
依题意，即，
故选：C.
本题主要考查了向量的加减运算，属于基础题.
10．C
由零向量、向量数乘、点乘等概念和性质，即可判断正误，进而确定答案.
【详解】
零向量与任何向量的数量积都为0，错误；
0乘以任何向量都为零向量，正确；
向量的加减、数乘满足结合律，而向量点乘不满足结合律，错误；
向量模的平方等于向量的平方，正确；
不一定有，故错误；
故选：C
本题考核查了向量，利用向量相关概念、性质判断正误，属于基础题.
11．D
根据题意得，设与共线的单位向量为，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出即可得出答案.
【详解】
因为，，则，
所以，
设与共线的单位向量为，
则，
解得 或
所以与共线的单位向量为或.
故选：D.
本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.
12．B
根据相等向量的概念，得到和是相等向量，即可求解.
【详解】
对于A中，向量和的方向相反，但长度相等，所以和不是相等向量；
对于B中，向量和的方向相同且长度相等，所以和是相等向量，
对于C中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量；
对于D中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量；
所以只有向量和可以用同一条有向线段表示.
故选：B.
13．①③
根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③.
【详解】
因为零向量与任一向量平行，所以①正确；
对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，
故不一定等于，故②错误；
对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确；
对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合.
故选：①③
14．20；4
分别讨论,共线同向,,共线反向,,不共线的情况,进而求解即可
【详解】
当,共线同向时,；
当,共线反向时,；
当,不共线时,,即,
所以最大值为20,最小值为4,
故答案为:20；4
本题考查向量的加法的模的范围,考查分类讨论思想
15．-
根据相等向量和相反向量的概念即可写出答案.
【详解】
和是相反向量，故填-
故答案为：-
16．5
由向量的概念，结合几何图形写出与模相等的向量，即知个数.
【详解】
由图知：与向量的模相等的向量有，
∴共有5个.
故答案为：5.
17．
根据条件解直角三角形即可.
【详解】
解:易知且，
设与交于点D，
则．
在中，
易得，即，
.
故答案为：.
本题考核向量在几何中的应用，是基础题.
18．，，，
根据图形及勾股定理求出线段的长度，即得向量的模.
【详解】
解：如图，∵，∴，，，.
本题考查向量的模，属于基础题.
19．；；与的模相等的向量有，，，.
根据相等向量的定义和模相等的概念，进而结合图形得到答案.
【详解】
如图所示，点D，E，F分别是直角三角形三边的中点，所以，
根据中位线定理可知，，，
于是，；；
与的模相等的向量有，，，.
20．（1）；；（2）.
（1）根据A是BC的中点，是将分成的一个分点，得到，然后利用平面向量的线性运算求解；
（2）根据，利用线性运算得到，然后根据求解.
【详解】
（1）由题意知：A是BC的中点，且，
所以，
；
（2）因为，且，
所以，
解得．
21．悬挂物受到的拉力，摩擦力，加速度是向量.
根据向量的定义直接求解即可.
【详解】
因为向量既有大小又有方向，所以悬挂物受到的拉力，摩擦力，加速度是向量.
本题考查了向量的定义，属于基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页