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2022年高考数学押题预测卷（新高考卷）（八）
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】，解得，故，
故选：A
2．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】因为复数z满足，
所以，
则，
故选：C
3．设等差数列的公差为d，若，则“”是“（）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】充分性：若，则，即，∴，即，所以充分性成立；必要性：若，即，∴，则，必要性成立.因此，“”是“”的充要条件.
故选：C.
4．在半径为R的球内放置一圆柱体，使圆柱体的两底面圆周上所有的点都在球面上，当圆柱体的体积最大时，其高为（ ）
A．R B．R C．R D．R
【解析】设圆柱底面圆半径为，高为，如图，
则，
故，
则，
圆柱体积为，
设，则
所以，
故
当时，，当 时，，当 时， ，
所以当时，圆柱体积取得最大值，此时
故选：A
5．点在双曲线上，、是双曲线的两个焦点，，且的三条边长满足，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．5
【解析】设点在双曲线的右支上，则，，
因为，所以，，
因为，所以是直角三角形，所以
所以，即，
所以，解得：或（舍），
所以此双曲线的离心率是，
故选：D.
6．5位医生被分配到4个接种点承担接种新冠疫苗工作，每个医生只能去一个接种点，每个接种点至少有一名医生，其中医生甲不能单独完成接种工作，则共有（ ）种不同的分配方法
A．24 B．48 C．96 D．12
【解析】从能独立工作的4名医生中选一人与甲同时工作有种，然后把剩余3人与所选2人视为4组，分到4个不同的接种点，共有种，
故共有
故选：C
7．设函数若函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【解析】因为
所以，其图象如下：
函数在区间内有且仅有两个零点，
等价于在区间内有且仅有两个实数根，
又等价于函数的图象与直线在区间内有且仅有两个公共点.
于是，解得.
故选：C
8．在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数 公式和定理，如：欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有1 2）；（与9互素有1 2 4 5 7 8）.记为数列的前n项和，则=（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为与互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11，，，共有，所以，则，
于是①，
②，
由①-②得，
则.于是.
故选：A．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．如图是某超市一年中各月份的收入与支出（单位：万元）情况的条形统计图．己知利润为收入与支出的差，即利润=收入-支出，则下列说法不正确的是（ ）
A．利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元
B．利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元
C．收入最少的月份的利润也最少
D．收入最少的月份的支出也最少
【解析】在A中，利润最高的月份是3或10月份，且3或10月份的利润为15万元，故A错误；
在B中，利润最小的月份是8月份，且8月分的利润为5万元，故B错误；
在C中，收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，故5月分的利润不是最少，故C错误；
在D中，收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，故D正确．
故选：ABC．
10．定义：两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（ ）
A．若平行四边形的面积为4，则
B．在正中，若，则
C．若，则的最小值为
D．若，且为单位向量，则的值可能为
【解析】对于A，因为平行四边形的面积为4，所以，所以，所以A正确，
对于B，设正的边边上的中点为，则，
因为，所以，
所以，所以B错误，
对于C，因为，所以，
所以，因为，所以，所以，
所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为，所以C正确，
对于D，若，且为单位向量，则当时，可以等于，此时，所以D正确，
故选：ACD
11．已知，e是自然对数的底，若，则的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】设，则在R上单调递增，
因为，则，
设，则，即，
所以，
设，，
当，当，
则在单调递减，在单调递增，
，即，
所以，即，
故的取值可以是3和4.
故选：CD.
12．如图，在直棱柱中，各棱长均为2，，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥外接球的表面积为
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．当点M在棱上运动时，最小值为
D．N是平面上一动点，若N到直线与的距离相等，则N的轨迹为抛物线
【解析】对于A，由题可知是边长为2的等边三角形，则外接圆半径，
由得外接球表面积为，所以A选项正确．
对于B，连接，因为，所以即为异面直线与所成角，
由题可知，，由余弦定理得
，所以，所以B选项错误．
对于C，分别将四边形与沿着棱展开得到四边形，
的最小值即为，所以C选项正确．
对于D，N到直线与直线的距离相等，又，即为N到直线的距离，
即N到点A与直线的距离相等，根据抛物线的定义，所以D选项正确．
故选：ACD.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了．在理想情况下，对折次数与纸的长边和厚度有关系：．现有一张长边为30cm，厚度为0.05cm的矩形纸，根据以上信息，当对折完4次时，的最小值为________；该矩形纸最多能对折________次．（参考数值：，）
【解析】令，则，则，
即，即当对折完4次时，的最小值为；
由题意，得，，
则
，
所以该矩形纸最多能对折6次.
故答案为：64，6.
14．{an}是等比数列，若a1＝2，a2＝1，则数列{an}的前n项和Sn＝_____.
【解析】由等比数列的前两项可求得公比，再代入前n项和公式可求出结果.
∵{an}是等比数列，若a1＝2，a2＝1，∴公比q.
又.
故答案为：
15．已知，则___________.
【解析】原式
.
故答案为：.
16．已知椭圆C：,,为其左右焦点,,B为短轴的一个端点,三角形（O为坐标原点）的面积为,则椭圆的长轴长为______________．
【解析】由题,设,因为,故.
又三角形的面积.
故.所以椭圆的长轴长为.
故答案为：
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，，求角B．
【解析】（1）由已知，，
∴，而，
∴.
（2）由（1）及正弦定理知：，则，
∴或，又，
∴.
18．如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，底面ABCD，，，，E为PA的中点．
(1)证明：平面平面BCE；
(2)若二面角P-BC-E的余弦值为，求三棱锥P-BCE的体积．
【解析】(1)因为底面ABCD，面，则，
由，，则，又，则，
若为中点，连接，易知：为正方形，则，又，即，
所以，
综上，，即，
又，则面，又面，
所以平面平面BCE.
(2)由题设，可构建如下图示的空间直角坐标系，若，
则，，，，，
所以，，，
若为面的一个法向量，则，令，则，
若为面的一个法向量，则，令，则，
所以，整理得，
所以，即，易得：，
由底面ABCD，面，则，又，即，
由，则面，面，即，
所以在直角△中，，
在△中，、、，即，则，
所以.
由上有：且面的一个法向量，
则，故到面的距离，
所以.
19．已知数列中，，.
(1)求，并证明为等比数列；
(2)求数列的前n项和.
【解析】(1)，
，
，故是首项为1，公比为2的等比数列．
(2)由（1）得，即，
20．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．
(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；
(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．
【解析】(1)由题意知甲得0分的概率为，
乙得0分的概率为，
所以甲、乙两人所得分数相同的概率为．
(2)X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
则，
，
，
，
，
，
，
所以，随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5 6
P
所以．
21．已知椭圆过点，椭圆上的任意一点到焦点距离的最小值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设不过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与直线斜率之和为，求点到直线距离的最大值.
【解析】(1)因为椭圆过点，椭圆上的任意一点到焦点距离的最小值为，
所以且，
又，
解得，，
所以椭圆的方程为．
(2)当直线垂直于轴时，直线与直线的斜率和为0，不符合题意，
故设直线的方程为，
由于直线不过点，故，
设，，，，，，
则，，
直线的方程可改写为，
椭圆的方程可改写为，
两者联立，可得，
时，
整理可得①，
若，则直线与椭圆的一个交点为，
此时直线的斜率不存在，不符合题意，
故，且，是以上二次方程①的两根，
由韦达定理有，
于是，
直线的方程为，
所以直线经过定点，则当点P与该定点的连线与l垂直时，点到直线距离的最大，最大值.为 .
22．已知函数．
(1)若，求的图象在处的切线方程；
(2)若在上单调递减，求实数的取值范围．
【解析】(1)当时，，所以，
所以，，
所以的图象在处的切线方程是，即；
(2)若在上单调递减，则在上恒成立，
令，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，解得，即实数的取值范围是．
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说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．设等差数列的公差为d，若，则“”是“（）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在半径为R的球内放置一圆柱体，使圆柱体的两底面圆周上所有的点都在球面上，当圆柱体的体积最大时，其高为（ ）
A．R B．R C．R D．R
5．点在双曲线上，、是双曲线的两个焦点，，且的三条边长满足，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．5
6．5位医生被分配到4个接种点承担接种新冠疫苗工作，每个医生只能去一个接种点，每个接种点至少有一名医生，其中医生甲不能单独完成接种工作，则共有（ ）种不同的分配方法
A．24 B．48 C．96 D．12
7．设函数若函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
8．在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数 公式和定理，如：欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有1 2）；（与9互素有1 2 4 5 7 8）.记为数列的前n项和，则=（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．如图是某超市一年中各月份的收入与支出（单位：万元）情况的条形统计图．己知利润为收入与支出的差，即利润=收入-支出，则下列说法不正确的是（ ）
A．利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元
B．利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元
C．收入最少的月份的利润也最少
D．收入最少的月份的支出也最少
10．定义：两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（ ）
A．若平行四边形的面积为4，则
B．在正中，若，则
C．若，则的最小值为
D．若，且为单位向量，则的值可能为
11．已知，e是自然对数的底，若，则的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，在直棱柱中，各棱长均为2，，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥外接球的表面积为
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．当点M在棱上运动时，最小值为
D．N是平面上一动点，若N到直线与的距离相等，则N的轨迹为抛物线
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了．在理想情况下，对折次数与纸的长边和厚度有关系：．现有一张长边为30cm，厚度为0.05cm的矩形纸，根据以上信息，当对折完4次时，的最小值为________；该矩形纸最多能对折________次．（参考数值：，）
14．{an}是等比数列，若a1＝2，a2＝1，则数列{an}的前n项和Sn＝_____.
15．已知，则___________.
16．已知椭圆C：,,为其左右焦点,,B为短轴的一个端点,三角形（O为坐标原点）的面积为,则椭圆的长轴长为______________．
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，，求角B．
18．如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，底面ABCD，，，，E为PA的中点．
(1)证明：平面平面BCE；
(2)若二面角P-BC-E的余弦值为，求三棱锥P-BCE的体积．
19．已知数列中，，.
(1)求，并证明为等比数列；
(2)求数列的前n项和.
20．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．
(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；
(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．
21．已知椭圆过点，椭圆上的任意一点到焦点距离的最小值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设不过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与直线斜率之和为，求点到直线距离的最大值.
22．已知函数．
(1)若，求的图象在处的切线方程；
(2)若在上单调递减，求实数的取值范围．
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