必修第二册8.2立体图形的直观图 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.2 立体图形的直观图
一、单选题
1．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是（ ）
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形
D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
2．如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
3．棱台不具备的特点是（ ）
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等 D．侧棱延长后都交于一点
4．如图，边长为2的正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，则图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，边长为的正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，则图形的面积是
A． B．
C． D．
6．若一个平面图形的斜二测直观图是一个边长为2的正方形（如图），则原图的周长为（　　）
A． B．16 C． D．
7．已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，那么原的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．下图是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作，垂足为点，则的长为（ ）
A． B． C． D．1
9．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
10．如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，点是线段上一动点，则的最小值是
A． B． C． D．
11．已知水平放置的矩形的长为4，宽为，用斜二测画法画出该矩形的直观图，则所画直观图的面积为（ ）
A．32 B． C．4 D．2
12．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称为攒尖．依其平面有圆形攒尖，三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也四有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示．某园林建筑屋顶为六角攒尖，它的主轮廓可近似看作一个正六棱锥（底面为正六边形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心）．若正六棱锥的侧棱与高线所成的角为，则其外接球半径与侧棱长的比值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．对棱柱而言，下列说法正确的序号是________.
①棱柱中任意两个侧面都不可能互相平行；②所有的棱长都相等；③棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④相邻两个面的交线叫做侧棱.
14．用斜二测画法画出的水平放置的一角为60°，边长是4的菱形的直观图的面积是______.
15．已知正的边长为2，那么的斜二测画法平面直观图的面积为______．
16．如图∶矩形A'B'C'D'的长为4cm，宽为2cm，O'是A'B'的中点，它是水平放置的一个平面图形ABCD的直观图，则四边形ABCD的周长为∶__________cm；
三、解答题
17．在水平放置的平面上有一个边长为的等边，请在平面上画出其直观图，并写出简要作法.
18．如图所示，从底面半径为2a，高为的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积与挖去圆锥后的几何体的表面积 之比.
19．已知四棱锥的三视图如下：
（1）求四棱锥的体积；
（2）求四棱锥的表面积．
20．已知H是球O的直径上点，，与平面垂直，H为垂足，平面截球O所得截面的面积为π，求球O的表面积.
21．画出各条棱长都相等的正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
根据斜二测画法的方法：平行于轴的线段长度减半，水平长度不变即可判断..
【详解】
由于直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°；
当线段与x轴平行时，在直观图中长度不变且仍与x轴平行，
当线段与x轴平行时，线段长度减半，
直角坐标系变成斜坐标系，而平行关系没有改变.
故选：B.
2．C
根据斜二测画法求解.
【详解】
直观图如图所示：
由图知：原图形的周长为,
故选：C
3．C
根据棱台的定义结构特征求解.
【详解】
根据棱台的定义知，棱台底面相似，侧面都是梯形，侧棱延长后都交于一点，
但是侧棱长不一定相等，
故选：C
4．A
还原出原平面图形，得其结构尺寸，计算面积．
【详解】
由三视图知原平面图形是平行四边形，，，且，
所以面积为．
故选：A．
5．D
根据直观图画出原图可得答案.
【详解】
由直观图画出原图，如图，因为，所以，，则图形的面积是.
故选：D
6．B
由题意可得原图形是一个平行四边形，然后根据斜二测画法中直观图与原图的关系可求出平行四边形的边长，从而可求出其周长
【详解】
由题意，平面图形的斜二测直观图是一个边长为2的正方形，
所以原图形是一个平行四边形，
斜二测画法中平行于轴的边长在原图中长度为2，
斜二测画法中与轴垂直的边长在原图中的长度为，
则原图形的周长为2+2+6+6＝16．
故选：B．
7．A
根据直观图面积是原图面积的，先计算的面积，即求得的面积.
【详解】
解：设原图面积是，对应直观图面积为直观图，由图可知，
根据“斜二测画法”的原则：“横不变纵减半，两轴夹角”，，即.
中，，高，
故的面积为，
那么的面积为.
故选：A．
8．A
利用面积公式求出原的高，进而求出，然后在直角三角形中求解即可
【详解】
由题可知，在中，，
因为的面积为16，，
所以，，，
因为， 轴于点，
所以，
故选：A.
9．D
根据斜二测画法可得原三角形的底边及高，进而可求原三角形的面积.
【详解】
因为三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形，
所以的底．
腰，在中为直角三角形，高．
所以直角三角形的面积是．
故选:D．
10．B
连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，不难看出CP+PA1的最小值是A1C的连线．（在BC1上取一点与A1C构成三角形，因为三角形两边和大于第三边）由余弦定理即可求解．
【详解】
连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，
连接A1C，长度即是所求．
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1，
∴矩形BCC1B1是边长为的正方形；则BC1＝2；
另外A1C1＝AC＝6；
在矩形ABB1A1中，A1B1＝AB＝，BB1，则A1B＝；
易发现62+22＝40，即A1C12+BC12＝A1B2，
∴∠A1C1B＝90°，则∠A1C1C＝135°
故A1C
故答案为B.
本题考查的知识是棱柱的结构特征及两点之间的距离，其中利用旋转的思想，将△CBC1沿BC1展开，将一个空间问题转化为平面内求两点之间距离问题是解答本题的关键．
11．C
根据斜二测画法的规则，分别求出直观图的边长关系，即可求直观图的面积.
【详解】
根据斜二测画法的规则可知，矩形的直观图为平行四边形, 如图，
其中，
所以平行四边形的面积.
故选：C
12．A
设底面中心为H，连接，由正棱锥性质知，底面，则，求得，设正六棱锥外接球半径为R，可求得，在直角中，利用勾股定理求得，即可求得的比值.
【详解】
如图，设底面中心为H，底面边长为a，连接，，
底面为正六边形，
由正棱锥性质知，底面
又侧棱与高所成的角为，，则，即
设正六棱锥外接球球心为O，半径为R，连接,则，
，
在直角中，，即
故选：A
方法点睛：本题考查正六棱锥的外接球，空间几何体与球接、切问题的求解方法：求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.
13．③
根据特例可判断①的正误，根据棱柱的定义可判断③的正误，根据侧棱的定义可判断②④的正误.
【详解】
在正四棱柱中，相对的两个侧面是平行的，故①错误.
在棱柱中，棱包括侧棱和底面正多边形的边，侧棱长和正多边性的边长可以不相等，
故②错误.
棱柱中，底面和侧面的交线不是侧棱，故④错.
棱柱中，上下两个底面是全等的多边形，故③正确.
故答案为：③.
14．
计算出菱形的面积，根据直观图面积与原图形面积之比为可计算得到结果.
【详解】
菱形的面积为 其直观图的面积
故答案为：
本题考查直观图面积的求解问题，关键是明确直观图面积与原图形面积之比为.
15．
由题意结合斜二测画法原图形与所得图形面积的比值关系求解面积即可.
【详解】
设原图形的面积为，斜二测画法所得图形的面积为，
由斜二测画法可知：，
题中，
则.
故答案为：.
16．20
利用斜二测画法还原出原图形，结合题干中数据以及斜二测画法的规则，计算即可
【详解】
由斜二测画法的规则知与轴平行或重合的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变；
与轴平行或重合的线段长度变为原来的一半，且与轴平行的性质不变.
还原出原图形如上图所示，其中cm，cm
cm
所以原图形的周长为cm
17．答案见解析
根据斜二测画法作出图形即可；
【详解】
解：作图
作法：在平面内作坐标系，使，
在轴上取，且为的中点，
在轴上取，联结，，
则是的直观图.
18．.
求出圆柱的表面积和挖去圆锥后的几何体的表面积，即可求解.
【详解】
由题意，知
，
挖去圆锥的母线长为
.
∴.
本题考查圆柱及组合体的表面积，属于基础题
19．（1）；（2）.
由三视图还原几何体的直观图，利用锥体的体积公式、表面积公式求的体积、表面积即可.
【详解】
由题设，三视图可知四棱锥的直观图：底面是边长为1的正方形，且为2并垂直于底面，如下图示，
（1）四棱锥的体积为.
（2）四棱锥的表面积,
由图易知：面，面，又面，面，
∴，且，故棱锥各侧面均为直角三角形，
∴，，，
∴.
20．
由题意，平面与直径AB垂直截得圆面，圆面半径、球半径及OH长度满足勾股定理，即可求解球的半径，及表面积.
【详解】
如图所示，平面截球O所得截面为圆面，圆心为H，设球O的半径为R，
则由，得.
由圆H的面积为π，得圆H的半径为1，
所以，解得，
所以球O的表面积为.
本题考查球体中截面问题，属于中等难度题型.
21．见解析
建立起轴、轴、轴，首先画出底面正六边形的直观图；再过底面各顶点分别做轴的平行线，分别截取线段长度等于棱的长，顺次连接，再加以整理即可得到结果.
【详解】
第一步：画轴、轴、轴，使，
第二步：按轴、轴，画正六边形的直观图
第三步：过各点分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取都等于棱的长
第四步：顺次连接，去掉辅助线及字母，将被遮挡的部分改为虚线，就得到所求作的正六棱柱的直观图.
本题考查空间几何体的直观图的画法，关键是能够利用斜二测画法得到底面的直观图，进而通过平行关系得到几何体的各个侧棱.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页