必修第二册7.1复数的概念 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 7.1 复数的概念 同步练习
一、单选题
1．在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”.类似地，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个复数，，当且仅当“”或“且”时，.按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：
①若，则；
②若，，则；
③若，则对于任意，；
④对于复数，若，则.
其中所有真命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．设i虚数单位，复数，则（　　）
A． B．5 C．1 D．2
3．是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为（ ）
A． B．2 C． D．
4．设复数：，其中为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
5．复数，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
6．“虚数”这个词是17世纪著名数学家 哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现，最简单的二次方程在实数范围内没有解.已知复数满足，则（ ）
A．4 B．2 C． D．1
7．设，且，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
8．若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
9．若复数，则z的虚部是（ ）
A． B． C．2 D．
10．设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B． C． D．
11．在复平面内，为原点，向量对应的复数为，若点关于实轴的对称点为，则向量对应的复数为（　　）
A． B．
C． D．
12．已知复数为纯虚数那么（ ）
A． B．
C． D．
13．下列命题中，正确的是（ ）
A．的虚部是 B．是纯虚数
C． D．
14．已知，，若 (为虚数单位)，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
15．已知复数，，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
16．若复数（）是纯虚数，则______
17．若复数，则实数的值为________.
18．已知a为实数，若复数为纯虚数，则________．
三、解答题
19．已知复数在复平面上所对应的点在第三象限，求实数m的取值范围．
20．实数x分别取什么值时，复数对应的点：
（1）第三象限；
（2）第四象限；
（3）直线上？
21．设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.
（1）求复数；
（2）若为纯虚数，求实数的值.
22．已知复数，当取何实数值时，复数是：
（1）纯虚数；
（2）.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
取特殊值可判断①、④的正误；利用“序”的定义可判断②、③的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于复数，，显然满足，但，，不满足，故①为假命题；
设，，，
由，得“”或“且”，
由，得“”或“且”，
所以， “”或“且”，即，故②为真命题；
设，，，
由可得“”或“且”，
显然有“”或“且”，从而，
故③为真命题；
对于复数，，显然满足，
令，则，，
显然不满足，故④为假命题.
故选：B.
本题考查复数的基本概念，理解复数集上的定义“序”及其应用是关键，也是难点，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.
2．A
利用模的定义求解即可
【详解】
故选：A
3．B
先利用复数的乘法化简，再利用纯虚数的定义列出等式，即得解
【详解】
由题意，
若为纯虚数，则
故选：B
4．A
根据虚数单位的周期和复数的除法运算即可得到答案.
【详解】
因为
所以.
故选：A.
5．C
本题可根据虚部的定义得出结果.
【详解】
因为复数，
所以的虚部是，
故选：C.
6．B
利用复数模的运算性质求解即可．
【详解】
解：因为，
所以，
故，
所以．
故选：．
7．C
由复数模的几何意义求解．
【详解】
记，，，对应的点为，
则满足的点在线段的垂直平分线上，易知其方程为，即，
表示点到点的距离，由点到直线距离公式得．
故选：C．
8．D
先根据分析出复数对应的点在复平面内的轨迹，然后将的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解.
【详解】
因为表示以点为圆心，半径的圆及其内部，
又表示复平面内的点到的距离，据此作出如下示意图：
所以，
故选：D.
结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：
（1）：表示以为圆心，半径为的圆；
（2）且：表示以为端点的线段；
（3）且：表示以为焦点的椭圆；
（4）且：表示以为焦点的双曲线.
9．A
利用，化简复数z，再求复数z的虚部.
【详解】
因为，所以，，
所以复数z的虚部是.
故选：A.
10．C
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】
则．故选C．
本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．
11．D
根据复数的几何意义，由题中条件，先得出点，推出点的坐标，进而可得出结果.
【详解】
由题意可知，点的坐标为，则点的坐标为，
故向量对应的复数为.
故选：D.
12．A
根据纯虚数的概念即可得出选项.
【详解】
复数为纯虚数，
则.
故选：A
13．D
根据复数的基本概念判断选项A、B；
根据复数的几何意义求出复数的模，进而判断选项C；
根据复数的乘方计算即可判断选项D.
【详解】
A：复数的虚部为4，故A错误；
B：复数不是纯虚数，故B错误；
C：，故C错误；
D：，故D正确.
故选：D
14．B
依题意复数的虚部为零，实部大于2，即可得到不等式，解得即可；
【详解】
解：因为，， ，所以，即，解得或
故选：B
15．A
根据纯虚数的定义求出的值，再由充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】
若复数为纯虚数，
则，解得：或，
所以由可得出为纯虚数，
但由为纯虚数，得不出，
所以“”是“为纯虚数”的充分不必要条件，
故选：A.
16．-1
复数为纯虚数的条件是实部为0，虚部不为0，列关系式求解即可.
【详解】
解：复数（）是纯虚数，则，所以.
故答案为：-1
17．3
由题意知为实数，实部大于或等于，虚部等于，即可求解.
【详解】
因为复数不能比较大小，所以为实数，
可得解得
所以实数的值为，
故答案为：
18．
根据纯虚数的定义列出方程，解得，即可得出答案.
【详解】
解：若复数是纯虚数，
则，解得.
故答案为：.
19．
由复数的实部和虚部均小于0可得．
【详解】
由题意，解得．
20．（1）.（2）.（3）
写出复数对应点的坐标，
（1）由横纵坐标均小于0可得；
（2）横坐标为正，纵坐标为负可得；
（3）把点的坐标代入直线方程可得．
【详解】
因为x是实数，所以，也是实数.∴，
（1）当实数x满足
即时，点Z在第三象限.
（2）当实数x满足
即时，点Z在第四象限.
（3）当实数x满足，
即时，点Z在直线上.
本题考查复数的几何意义，写出复数对应点的坐标是解题关键．
21．（1）；（2）.
（1）设，且，由条件可得①，②．由①②联立的方程组得、的值，即可得到的值；
（2）根据实部为0，虚部不为0即可求解．
【详解】
解：（1）设，，.
由题意：.①
，
得，
，②
①②联立，解得，
得.
（2）由（1）可得
所以
由题意可知解得且且
所以
本题主要考查复数的基本概念，复数的几何意义，属于基础题．
22．（1）；（2）.
（1）利用，即可求解.
（2）利用复数相等的条件实部与虚部分别相等即可求解.
【详解】
（1）若复数是纯虚数，则，解得，所以
（2）利用复数相等的条件实部与虚部分别相等可得，
解得，即
答案第1页，共2页
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