4.1 指数 教案

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名称 4.1 指数 教案
格式 docx
文件大小 120.2KB
资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-05-21 07:17:27

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文档简介

第四章 指数与对数
第4.1节 指数
本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂.
本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.
课程目标 学科素养
1.理解n次方根、n次根式的概念. 2.能正确运用根式运算性质化简、求值. 3.体会分类讨论思想、符号化思想的作用. a数学抽象:根式的概念,分数指数幂的概念的掌握 b逻辑推理:根式概念与方根概念二者之间的关系 c数字运算:掌握有理数指数幂的运算性质,并能运 用性质进行计算和化简 d直观想象:让学生感受由特殊到一般的数学思想方法 e数学建模:通过对实际问题的探究过程,感受应用 数学解決问题的方法,理解分类讨论思想、化归与转化的思想在数学中的应用。
1.教学重点:n次方根概念及性质、根式与分数指数幂的互化与有理指数幂的运算性质.
2.教学难点:根式概念、n次方根的性质、分数指数幂概念的理解及有理指数幂的运算.
预习课本P75~77,思考并完成以下问题
1.n次实数方根
如果一个实数x满足xn=a,那么称x为a的n次实数方根,其中n>1且n∈N*.
2.n次实数方根的性质
(1)当n为奇数时,正数的n次实数方根是一个正数,负数的n次实数方根是一个负数,这时,a的n次实数方根只有一个,用符号表示.
(2)当n为偶数时,正数的n次实数方根有两个,它们互为相反数,这时,正数a的正的n次实数方根用符号表示,负n次实数方根用符号-表示.它们可合并写成±
(a>0).
(3)0的n次实数方根等于0,记作 =0.
3.根式的定义
式子叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.
[点评] (1)根指数n的范围是n>1且n∈N*.
(2)若根指数n=2,可省略不写.
(3)当n为奇数时,对任意a∈R都有意义;当n为偶数时,只有当a≥0时,才有意义.
4.两个等式
(1)n∈N*,n≥2,()n=a.
(2)n为奇数时,=a,n为偶数时,=|a|.
5.分数指数幂的意义
一般地,我们规定=(a>0,m,n均为正整数);= (a>0,m,n均为正整数).
0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
[点评] (1)不可理解为个a相乘;
(2)不可轻易对进行约分,否则有时会改变a的取值范围而导致出错,如,a∈R,而,a≥0.
6.有理数指数幂的运算性质
(1)as·at=as+t,(2)(as)t=ast,(3)(ab)t=atbt.
其中a,b,s,t的取值范围是a>0,b>0,s,t∈Q.
7.微课辅助
典例剖析
题型一  根式的运算
[典例] (1)化简()4++=________.
(2)若-3<x<3,则化简 - =________.
[解析] (1)由题意知a-1≥0,即a≥1,
原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1+a-1+1-a=a-1. 
(2)原式= -=|x-1|-|x+3|,
∵-3<x<3,
∴当-3<x<1时,
原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2.
当1≤x<3时,
原式=(x-1)-(x+3)=-4.
[答案] (1)a-1 (2)
点评:
(1)解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值.
(2)开偶次方时,先用绝对值表示开方的结果,再去掉绝对值符号化简,化简时要结合条件或分类讨论.    
  
变式训练
1.化简:+=________.
解析:原式=|π-4|+π-4=4-π+π-4=0.
答案:0
2.化简:-=________.
解析:原式= -=-1--=--1.
答案:--1
3.化简:+=________.
解析:原式=a+|1-a|=
答案:
微课辅助
题型二  根式和分数指数幂的互化
[典例] 将下列根式化成分数指数幂的形式.
(1) (a>0);
(2)(x>0);
(3) (b>0).
[解] (1)原式= ===.
(2)原式===
===.
(3)原式=[]=b=.
点评:(1)此类问题应熟练应用a=(a>0,m,n∈N*,且n>1),当所求根式含有多重根号时,要搞清被开方数,由里向外用分数指数幂写出,然后用性质进行化简.
(2)分数指数幂是根式的另一种写法,分数指数幂与根式可以相互转化.    
变式训练 设a>0,将表示成分数指数幂的形式,其结果是________.
解析:∵a>0,∴原式==.
答案:
题型三  条件求值问题
[典例] 已知+=,求下列各式的值:
(1)a+a-1;(2)a2+a-2.
[解] (1)将+=两边平方,
得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.
(2)将a+a-1=3两边平方,得a2+a-2+2=9,
∴a2+a-2=7.
[一题多变]
1.[变设问]在本例条件下,则a2-a-2=________.
解析:令y=a2-a-2,两边平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45,
∴y=±3,即a2-a-2=±3.
答案:±3
2.[变条件,变设问]若本例变为:已知a,b分别为x2-12x+9=0的两根,且a<b,
求的值.
解:==. ①
∵a+b=12,ab=9, ②
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=122-4×9=108.
∵a<b,∴a-b=-6. ③
将②③代入①,得==-.
本节内容要注意培养学生类比推理能力,由整数指数幂的性质类比分数指数幂的性质。根式、分数指数幂都是具体的对应法则,是学习指数函数的基础,应讲清、讲透.学生在初中学习了数的开平方、开立方、二次根式、整数指数幂的意义及运算法则.有了这些知识作准备,教科书通过实际问题引出了分数指数幂,说明了扩张指数取值范围的必要性,由此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根,将二次根式扩充到一般根式,进一步探究了分数指数幂及其运算性质。