必修第二册第六章平面向量及其应用 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 第六章 平面向量及其应用
一、单选题
1．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则=（ ）
A． B．
C． D．
2．若平面向量与的夹角为120°， ， ，则（ ）
A． B． C．2 D．3
3．在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）.
A． B． C． D．
4．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知非零平面向量，，，下列结论中正确的是（ ）
（1）若，则；（2）若，则
（3）若，则（4）若，则或
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（3）（4）
6．在中，若，则三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，若（λ+）⊥，则实数λ的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．3
8．定义．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（ ）
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
10．若，且，则四边形ABCD的形状为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
11．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（ ）
A． B． C． D．
12．在菱形中，，，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知点与，点在直线上，且，则点的坐标为________．
14．如图，在中，，，是边上的点，且，，则等于______.
15．已知向量=，求绕原点按逆时针方向旋转得到的向量_______；
16．已知，，，且相异三点、、共线，则实数________.
三、解答题
17．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设；
（1）当时，求四边形的面积.
（2）若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值.
18．若，，试求，夹角的余弦值．
19．在中，角、、的对边分别为、、，已知.
（1）若的面积为，求的值；
（2）设，，且，求的值.
20．某轮船以海里/小时的速度航行，在点测得海面上油井在南偏东60度．轮船从处向北航行30分钟后到达处，测得油井在南偏东15度，且海里．轮船以相同的速度改为向东北方向再航行60分钟后到达点．
（1）求轮船的速度；
（2）求、两点的距离（精确到l海里）．
21．已知△ABC的内角A、B、C满足.
(1)求角A；
(2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.
【详解】
因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且，，，
则
，解得，所以.
故选：B
2．B
直接化简，求出答案.
【详解】
化简，
或（舍去）.
故选：B.
3．D
根据向量共线转化为，利用三点共线求实数的取值.
【详解】
，又因为，
所以，即，
所以，
因为点三点共线，所以，
解得：.
故选：D
本题考查向量共线，平面向量基本定理，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型.
4．D
根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.
【详解】
因为点C为的中点，，所以，
所以
，
因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，
所以的取值范围是,
故选：D.
5．B
根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
已知非零平面向量，，，
（1）若，则，所以或，即（1）错；
（2）若，则与同向，所以，即（2）正确；
（3）若，则，所以，则；即（3）正确；
（4）若，则，所以，不能得出向量共线，故（4）错；
故选：B.
本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.
6．B
由题知，最大角为，最小角为，再结合余弦定理求得，由三角形的内角和即可得答案.
【详解】
在中，若，
由正弦定理化边为角可得：，
根据大边对大角，小边对小角可知：最大角为，最小角为，
设，，，
在中，由余弦定理可得：
，
因为，所以，
所以，
所以三角形的最大角与最小角的和是，
故选：B.
7．A
设＝（x，y），由向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，（λ+）⊥，，列方程组，能求出λ的值．
【详解】
解：设＝（x，y），
∵向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，（λ+）⊥，，
∴，
解得λ＝．
故选：A．
8．B
设，则,由即得解.
【详解】
由题意知，．
设，则．
又，∴，∴．
故选：B
9．A
先由正弦定理求出sinB=，可得B=30°或B=150°，再由a>b，得A>B，从而可求出B=30°.
【详解】
由正弦定理得，
即，
解得sinB=，
又B为三角形内角，所以B=30°或B=150°，
又因为a>b，所以A>B，即B=30°.
故选：A.
10．D
根据向量共线的性质及平面几何的性质可判断.
【详解】
解：∵
所以四边形是梯形
又
所以梯形是等腰梯形
故选：
本题考查向量共线的应用，属于基础题.
11．B
设，由，，得到，结合平面向量的基本定理，化简得到，即可求解.
【详解】
由题意，设，则在平行四边形ABCD中，
因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，
所以，
又因为，且，
所以，
所以，解得，所以。
故选：B.
平面向量的基本定理的实质及应用思路：
1、应用平面向量的基本定理表示向量的实质时利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；
2、用平面向量的基本定理解决实际问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
12．D
作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设, 得到是的中点，根据已知求出再根据即得解.
【详解】
作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设，因为
因为，所以,即是的中点，
所以
所以，由题知.
故
故选：D
13．
根据模长相等关系可确定为线段中点，由中点坐标公式计算得到结果.
【详解】
在直线上，且，为线段中点，
又，，.
故答案为：.
14．3
设AD=m，在中利用余弦定理建立三个关系式，联立即可作答.
【详解】
设AD=m，则有CD=m，BD=2m，BC=3m，
中，由余弦定理得：，
中，由余弦定理得：，
中，由余弦定理得：，
消去得：，从而得，解得，
所以等于3.
故答案为：3
关键点睛：条件较隐含的解三角形问题，根据题意设出变量，再选择恰当的三角形，借助正余弦定理列出方程、方程组是解题的关键.
15．
用所在的边对应的角的三角函数表示的坐标，根据旋转可得的坐标.
【详解】
因为，所以以为终边的角可为，故，
因为是绕原点按逆时针方向旋转得到的，
所以，所以，
故答案为：.
关键点点睛：绕原点旋转的动点坐标可用终边所在的角的三角函数来表示，从而可得旋转前后向量的关系，这是解决本题的关键.
16．
本题首先可根据向量的运算法则得出、，然后通过题意得出，最后通过向量平行的相关性质即可得出结果.
【详解】
，，
因为相异三点、、共线，所以，
则，解得或，
当时，，、重合，舍去，
故，
故答案为：.
关键点点睛：本题考查通过三点共线求参数，主要考查向量平行的相关性质，若，，，则，求出的值后要注意检验，考查计算能力，是中档题.
17．（1）；（2）5
（1）把四边形分解为三个等腰三角形：，利用三角形的面积公式即得解；
（2）利用表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示，和，令，转化为二次函数的最值问题，即得解.
【详解】
（1）连结，则
四边形的面积为
（2）由题意，在中，，由正弦定理
同理在中，，由正弦定理
令
时，即，的最大值为5
本题考查了三角函数和解三角形综合实际应用问题，考查了学生综合分析，数学建模，转化划归，数学运算能力，属于较难题
18．
直接利用，，得到，利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】
∵，∴．①
∵，∴，②
由①-②得：，故，③
把③代入①得，从而，即．
19．（1）；（2）.
（1）利用同角三角函数的基本关系求得的值，利用三角形的面积公式可求得的值，再利用平面向量数量积的定义可求得的值；
（2）由结合二倍角公式可求得，求得和的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值.
【详解】
（1），，则，
的面积为，.
因此，；
（2），，且，所以，，即，.
，.
，
，
因此，.
本题考查解三角形的综合问题，考查三角形面积公式的应用、平面向量数量积的计算、平面向量共线的坐标表示以及利用三角恒等变换思想求值，考查计算能力，属于中等题.
20．（1）40海里/小时；（2）56海里.
（1）在中，利用正弦定理求解.
（2）在中，ly 余弦定理求解.
【详解】
（1）在中，由正弦定理得：，
即，
解得.
所以海里/小时；
（2）在中，由余弦定理得：，
，
，
所以海里
本题主要考查正弦定理和余弦定理的实际问题中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21．(1)
(2)
（1）将，转化为，再由余弦定理求解；
（2）根据△ABC的外接圆半径为1，得到，再利用余弦定理结合基本不等式求得，再由求解.
(1)
解：因为，
所以，
即，
所以，
因为，
所以；
(2)
因为△ABC的外接圆半径为1，
所以，
由余弦定理得，
，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
故△ABC的面积S的最大值是.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页