选择性必修第二册5.2导数的运算 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 5.2导数的运算
一、单选题
1．已知数列为等比数列，其中，，若函数，为的导函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的导函数是，且满足，则（ ）
A．-e B．2 C．-2 D．e
4．函数的导数是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则等于（ ）
A． B．0 C． D．6
6．下列结论正确的个数为（ ）
①若y＝ln2，则y′＝；②若f(x)＝，则f′（3）＝－；③若y＝2x，则y′＝2xln2；④若y＝log5x，则y′＝．
A．4
B．1
C．2
D．3
7．已知函数则它的导函数（ ）
A． B． C． D．
8．函数的斜率等于的切线有（ ）
A．条 B．条
C．条 D．不确定
9．下列求导运算正确的是
A． B．
C． D．
10．曲线的一条切线的斜率为1，则该切线的方程为( )
A． B． C． D．
11．若函数，则（ ）
A． B． C．0 D．1
12．函数的导数是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．若函数，满足，且，则___________.
14．曲线在点处的切线方程为______．
15．已知直线是曲线的一条切线，则________.
16．函数在处的导数是______．
17．函数的图像在点处的切线的斜率为_________.
三、解答题
18．若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，求的值．
19．氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体．如果最初有氡气，那么t天后，氡气的剩余量为．
（1）氡气的散发速度是多少？
（2）的值是什么（精确到0.1）？它表示什么意义？（参考数据，）
20．曲线C：在点处的切线为：，在点处的切线为：，求曲线C的方程．
21．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．
（1）若曲线与在处的曲率分别为，比较大小；
（2）求正弦曲线曲率的最大值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
根据等比数列的性质和导数的运算法则即可求出.
【详解】
，，为等比数列，
，
，
则.
故选:C.
2．D
由求导公式得出结果.
【详解】
由求导公式可知.
故选：D
运用求导公式是解题的关键.
3．B
首先求导得到，从而得到，，再计算即可.
【详解】
因为，
所以，
所以，解得.
所以，.
故选：B
4．C
根据导数的运算法则求解．
【详解】
．
故选：C．
5．D
求出函数导数，可得出，即可求出答案.
【详解】
∵，∴，∴，
∴，∴.
故选：D.
6．D
由导数的运算求得导数后判断．
【详解】
解：在①中，(ln2)′＝0，错；
②，，正确；
③，，正确；
④，，正确．
共有3个正确，
故选：D．
7．C
利用导数运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：C
8．B
由导数几何意义可构造方程求得切点个数，由此可得结果.
【详解】
，设切点为，，解得：，
在点和点处有斜率等于的切线，满足题意切线有条.
故选：B.
9．B
由导数公式，导数的运算法则以及复合函数求导的法则，进行判断即可.
【详解】
函数可看作函数和的复合函数，根据复合函数的求导法则有
故选：B
本题主要考查了导数公式，导数的运算法则以及复合函数求导的法则的应用，属于基础题.
10．C
由给定函数求导，结合斜率值，求出切点坐标，写出切线方程.
【详解】
由题得，设切点为，
则，而，则，
令，则，
0，f(x)在上单调递增，则，
所以方程只有一个实根，代入原函数得，
故切点为切线斜率为，所以切线方程为.
故选：C.
求超越方程的零点，一般是构造函数，利用函数单调性，借助观察比对的思路解决.
11．A
构造函数，再用积的求导法则求导计算得解.
【详解】
令，则，
求导得：，
所以.
故选：A
12．C
将函数变形为，然后根据复合函数的求导法则求解出.
【详解】
解析：因为，所以，
所以，
故选：C.
13．3
先求，再对两边求导后令可求的值.
【详解】
因为函数，满足，且，
所以，则，对两边求导，
可得，所以，因此.
故答案为：3
14．
由题设得，求出点处的导数，即可写出处的切线方程.
【详解】
∵，
∴，
∴所求切线方程为，整理得．
故答案为：
15．4
设切点为，根据导数的几何意义可求斜率，即可求出，代入切线方程即可求解.
【详解】
设，切点为，
因为，
所以，解得，
所以，
故切点为，又切点在切线上，
故.
故答案为：4
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于容易题.
16．6
将函数解析式展开，再求导，之后代入即可得到结果.
【详解】
将函数解析式展开得到：，求导得，
所以．
故答案为：6.
17．
本题首先可以求出函数的导函数，然后代入，即可得出结果.
【详解】
因为函数，所以，
则在点处的切线的斜率，
故答案为：.
本题考查函数在某一点处的切线斜率的求法，可通过求出在这一点处的导数来求出斜率，考查导数的几何意义，是简单题.
18．
由导数的几何意义得出切线方程，进而由面积得出的值，再由对数运算求解.
【详解】
因为，所以曲线在点处的切线方程为
令，得，令，得.所以，解得，所以.
19．（1），（2），表示第7天时氡气散发的瞬时速度为25.8g每天．
利用实际问题中导数的意义求解即可；
【详解】
解：（1）因为，所以
（2），它表示的是第7天时氡气散发的瞬时速度为25.8g每天．
20．．
由已知结合导数的几何意义及计算即可求解
【详解】
由已知得点与点均在曲线C上，
，
由导数的几何意义得，，，
解得：．
所以曲线C的方程为：．
方法点睛：本题考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，求切线常见考法：
(1)已知切点求斜率k，即求该点处的导数值：．
(2)已知斜率k，求切点，即解方程.
(3)若求过点的切线方程，可设切点为，由，求解即可．
21．（1）；（2）1．
（1）求出导函数及导函数的导数，根据曲率定义直接计算，然后比较．
（2）求，再求，然后曲率，用换元法，函数的单调性求得最大值．
【详解】
（1），，所以，
，，，所以；
（2），，
所以，
，
令，则，
设，则，
显然当时，，递减，所以．最大值为1，
所以的最大值为1．
关键点点睛：本题考查新定义“曲率”，解题关键是理解曲率的定义，实质就是对导函数再求导得，然后根据所给公式求出的曲率．
答案第1页，共2页
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