必修第二册8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、单选题
1．平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则、所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．在直三棱柱中，，，，点D是侧棱的中点，则异面直线与直线所成的角大小为（ ）
A． B． C． D．
3．在三棱锥中，，分别是的中点，若，则异面直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．在空间四边形中，在上分别取E，F，G，H四点，如果交于一点P，则（ ）
A．P一定在直线上
B．P一定在直线上
C．P在直线或上
D．P既不在直线上，也不在直线上
5．若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
6．已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3，在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与所成的角的为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在三棱柱中，，，底面，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
8．在底面为正方形的四棱锥中，底面，，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
9．设，表示两条直线，，表示两个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，.，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
10．已知为不同的平面，为不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则与是异面直线
B．若与是异面直线，与是异面直线，则与也是异面直线
C．若不同在平面内，则与是异面直线
D．若不同在任何一个平面内，则与是异面直线
11．在正方体中，是棱AB上的点，且，G，F分别是棱，BC的中点，则异面直线与EF所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
12．下列命题中正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．垂直于同一直线的两条直线平行
C．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则直线
D．若是三条直线，且与都相交，则直线共面.
二、填空题
13．空间中三个平面最多可以将空间分为________部分．
14．设和的两边分别平行，若，则的大小为___________.
15．不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定________个平面.
16．两两互相平行的三条直线可以确定_____________个平面
17．已知三棱柱侧棱底面分别是的中点，且，过点作一个截面与平面平行﹐则截面的周长为________________________．
三、解答题
18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.
19．如图，在正四棱柱中，，，E，M，N分别是，，的中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
20．如图，在三棱锥A BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
21．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱是四棱锥的高，且，是侧棱上的中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成的角；
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
画出图形，判断出、所成角，求解即可．
【详解】
解：如图，∵ 平面，平面，平面，
∴，，
是正三角形.
∴ 、所成角的平面角或补角为，
∴、所成角的正弦值为.
故选：.
2．C
取AB中点E，连接，,可知（或其补角）为异面直线所求角，解三角形即可求解.
【详解】
取AB中点E，连接，，如图，
分别是,中点，
,
（或其补角）即为异面直线与直线所成的角,
直三棱柱中，，
，,,
，
，
故异面直线与直线所成的角大小为，
故选：C
3．C
取的中点，连接，根据三角形的中位线的性质得出和，从而可知异面直线所成角为或其补角，再在中利用余弦定理求出，从而得出异面直线所成角的余弦值.
【详解】
解：如图，取的中点，连接，
因为是的中点，是的中点，所以，
同理，
所以异面直线所成角为或其补角，
在中，，
即异面直线所成角的余弦值为.
故选：C.
4．B
由题设知面，结合已知条件有面、面，进而可判断P所在的位置.
【详解】
由题意知：面，又交于一点P，
∴面，同理，面，又面面，
由公理3知：点P一定在直线上.
故选：B.
5．D
. 若，有可能，可判断选项A；若，，则与也可能相交，可判断选项B；若，有可能，可判断选项C；由线面垂直的定义和面面平行的判定定理可以判断选项D.
【详解】
对于选项A，有可能，故选项A为假命题；
对于选项B，若，，则与也可能相交，故选项B为假命题；
对于选项C，有可能，故选项C为假命题；
对于选项D，过的平面与平面的交线分别为，则，则，
过的另一个平面与的交线分别为，同理可得，
进而可证得，故选项D为真命题.
故选：D.
6．C
连接，由，得到为异面直线与所成的角，结合余弦定理，即可求解.
【详解】
连接，由，所以为异面直线与所成的角，
因为三棱锥的底面是边长为的等边三角形，且侧棱长为，
在底面ABC上的射影D为BC的中点，
可得,
由余弦定理，可得，
因为，所以，
所以异面直线AB与所成的角的为.
故选：C.
7．A
由，将异面直线与所成的角转化为或其补角，即可求解．
【详解】
在三棱柱中，，
异面直线与所成的角为或其补角，
连接，底面，平面，
，又，，
平面，
又平面，，
由，可得，
，，
又，，
在△中，，
即异面直线与所成角的余弦值为．
故选：A．
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
8．B
由已知PA=AD，可把四棱锥扩充为正方体，再正方体上作出异面直线与所成的角，并求角的大小.
【详解】
因为四棱锥中，底面，，
所以PA=AD，又底面为正方形，所以四棱锥可扩充为正方体，如图示：

连结PE、BE，，则PE∥AC，所以∠EPB（或其补角）为异面直线与所成的角.
而△EPB为正三角形，所以∠EPB=.
故选：.
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
(3)计算：求该角的值，常利用解三角形；
(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
9．D
利用线面平行的位置关系可判断A；根据线面之间的位置关系可判断B、C；利用面面垂直的判定定理可判断D.
【详解】
A错，∵线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面，
B错，∵与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行，
C错，∵两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；
D对，∵线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直，
故选：D.
10．D
根据空间中线面的位置关系，结合异面直线的定义，逐一分析选择，即可得答案.
【详解】
对于A：若，则a，b可平行可异面可相交，故A错误；
对于B：若与是异面直线，与是异面直线，则与可平行可异面可相交，故B错误；
对于C：若不同在平面内，则与可平行可异面可相交，故C错误；
对于D：根据异面直线的定义可知D是正确的，
故选：D.
11．D
利用正方体的性质，将直线与EF分别平移至、，进而确定异面直线夹角的平面角，再应用余弦定理求夹角余弦值即可.
【详解】
由题设，，若为底面中心，，分别是的四等分点，且，如下图示：
∴由正方体的性质易知：必过点且，连接有，
∴直线与EF所成角，即为与所成角，
若正方体的棱长为1，则，
∴.
故选：D
12．D
利用空间点、线、面位置关系直接判断.
【详解】
A.不共线的三点确定一个平面，故A错误；
B.由墙角模型，显然B错误；
C.根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，若直线与平面内的无数条平行直线垂直，则直线与平面不垂直，故C错误；
D.因为，所以确定唯一一个平面，又与都相交，故直线共面，故D正确；
故选：D.
13．8
利用平面的基本性质推导可得.
【详解】
如图所示，空间中三个平面最多可以将空间分为8部分.
故答案为：8.
14．45°或135°##135°或45°
根据等角定理即可得到答案.
【详解】
根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补.
故答案为：45°或135°.
15．
可将三条直线视为三棱锥的三条侧棱，即可得出结论.
【详解】
可将三条直线视为三棱锥的三条侧棱、、，则这三条直线最多能确定个平面.
故答案为：.
16．1或3
讨论三条直线共面、不共面两种情况，由两线平行确定一个平面判断题设三条直线所能确定平面的数量.
【详解】
当三条直线共面时，能确定1个平面；当三条直线不共面时，能确定3个平面；
故答案为：1或3
17．
如图，取AF中点G，分别在，上取点H，M，使，连接，可得平面即为所需截面，求出其周长即可.
【详解】
如图，取AF中点G，分别在，上取点H，M，使，
连接，
又分别是中点，，
又，，四边形为平行四边形，
，，平面，
，平面，
又，平面平面，
又平面ABC，，分别是的中点，，
，
，，
，
在中，，，
，，
所求截面的周长为.
故答案为：.
关键点睛：解决本题的关键是根据线面平行的性质得出截面与各棱的交点.
18．（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ）见解析；
（Ⅲ）见解析.
(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；
(Ⅱ)由几何体的空间结构特征首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理可得面面垂直；
(Ⅲ)由题意，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可找到满足题意的点.
【详解】
（Ⅰ）证明：因为平面,所以；
因为底面是菱形，所以;
因为,平面,
所以平面.
（Ⅱ）证明：因为底面是菱形且，所以为正三角形，所以,
因为,所以；
因为平面，平面,
所以；
因为
所以平面，
平面,所以平面平面.
（Ⅲ）存在点为中点时，满足平面；理由如下:
分别取的中点，连接,
在三角形中，且；
在菱形中，为中点，所以且，所以且，即四边形为平行四边形，所以;
又平面，平面，所以平面.
本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19．（1）；（2）.
（1）因为，由正四棱柱，可知为点到平面的高，结合已知，即可求得答案；
（2）取AD的中点Q，连接NQ，BQ，证明且，可得为异面直线MN与所成角(或其补角)，求解三角形可得再由余弦定理可得异面直线MN与所成角的余弦值.
【详解】
（1），
在正四棱柱中
平面，即为点到平面的高
（2）取的中点Q，连接，
N为的中点
且，
M为的中点，
，且
且
四边形是平行四边形，
且
同理可证且
且
为异面直线与所成角(或其补角).
在正方形中，，E为中点
.
异面直线与所成角的余弦值为.
关键点睛：本题考查了求异面直线夹角问题，解题关键是将求两条异面直线夹角问题转化为求共面直线夹角，结合余弦定理进行求解.
20．（1）见解析（2）见解析
【详解】
试题分析：（1）先由平面几何知识证明，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得平面，则，再由AB⊥AD及线面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC．
试题解析：证明：（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以.
又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.
（2）因为平面ABD⊥平面BCD，
平面平面BCD=BD，
平面BCD，，
所以平面.
因为平面，所以 .
又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，
所以AD⊥平面ABC，
又因为AC平面ABC，
所以AD⊥AC.
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
21．（1）；（2）.
（1）利用求解即可
（2）连结交于，连结，则可证得，所以(或补角)为异面直线与所成的角，由已知条件可得为等边三角形，再由正三角形的性质可得的值，从而可求得结果
【详解】
（1）因为是四棱锥的高，
所以是三棱锥的高，
所以.
（2）连结交于，连结，
因为四边形是正方形，所以是的中点，
又因为是的中点，所以，
所以(或补角)为异面直线与所成的角，
因为，，
可得，
所以为等边三角形，所以，
又因为为的中点，所以，
即异面直线与所成的角.
此题考查三棱锥体积的求法，考查异成直线所成的角的求法，考查计算能力的推理能力，属于中档题
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页