必修第二册8.3简单几何体的表面积与体积 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.3 简单几何体的表面积与体积
一、单选题
1．如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（ ）
A．圆锥的母线长为18
B．圆锥的表面积为27π
C．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为60°
D．圆锥的体积为
2．已知菱形的边长为，，将沿折起，使A，C两点的距离为，则所得三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．正四棱台上、下底面边长分别为，，侧棱长，则棱台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
4．扇子，作为中华民族文化的代表产物，在我国已经有四、五千年的历史了.折扇出现铰晚，因可折叠，方便随身携带，流传最广，经研究发现采用黄金分割方式设计的折扇（将一个圆面按黄金分割比例进行分割后得到的较小扇形）最为美观和实用，已知一把黄金分割扇的半径为，则以此扇面围成的圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．在三棱锥中，，，，M，N，P，Q分别为棱AB，CD，AD，BC的中点，则以下四个命题中真命题的个数为（ ）
①直线MN是线段AB和CD的垂直平分线
②四边形MQNP为正方形
③三棱锥的体积为
④三棱锥外接球的表面积为
A．4 B．3 C．2 D．1
6．正三棱锥底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
7．若圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，且圆锥的母线长为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，且平面，，，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．棱长为4的正方体的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的体积是（不计氟原子的大小）（ ）
A． B． C． D．
12．已知在正四面体ABCD中，E是AD的中点，P是棱AC上的一动点，BP＋PE的最小值为，则该四面体内切球的体积为（ ）
A．π B．π
C．4π D．π
二、填空题
13．若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为__________．
14．棱长为6的正方体内有一个棱长为x的正四面体，正四面体的中心（正四面体的中心就是该四面体外接球的球心）与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则x的最大值为______．
15．某圆台下底半径为2，上底半径为1，母线长为2，则该圆台的表面积为________.
16．在三棱锥中，平面平面，，，，若三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为___________.
17．如图，从长、宽、高分别为的长方体中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥.下列四个结论中，所有正确结论的序号是_____.
①三棱锥的体积为；②三棱锥的每个面都是锐角三角形；③三棱锥中，二面角不会是直二面角；④三棱锥中，三条侧棱与底面所成的角分别记为，则.
三、解答题
18．在三棱台中，，G为的中点，截面将棱台分成上、下两部分，求这两部分体积之比．
19．如图所示，已知平行六面体，E是中点，过的截面把平行六面体分成两个部分，求左右两部分体积之比.
20．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活．蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示．已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米．
（1）求该蒙古包的侧面积；
（2）求该蒙古包的体积．
21．如图，长方体由，，，，过作长方体的截面使它成为正方形.
（1）求三棱柱的外接球的表面积；
（2）求 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
由题意可知，再利用圆锥的表面积公式，侧面积公式及体积公式，即可判断.
【详解】
设圆锥的母线长为，以为圆心，为半径的圆的面积为，
又圆锥的侧面积，
因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，
所以，解得，
所以圆锥的母线长为9，故选项A错误；
圆锥的表面积，故选项B错误；
因为圆锥的底面周长为，
设圆锥的侧面展开图扇形圆心角为，
则，解得，
所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角为120°，故选项C错误；
圆锥的高，
所以圆锥的体积为，故选项D正确．
故选：D．
2．B
先判定所得三棱锥为正四面体，将此正四面体放置在正方体中，使得正方体的面对角线是正四面体的棱，利用正方体的性质求得正方体的边长，进而得到对角线长，由此得到正方体的外接球也就是正四面体的外接球的直径，最后利用球的表面积公式计算得到结果.
【详解】
由已知得为等边三角形，对角线,
将沿折起，使A，C两点的距离为，折起后三棱锥为正四面体，各棱长都是，将此正四面体放置在正方体中，使得正方体的面对角线是正四面体的棱，设正方体的棱长为,则正方体的面对角线为，所以正方体的体对角线为,其中为正方体的外接球半径，由于正方体的外接球就是正四面体ABCD的外接球，∴正四面体ABCD的外接球表面积为,
故选：B.
本题考查几何体的外接球面积问题，对于正四面体，可以放置在正方体中解决，利用正方体的性质以简化计算，拓展：对棱相等的四面体可以放置在长方体中求解，利用长方体的有关性质可以简化计算.
3．D
由棱台的性质和勾股定理求得棱台的斜高，再由棱台的侧面积公式，计算可得所求值．
【详解】
解：设，，，可得正四棱台的斜高为，
所以棱台的侧面积为．
故选：．
4．B
先求出扇形的圆心角大小，进而求出圆锥的底面半径和母线长，最后根据圆锥的体积公式求得答案.
【详解】
根据题意，扇面的圆心角，设圆锥的底面半径为，母线长度为，高为，则，，所以，于是，该圆锥的体积.
故选：B.
5．B
将三棱锥放置在长方体中，得分别是上下底面的中心，可判断①；求出过同一个顶点的三条棱长可得每一个面都为长方形，由三角形中位线定理可得，，与不垂直，可判断②；
由可判断③；由三棱锥的外接球就是长方体的外接球，且长方体的对角线就是外接球的半径，求出可判断④.
【详解】
如图，将三棱锥放置在长方体中，可得分别是上下底面的中心，则，则直线MN是线段AB和CD的垂直平分线，故①正确；
设过同一个顶点的三条棱长分别为，则
，解得，
所以过同一个顶点的三条棱长不相等，每一个面都为长方形，
由三角形中位线定理可得，，
得，，则四边形为平行四边形，又，则四边形为菱形，因为每一个面都为长方形，所以与不垂直，所以四边形不是正方形，故②错误；
三棱锥的体积为，故③正确；
设三棱锥的外接球就是长方体的外接球，且长方体的对角线就是外接球的半径，设为，则，所以经过三棱锥各个顶点的球的表面积为，故④正确.
故选：B.
6．A
根据条件，可计算正三棱锥的斜高，利用侧面积公式计算即可求出.
【详解】
因为底面正三角形中高为，其重心到顶点距离为，且棱锥高，所以利用直角三角形勾股定理可得侧棱长为，斜高为，所以侧面积为.选A.
本题主要考查了正三棱锥的性质，侧面积公式，属于中档题.
7．C
由已知求出圆锥的底面半径，根据侧面积公式可得答案.
【详解】
如图圆锥的轴截面是顶角为，即，，,
所以，所以圆锥的侧面积为.
故选：C.
8．A
根据平面BCD，得到，，再由，，，得到，则三棱锥截取于一个长方体，然后由长方体的外接球即为三棱锥的外接球求解.
【详解】
因为平面BCD，
所以，，
∴，
在中，，
∴，
∴.
如图所示：
三棱锥的外接球即为长方体AGFH-BCED的外接球，
设球O的半径为R，则，
解得，
所以球O的表面积为，
故选：A.
9．C
由正方体的内切球直径为正方体棱长，直接求解.
【详解】
由球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径，
得，，故表面积为，
故选：C.
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
10．B
先分析出三棱锥的外接球就是一个长方体的外接球，直接求出长方体的外接球的半径为R，求出球的表面积.
【详解】
将三棱锥放在一个长方体中，如图示：
则三棱锥的外接球就是一个长方体的外接球，因为，，为直角三角形，所以.
设长方体的外接球的半径为R，则，故.
所以外接球的表面积为.
故选：B.
多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：
(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．
11．B
由已知证得平面，再根据棱锥的体积公式计算可求得答案.
【详解】
解：如图，连接，，，连接．因为，，所以，，所以平面．因为，所以．因为四边形是正方形，所以，则，故该正八面体的体积为．
故选：B.
12．D
首先设正四面体的棱长为，将侧面和沿边展开成平面图形，根据题意得到的最小值为，从而得到，根据等体积转化得到内切球半径，再计算其体积即可.
【详解】
设正四面体的棱长为，将侧面和沿边展开成平面图形，如图所示：
则的最小值为，
解得.
如图所示：为正四面体的高，
，正四面体高.
所以正四面体的体积.
设正四面体内切球的球心为，半径为，如图所示：
则到正四面体四个面的距离相等，都等于，
所以正四面体的体积，解得.
所以内切球的体积.
故选：D
13．
利用圆锥的轴截面是面积为的等边三角形求出圆锥的底面半径和母线长，然后再求圆锥的表面积．
【详解】
设圆锥轴截面正三角形的边长是，
因为正三角形的面积为，
所以，，
所以圆锥的底面半径，
圆锥的母线，
这个圆锥的表面积是：
故答案为：．
14．
正方体的内切球半径为3，正四面体可以在正方体内任意转动，只需该正四面体为球的内接正四面体，进而求解.
【详解】
由题意得，该正四面体在棱长为6的正方体的内切球内，故该四面体内接于球时棱长最大，
因为棱长为6的正方体的内切球半径为
如图，设正四面体，O为底面的中心，连接，则底面，
则可知，正四面体的高，
利用勾股定理可知，解得：
故答案为：
15．
由圆台的表面积公式计算．
【详解】
由题意该圆台的表面积为．
故答案为：．
16．
设的外心为，半径，三棱锥的外接球球心，半径，应用线面垂直的性质及矩形、外接球的性质，结合正弦定理即可求、，由求出，即可求外接球表面积.
【详解】
设的外心为，半径，三棱锥的外接球球心，半径，
过作的平行线，过作的平行线，两条直线交于，
∵面面，面面，，面，
∴平面，又平面，
∴，则四边形为矩形，而，即为中点，即，
在中，由正弦定理得：，所以，
∵，
∴.
故答案为：.
关键点点睛：利用线面垂直、矩形、外接球的性质求点面距，再利用正弦定理求外接圆半径，进而求球体的半径.
17．①②④
三棱锥的体积为长方体体积减去4个三棱锥体积；利用余弦定理判断每个面是否为锐角三角形；建立空间直角坐标系判断平面的法向量是否垂直；结合线面夹角的定义求解即可．
【详解】
三棱锥的体积为，故①正确；
三棱锥的每个面的边长分别为，
设，则是三边中最大边，设其对应角为
则
所以为锐角，故每个面为锐角三角形，②正确；
以为原点建立空间直角坐标系如图所示：
则
设平面的一个法向量为
则 取，则，则
设平面的一个法向量为
则 取，则，则
所以
取，有，则，
所以二面角会是直二面角，故③错；
对于④，不妨设与底面所成角为，与底面所成角为，与底面所成角为，
由③可知，平面的一个法向量为，，
，
．
同理可得，，，
则，故④正确．
故答案为：①②④
方法点睛：判断两个平面是否垂直通常有两个方法：
(1)几何法，利用面面垂直的判定定理；
(2)空间向量法，判断两个平面的法向量是否垂直．
18．
连接、，由三棱锥，，等高，得到其体积之比为底面面积之比，然后由，求解即可.
【详解】
连接、，则棱台被分割成四个三棱锥的组合体，
且三个三棱锥，，都等高，
所以其体积之比为底面面积之比．
在梯形中，由，且为的中点，
所以，即．
从而．
在三棱锥与三棱锥中，它们的高相等，且，
所以．
从而，
所以．
19．7：17
被截面分割成的左边的几何体是个三棱台，要求其体积，由于E为中点，可补成锥体，也即补上一个全等的平行六面体就能迅速求解.
【详解】
的延长线交延长线于，由E为中点知A为中点，联结，则和的交点必在F.作，，，即补上一个全等的平行六面体.
，
，
.
又
，.
20．（1）平方米；（2）立方米．
（1）结合圆锥的侧面积和圆柱的侧面积公式即可直接求解；
（2）结合圆锥的体积和圆柱的体积公式即可直接求解.
【详解】
由题意可知BC=DE=3米，AE=2米，BE=3米，米．
（1）圆锥部分的侧面积平方米．
圆柱部分的侧面积平方米．
故该蒙古包的侧面积平方米．
（2）圆锥部分的体积立方米
圆柱部分的体积立方米．
故该蒙古包的体积立方米．
21．（1）（2）80
（1）根据直三棱柱底面为为直角三角形可得外接球球心的位置，利用勾股定理求半径，即可求解；
（2）根据等体积法及几何体的割补法可转化为求三棱锥即可.
【详解】
（1）因为截面为正方形，
所以，
在中，，
即，解得，
在直三棱柱中，底面的外接圆半径为，
直三棱柱的外接球球心到面的距离为，
设三棱柱的外接球半径为，
则，
（2）因为，
在长方体中平面，
所以三棱锥的高为，
所以
.
关键点点睛：根据直三棱柱外接球的的性质可知球心到底面的距离为高的一半，求出底面外接圆的半径即可利用勾股定理求解即可，利用分割法可把四棱锥转化为三棱锥求体积即可.
答案第1页，共2页
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