必修第二册6.4平面向量的应用 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 6.4 平面向量的应用
一、单选题
1．在中，若，，，则∠B=（ ）
A． B．
C． D．
2．在中，，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
3．如图，在ABC中，∠BAC=，点D在线段BC上，AD⊥AC，，则sinC=（ ）
A． B． C． D．
4．窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆O是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P是圆O内部一点，若，且，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
5．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于
A． B． C．－1 D．－1
6．在中，角A，B，C满足，则角C=（ ）
A． B． C． D．
7．的内角，，所对的边分别是，，，已知，，，则
A． B．5 C． D．
8．已知锐角三角形的边长分别为1，3，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．在锐角中，，，的面积为4，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．设锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．人们通常把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，因为它的底边和腰长的比值等于黄金分割比，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，三角形ABC就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得=（ ）
A． B． C． D．
12．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（ ）
A．越小越费力，越大越省力
B．的范围为
C．当时，
D．当时，
二、填空题
13．如图所示，无弹性细绳，的一端分别固定在，处，同样的细绳下端系着一个秤盘，且使得，则，，三根细绳受力最大的是________．
14．在△ABC中，若则的最大值为___________
15．有一东西方向的河流（假设河流宽度一样），一艘快艇从河南岸出发渡河，快艇航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向正东，经过到达北岸，现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，从北岸出发返回南岸的时间是__________．
16．已知向量，，满足，，，则的最大值是______________.
三、解答题
17．在中，角、、所对的边分别为、、，已知．
（1）求角的大小；
（2）已知，，设为边上一点，且为角的平分线，求的面积．
18．的内角，，的对边分别为，，.已知，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
19．在锐角中，已知，，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求面积的最大值．
20．在中，、、的对边分别为、、，其中边最长，并且．
(1)求证：是直角三角形；
(2)当时，求面积的最大值．
21．在中，，，点在上，.
(1)若为中线，求的面积；
(2)若平分，求的长.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
利用正弦定理计算可得；
【详解】
解：在中，，，，由正弦定理可得，即，解得，因为，所以或，又，所以，所以；
故选：C
2．C
由向量数量积的定义式可得，即可判断.
【详解】
∵，∴，
又∵为三角形内角，∴是钝角，即是钝角三角形.
故选：C.
3．B
在中利用正弦定理得结合平方关系求解即可
【详解】
在中，，解得又 所以
故选：B.
4．A
利用向量的线性运算，结合数量积，可求得，确定其取值范围，再根据平方后的式子，即可求得答案.
【详解】
因为，所以，
所以，即，则．
因为点P是圆O内部一点，所以，所以，
则，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是3,
故选：A.
5．C
在ABC中，由正弦定理得AC＝100，再在ADC中，由正弦定理得解.
【详解】
在ABC中，由正弦定理得，
∴AC＝100．
在ADC中，，
∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝.
故选：C
结论点睛：解一个三角形需要已知三个几何元素（边和角），且至少有一个为边长，对于未知的几何元素，放到其它三角形中求解.
6．C
先由正弦定理化角为边，再由余弦定理可求解.
【详解】
，由正弦定理可得，
设，
由余弦定理可得，
，.
故选：C.
7．A
求出，利用余弦定理，解方程即可求出结果.
【详解】
因为，
所以，
又因为，，
所以，
即，
即，
解得.
故选：A.
本题主要考查三角函数的诱导公式，余弦定理，属于较易题.
8．B
由题设可以得到边长为3和边长为的边所对的角必须为锐角，从而可得关于的不等式组，其解即可所求的范围.
【详解】
由题意知，边长为所对的角不是最大角，则边长为或所对的角为最大角，
只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，
于此得到，
由于，解得，
故选：B.
本题考查锐角三角形中各边满足的条件，一般地，中，如果为锐角，则，本题属于基础题.
9．A
利用三角形的面积公式求解即可.
【详解】
因为
所以
因为是锐角三角形，所以
故选：A
10．C
根据锐角三角形以及可得，可得，根据正弦定理得，进一步可得b的取值范围.
【详解】
在锐角三角形中， ，即，且，则，
即，综上，则，
因为，，
所以由正弦定理得，得，
因为，
所以，
所以，
所以b的取值范围为.
故选：C.
本题了锐角三角形的概念，考查了正弦定理，考查了余弦函数的单调性，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题.
11．A
由正弦定理得到，结合倍角公式，求得，再利用诱导公式，即可求解.
【详解】
在中，，
由正弦定理得，即，
由倍角公式得，，
解得，
，
故选：A
12．D
根据为定值，求出，再对选项进行分析、判断即可.
【详解】
解：对A，为定值，
，
解得：；
由题意知：时，单调递减，
单调递增，
即越大越费力，越小越省力，故A错误；
对B，当时，不满足题意，故B错误；
对C，当时，，
，故C错误；
对D，当时，，
，故D正确.
故选：D.
13．
设，，三根细绳对所施力分别为，，，可知，在平行四边形中比较向量模的大小即可求解.
【详解】
受力最大的是，
理由如下：
设，，三根细绳对所施力分别为，，，
则，
设与的合力为，则，
如图：在平行四边形中，因为，，
所以，，
即，，
所以绳受力最大.
故答案为：.
14．
由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，可得sincos或，进而得出角的关系，再由正弦定理化边为角借助正弦函数的性质即可作答.
【详解】
△ABC中，由正弦定理得，即，
化简可得sincos或，因0于是得或A=B，而A=B时，a=b与矛盾，从而有A+B，即C，
因，由正弦定理，
则==，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：
15．
根据题意画出图形，结合图形求出南北两岸的距离，再计算快艇从北岸返回南岸的时间．
【详解】
解：如图所示，
由题意知，，，所以，
所以南北两岸的距离为；
现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，
所以，
即从北岸出发返回南岸的时间是．
故答案为：．
16．
设，，，根据已知条件可得，，整理可得，求得的范围即可求解.
【详解】
设，，，，，，
则，，
整理得：，所以，
则，解得：，
所以，
故答案为：.
17．（1）；（2）.
（1）由正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用余弦定理可求得的值，利用角平分线的性质推导得出，由此可得出，结合三角形的面积公式即可得解.
【详解】
（1）由正弦定理得．
因为，则，所以，所以．
因为，所以；
（2）在中，由余弦定理得，即，
，解得，
由角平分线性质可得，所以．
过点作垂直于点，
则，．
所以．
18．（1）；（2）.
由正弦定理求出，由余弦定理列出关于的方程，然后求出．
【详解】
解：（1）因为，，.
由正弦定理，可得，所以；
（2）由余弦定理，，
，（舍），所以.
本题考查正弦定理和余弦定理，在已知两边和一边对角时可用余弦定理列方程求出第三边．
19．(1)
(2)
（1）根据向量平行，结合二倍角正弦公式、降幂公式，化简整理，结合角B的范围，可求得答案；
（2）根据（1）得角B，代入余弦定理，结合基本不等式，可得最大值，代入面积公式，即可得答案.
(1)
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
因为锐角三角形，，
所以，
所以，.
(2)
设角A、B、C所对的边为a,b,c，则，
由余弦定理得，
所以，即，
又，
所以，解得，
当且仅当时等号成立，
所以面积的最大值.
20．(1)证明见解析
(2)
（1）利用同角关系，将已知条件变形，配合诱导公式，可以证明结论.（2）利用勾股定理知，利用基本不等式可得面积最大值
(1)
证明：由，得，即，
又边最长，则、均为锐角，所以，
解得，即，所以为直角三角形．
(2)
因为，由勾股定理,因为，所以.
记面积为,则，由得，
当且仅当时等号成立．
所以当时，面积取到最大值．
21．(1)
(2)
（1）利用余弦定理可求得，进而可得出，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）利用正弦定理可求得，进而可求出，可知为等腰三角形，再利用余弦定理可求得.
(1)
解：由余弦定理得，
，解得（负值舍）.
所以，，
故.
(2)
解：由正弦定理得，即，解得.
又，则，，.
又平分，则.
所以，，则，故.
由余弦定理得.
因此，.
答案第1页，共2页
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