必修第二册10.1随机事件与概率 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 10.1 随机事件与概率 同步练习
一、单选题
1．已知某工厂生产的产品的合格率为90%现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品，经随机模拟产生了如下20组随机数：
7527 0293 7040 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0301 6233 2616 8045 6001 3661 9597 7424 7610 4001
掘此估计，4件产品中至少有3件合格品的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数是1或2”，事件“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为（ ）
A． B． C． D．
3．某地区教研部门为了落实义务教育阶段双减政策，拟出台作业指导方案.在出台方案之前作一个调查，了解本地区义务教育阶段学生中抄袭过作业的学生比例.对随机抽出的2000名学生进行了调查，因问题涉及隐私，调查中使用了两个问题：问题1：你的阳历生日日期是不是偶数？问题2：你是否抄袭过作业？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有除颜色外完全一样的50个白球和50个红球的不透明袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个球，摸出的球看到颜色后放回袋中，只有摸球者自己才能看到摸出球的颜色.要求摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，答案为“是”的人从盒子外的小石子堆中拿一个石子放在盒子中，回答“否”的人什么都不要做.由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.调查结果为2000人中共有612人回答“是”，则本地区义务教育阶段学生中抄袭过作业的学生所占百分比最接近（ ）（提示：假设一年为365天，其中日期为偶数的天数为179天）
A．10.2% B．12.2% C．24.4% D．30.6%
4．某居民小区内一条街道的一侧并排安装了5盏路灯，在满足晚上不同时间段照明的前提下，为了节约用电，小区物业通过征求居民意见，决定每天24：00以后随机关闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
5．两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知正六边形的边长为1，在这6个顶点中任意取2个不同的顶点，得到线段，则的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
8．下列说法正确的是
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
9．2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（ ）
A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件
10．设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（ ）
A．事件A B，则P（A）＜P（B）
B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立
C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥
D． P（A）+P（B）≤1
11．“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，正值欣赏荷花好时节，家住重庆主城的甲、乙、丙、丁四户家庭都准备从“铜梁爱莲湖、永川十里荷香、大足雅美佳湿地”三个荷花景区选择一个欣赏荷花，则在三个荷花区都有家庭选择的条件下，家庭甲选择“永川十里荷香”的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到白球的概率是（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题
13．有4件产品，其中有2件是一等品，2件是二等品，从中任意摸出2件产品.
（1）其对应的样本空间为_________________________________；
（2）样本点的个数为___________；
（3）“恰有一件是一等品”这一事件用集合表示为_________________________________.
14．从含有件次品的件产品中任取件，观察其中次品数，其样本空间为______．
15．裴波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多 裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是_______
16．某种饮料每箱装听,其中有听合格,听不合格,现质检人员从中随机抽取听进行检测,则检测出至少有听不合格饮料的样本点有______个.
17．中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”［“三药”是指金花清感颗粒 连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤 化湿败毒方和宜肺败毒方］发挥了重要的作用.甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲 乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是___________.
三、解答题
18．某市为遏制新型冠状病毒肺炎的传播，针对不同的风险区，施行了不同的封控政策.为保障封控区人民群众日常生活和核酸检测的顺利进行，现面向全市招募志愿者，从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分成5组，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求a的值；
(2)若从第2，4组中用分层抽样的方法抽取5名志愿者，再从这5名志愿者中抽取2名志愿者负责某中风险小区的日常生活物资的运输工作，求这2名志愿者来自同一年龄分组的概率.
19．某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
一年级 二年级 三年级
男同学 A B C
女同学 X Y Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．
（1）写出该试验的样本空间Ω；
（2）设事件M为“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，试用集合表示M．
20．某校高二年级（1）（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
21．某种婴儿用品主要材质是橡胶，在加工过程中，可能会残留一些未挥发完全的溶剂，以及橡胶本身含有的化合物等，长期潜伏积累，对免疫力尚未健全的婴幼儿会危害甚大，为了测量此类新产品的挥发性物质含量，从生产的产品中随机抽取100个，得到如下频率分布直方图，若以频率作为概率，规定该婴儿用品的挥发性物质含量<18‰为合格产品.
（1）若这100个产品的挥发性物质含量的平均值大于16，则需进行技术改进，试问该新产品是否需要技术改进？
（2）为了解产品不合格的原因，用分层抽样的方法从与中抽取6个进行分析，然后从这6个中抽取2个进一步实验，求2个均在内的概率.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
0表示不是合格品，4件产品中至多出现一次0，根据概率计算公式即可求解.
【详解】
4件产品中至多出现一次0，共个，
所以4件产品中至少有3件合格品的概率为.
故选：D
2．B
根据事件和事件，计算，，根据结果即可得到符合要求的答案.
【详解】
由题意可得：，，
，.
故选B.
本题主要考查的是古典概型的基本事件，考查交事件和并事件，需要借助于集合的运算，集合与集合的关系来解决，是基础题.
3．B
利用概率估计整体，可得回答第一个问题与第二个问题各1000人，再根据偶数天估计第一个问题回答“是”的人数，进而可估计第二个问题回答“是”的人数，可得解.
【详解】
由题意可知，每个学生摸出1个白球或红球的可能性都是，
即大约有1000人回答了第一个问题，另1000人回答了第二个问题，
在摸出白球的情况下，回答“是”的概率为，
所以在回答第一个问题的1000人中，大约有490人回答了“是”，
所以可以推测在回答第二个问题的1000人中，大约有人回答了“是”，
即估计抄袭过作业的学生所占百分比为，
故选：B.
4．C
把问题转化为亮的2盏插空到不亮的3盏之间，计算出2盏亮的灯相邻和不相邻的所有可能数，再根据古典概型的概率公式计算即可.
【详解】
5盏路灯关闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻，相当于把亮的2盏插空到不亮的3盏之间，
那么亮的2盏不相邻的情况共有种，相邻的情况共有4种，
因此2盏亮着的路灯不相邻的概率为 ，
故选：C.
5．D
根据题意，列举出所有的可能性，从而得到数字之积能被整除的概率.
【详解】
由题意可得，同时掷两枚骰子，所得的结果是：
，
，
，
共36种情况，所得结果之积为：, , , , ,
所得之积能被整除的概率
故选：D.
关键点点睛：本题考查利用列表法求古典概率，解题的关键是明确题意，列出相应的表格，计算出相应的概率.
6．C
先分析，然后列举基本事件，根据古典概型的概率公式直接求得.
【详解】
由已知得，，，在这6个顶点中任意取2个不同的顶点，，得到以下15条线段：，，，，，，，，，，，，，，，其中满足的有以下6条线段：，，，，，，根据古典概型的计算公式得，的概率为.
故选C.
古典概型的概率计算中列举基本事件的方法：
（1）枚举法；（2）列表法；（3）坐标法；（4）树状图法.
7．D
由随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，知，由此能求出实数的取值范围．
【详解】
随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，
且，，
，即，
解得，即．
故选：D．
本题考查互斥事件的概率的应用，属于基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
8．D
由概率的意义可判断AB错误，由随机抽样的概念得到D正确.
【详解】
一对夫妇生两小孩可能是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到的奖票的概率都是0.1，所以C不正确；D正确．
故答案为D.
本题考查了概率的意义以及随机抽样法的概念，性质，属于基础题.
9．A
事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.
【详解】
事件与事件不能同时发生，是互斥事件
他还可以选择化学和政治，不是对立事件
故答案选A
本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.
10．C
根据事件的包含关系，对立事件与相互独立事件的概率与性质进行判断．
【详解】
若事件B包含事件A，则P（A）≤P（B），故A错误；
若事件A、B互斥，则P（AB）＝0，
若事件A、B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＞0，故B错误，C正确；
若事件A，B相互独立，且P（A），P（B），则P（A）+P（B）＞1，故D错误．
故选：C．
本题考查概率的性质，属于基础题.
11．B
分别算出基本事件数，进而计算相应概率即可.
【详解】
解：在三个荷花区都有家庭选择的条件下，基本事件总数为，
家庭甲选择“永川十里荷香”包含的基本事件个数为.
所以家庭甲选择“永川十里荷香”的概率.
故选：B.
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，分析问题能力，属于基础题.
12．A
直接由古典概型的概率公式求解即可
【详解】
解：由题意可知盒子里装有大小相同的红球和白球共3 个，其中1个白球，
所以从中随机取出1个球，取到白球的概率是,
故选：A
此题考查古典概型的概率的计算，属于基础题
13． （一等品，一等品），（一等品，二等品），（二等品，一等品），（二等品，二等品） 4 （一等品，二等品），（二等品，一等品）
用列举法即可求解
【详解】
有4件产品，其中有2件是一等品，2件是二等品，从中任意摸出2件产品.
其对应的样本空间为
（一等品，一等品），（一等品，二等品），（二等品，一等品），（二等品，二等品），
样本点的个数为4，
“恰有一件是一等品”这一事件用集合表示为（一等品，二等品），（二等品，一等品），
故答案为：（一等品，一等品），（一等品，二等品），（二等品，一等品），（二等品，二等品）；4；（一等品，二等品），（二等品，一等品）
14．
分析取出的件产品的次品个数即可求解.
【详解】
由分析可知取出的件产品的次品个数为，，，，，
所以样本空间为，
故答案为：.
15．
列举出数列{an}的前40项及其中能被3整除的数，代入公式，即可求得概率．
【详解】
解：在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，
∴数列{an}的前40项为：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，
10946，17711，28657，46368，75025，121393，196418，317811，514229，832040，1346269，
2178309，3524578，5702887，9227465，14930352，24157817，39088169，63245986，10334155，
其中能被3整除的有10个，分别为：3，21，144，987，6765，46368，317811，1346269，2178309，14930352．
∴从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是P＝．
故答案为：
16．
记听合格的饮料分别为,,,,2听不合格的饮料分别为,,写出样本空间,即可求得检测出至少有听不合格饮料的样本点个数.
【详解】
记听合格的饮料分别为,,,,听不合格的饮料分别为,,
从中随机抽取听的样本点有:
,,,,,
,,,,,
,,,,,共15个,
至少有听不合格饮料的本点有,,,,,,,,,共个.
故答案为:.
本题考查了求满足条件的基本事件,解题关键是写出事件的样本空间,结合要求找出满足题意的样本,考查了分析能力,属于基础题.
17．
将三药分别记为A、B、C，三方记为a，b，c，先求得两人选取药方包含基本事件个数，再求得两人选取药方完全不同包含基本事件个数，根据古典概率概率公式，即可得答案.
【详解】
将三药分别记为A、B、C，三方记为a，b，c，
选择一药一方的基本事件有{A，a}，{A，b}，{A，c}，{B，a}，{B，b}，{B，c}，{C，a}，{C，b}，{C，c}，
所以两人选取药方包含基本事件个数，
两人选取药方完全不同包含基本事件个数，
所以两人选取药方完全不同的概率.
故答案为：
18．(1)
(2)0.4
(1)根据频率分布直方图直接计算即可；
(2)根据列举法列出所有可能的基本事件，进而得出2名志愿者来自同一年龄分组的概率.
(1)
∵，
∴.
(2)
∵，
∴从第2组中抽取2名志愿者，记为A，B；从第4组中抽取3名志愿者，记为c，d，e.
从这5名志愿者中抽取2名志愿者的所有基本事件为：，共10种，
其中2名志愿者来自同一年龄分组的有：，共4种，
∴所求概率为是.
19．（1）答案见解析；（2）答案见解析．
（1）从6名同学中随机选出2人，那么每个人都有可能被选到，将所有的组合列出来即可；
（2）找出所有组合中，既满足2人来自不同年级，又满足恰有1名男同学和1名女同学的所有情况即可.
【详解】
解（1）Ω＝{AB，AC，AX，AY，AZ，BC，BX，BY，BZ，CX，CY，CZ，XY，XZ，YZ}．
（2）M＝{AY，AZ，BX，BZ，CX，CY}．
20．该方案是公平的，理由见解析.
将各种情况利用表格，列出基本事件个数，再利用古典概型计算两数字之和为偶数或奇数的概率即可判断游戏是否公平.
【详解】
该方案是公平的，理由如下：
各种情况如表所示：
和 4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，
其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，
所以（1）班代表获胜的概率P1＝＝，
（2）班代表获胜的概率P2＝＝，即P1＝P2，机会是均等的，
所以该方案对双方是公平的．
本题考查了古典概型的概率计算公式、写出基本事件个数，属于基础题.
21．（1）该产品需要进行技术改进；（2）.
（1）、由频率分布直方图求出平均值判断与16的大小关系即可得出结论;
（2）、先根据分层抽样求得在与中所抽取的个数，运用列举法列出事件的所有情况，由古典概率公式可求得答案.
【详解】
（1）∵，故该产品需要进行技术改进；
（2）组的产品的个数为，组的产品的个数，所以从组中抽取个，从组中抽取个，
记组中抽取的5个分别为，组中抽取的一个为，
则从6个中抽取2个的所有情况如下：共15种情况，
其中在中恰有2个的有共10种情况，所以所求的概率.
答案第1页，共2页
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