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2022年高考数学押题预测卷（新高考卷）（九）
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题得，所以.故选：B
2．已知复数z满足，则复数z的虚部是（ ）．
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【解析】由题意，复数z满足，根据复数的概念，可得复数z的虚部为.
故选：B.
3．已知是第二象限的角，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】
故选：A
4．箕舌线因意大利著名的女数学家玛丽亚·阿涅西的深入研究而闻名于世．如图所示，过原点的动直线交定圆于点，交直线于点，过和分别作轴和轴的平行线交于点，则点的轨迹叫做箕舌线．记箕舌线函数为，设，下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．点的横坐标为
C．点的纵坐标为 D．的值域是
【解析】连接，则，圆的标准方程为，
该圆的直径为，
设点，当点不与点重合时，直线的方程为，
联立，解得，
当点与点重合时，点的坐标也满足方程，所以，，
对任意的，，即函数的定义域为，
，故函数为偶函数，A错；
当点在第一象限时，，因为，此时，B错；
当点不与点重合时，，
因为，则，
当点与点重合时，点也与点重合，此时，点的纵坐标也满足，
综上所述，点的纵坐标为，C对；
对于D选项，，所以，，D错.
故选：C.
5．已知等比数列的前n项和为，公比为q，若，，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【解析】设的公比为q，因为，所以，则有，
即，解得.又，所以，.
故选：B
6．已知平面向量，满足，，与的夹角为，，则实数的值为（ ）
A．-2 B．2 C． D．
【解析】由，得，
即，又的夹角为，
所以，
所以，解得.
故选：B.
7．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（ ）（容器壁的厚度忽略不计）
A． B． C． D．
【解析】由题意知，当该球为底面边长分别为、，高为的长方体的外接球时，球的半径取最小值，所以，该球形容器的半径的最小值为，因此，该球形容器的表面积的最小值为.
故选：D.
8．设随机变量的分布列为，且，则的值为
A．8 B．12 C． D．16
【解析】由
可得，由
所以，
故选：A
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】最小正周期为，在区间上单调递减；
最小正周期为，在区间上单调递减；
最小正周期为，在区间上单调递减；
最小正周期为，在区间上单调递增；
故选：AC
10．方程表示的曲线为C，下列正确的命题是（ ）
A．曲线C可以是圆 B．若，则曲线C为椭圆
C．若曲线C为双曲线，则或 D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则
【解析】A. 若曲线C是圆，则，解得，故正确；
B.若曲线C为椭圆，则 ，解得且 ，故错误；
C. 若曲线C为双曲线，则，解得或，故正确；
D.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，故正确；
故选：ACD
11．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】选项A：
由，可得，
则，，
则，则.判断错误；
选项B：由，可得为上减函数，
又，则.判断正确；
选项C：由，可知为R上减函数，又，则
由，可知为上增函数，又，则，则
又为上增函数，则，则.判断正确；
选项D：令，则，
，
则，即.判断错误.
故选：BC
12．如图，长方体中，，，点是线段的中点，点为线段中点，则下列说法正确的是（ ）
A．长方体被平面截得的截面是一个五边形
B．长方体被平面截得的截面面积为
C．与平面平行
D．三棱锥的体积为6
【解析】延长交于点，延长交于点，连接分别交与点，连接，则五边形为长方体被平面截得的截面，A对，
因为，点是线段的中点，点为线段中点，所以
所以为等腰直角三角形，所以，，
又与相似，所以，又，
所以，，
所以，，
同理可得，，
在中，，，
所以的面积，
在中，，，
所以的面积，
同理的面积，
所以五边形的面积为，B对，
若与平面平行，平面，平面平面，
所以，则，但，所以与平面不平行，
所以C错，
因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
由
所以，D对，
故选：ABD.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．田忌赛马的故事出自司马迁的《史记》，话说齐王，田忌分别有上、中、下等马各一匹，赛马规则是：一场比赛需要比赛三局，每匹马都要参赛，且只能参赛一局，最后以获胜局数多者为胜．记齐王、田忌的马匹分别为和，每局比赛之间都是相互独立的．而且不会出现平局．用表示马匹与比赛时齐王获胜的概率，若，，；，，；，，．则一场比赛共有________种不向的比赛方案；在上述所有的方案中，有一种方案田忌获胜的概率最大，此概率的值为_________．
【解析】假设齐王马匹的出场顺序不动为，则田忌的马匹有种不同的比赛方案，
故所有的比赛方案有6种，即，，，，，．
齐王的上等马对田忌的下等马，齐王的中等马对田忌的上等马，齐王的下等马对田忌的中等马时，田忌获胜的概率最大，即采用方案．记田忌三局全胜和恰胜两局的概率分别为，，
，．所以概率值为．
故答案为：6，0.819
14．曲线在点处的切线的方程为_____
【解析】因为，故可得，
则，则，
故在处的切线方程为.
故答案为：.
15．已知函数是偶函数，则______．
【解析】
由为偶函数，则
即
即
所以，则，故
故答案为：
16．已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是_______
【解析】由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，
可得△ABC的周长为4a=4，所以，答案为4.
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答．
问题：的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足______．
(1)求A；
(2)若，，求的面积．
【解析】(1)选择①：
因为，
所以，
所以
即，
又，所以，
所以，又，
所以，得；
选择②：
因为，
所以，即 ，
所以，
又，所以；
选择③：
因为，
所以，
所以，
即
又，所以，
又，所以；
(2)设外接圆的半径为，
因为，所以 ，
又，所以，
又因为，
所以，
即，解得，
所以的面积为.
18．已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2），求数列的前项和．
【解析】（1）在数列中，由可知，
两式作差可得，
即，
当时，，
即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
即；
（2）由（1）知，
所以
．
19．如图所示，斜三棱柱中，点为上的中点．
(1)求证：平面．
(2)设多面体的体积为，三棱柱的体积为，求．
【解析】(1)
证明：连接A1B交AB1于点O，连接OD1，
则在平形四边形ABB1A1中，点O为A1B的中点，
又点D1为A1C1的中点，
所以OD1BC1，
又OD1 平面AB1D1，B1C平面AB1D1，
所以BC1平面AB1D1．
(2)因为，， ，
所以
所以＝．
20．某商场为吸引客源推出了为期三天的优惠活动，全场购物每满1000元减300元，即一次购物总金额（未享受优惠前）为元，若，付款时无优惠；若，付款时优惠300元；若，付款时优惠600元……以此类推．某机构在该商场门口随机采访了位购物的顾客，统计他们的购物金额如下表所示，并将购物总金额低于元的顾客称为“理性购物者”，购物总金额不低于元的顾客称为“非理性购物者”．
理性购物者 非理性购物者 合计
男性 40 10 50
女性 25 25 50
合计 65 35 100
（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是否为“理性购物者”与性别有关？
（2）设甲、乙两名“非理性购物者”相互独立地来此商场购物，甲、乙两位顾客的购物总金额（单位：元）在内的概率分别为，，在内的概率分别为，.设甲、乙两位顾客付款时的优惠金额之和为随机变量，求的分布列与数学期望．
参考公式及数据：，其中．
【解析】（1）由题可得的观测值，
所以在犯错误的概率不超过的前提下，能认为“理性购物者”与性别有关．
（2）由题可得，购物总金额在内，优惠元，购物总金额在内，优惠元，
则随机变量的所有可能取值为，，，
且，
，
，
所以的分布列为
所以．
21．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右两个焦点为、，动点P满足．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，问：线段上是否存在一点D，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，请给出证明：若不存在，请说明理由．
【解析】(1)由题意得：，所以，，而，故动点P的轨迹E的方程为以点、为焦点的椭圆方程，由得：，，所以动点P的轨迹E的方程为；
(2)存在，理由如下：
显然，直线l的斜率存在，设为，
联立椭圆方程得：，设，，则，，
要想以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，则点D为AB垂直平分线上一点，
其中，，则，故AB的中点坐标为，则AB的垂直平分线为：，令得：，且无论为何值，，点D在线段上，满足题意.
22．已知函数，其中为大于零的常数．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值．
【解析】.
（I）因为曲线在点处的切线与直线平行，
所以，即，解得；
（Ⅱ）当时，在上恒成立，这时在上为增函数，
；
当时，由得，，
对于有，在上为减函数，
对于有，在上为增函数，
；
当时，在上恒成立， 这时在上为减函数，
.
综上，在上的最小值为.
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2022年高考数学押题预测卷（新高考卷）（九）
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数z满足，则复数z的虚部是（ ）．
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
3．已知是第二象限的角，，则（ ）
A． B． C． D．
4．箕舌线因意大利著名的女数学家玛丽亚·阿涅西的深入研究而闻名于世．如图所示，过原点的动直线交定圆于点，交直线于点，过和分别作轴和轴的平行线交于点，则点的轨迹叫做箕舌线．记箕舌线函数为，设，下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．点的横坐标为
C．点的纵坐标为 D．的值域是
5．已知等比数列的前n项和为，公比为q，若，，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．已知平面向量，满足，，与的夹角为，，则实数的值为（ ）
A．-2 B．2 C． D．
7．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（ ）（容器壁的厚度忽略不计）
A． B． C． D．
8．设随机变量的分布列为，且，则的值为
A．8 B．12 C． D．16
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
10．方程表示的曲线为C，下列正确的命题是（ ）
A．曲线C可以是圆 B．若，则曲线C为椭圆
C．若曲线C为双曲线，则或 D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则
11．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，长方体中，，，点是线段的中点，点为线段中点，则下列说法正确的是（ ）
A．长方体被平面截得的截面是一个五边形
B．长方体被平面截得的截面面积为
C．与平面平行
D．三棱锥的体积为6
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．田忌赛马的故事出自司马迁的《史记》，话说齐王，田忌分别有上、中、下等马各一匹，赛马规则是：一场比赛需要比赛三局，每匹马都要参赛，且只能参赛一局，最后以获胜局数多者为胜．记齐王、田忌的马匹分别为和，每局比赛之间都是相互独立的．而且不会出现平局．用表示马匹与比赛时齐王获胜的概率，若，，；，，；，，．则一场比赛共有________种不向的比赛方案；在上述所有的方案中，有一种方案田忌获胜的概率最大，此概率的值为_________．
14．曲线在点处的切线的方程为_____
15．已知函数是偶函数，则______．
16．已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是_______
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答．
问题：的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足______．
(1)求A；
(2)若，，求的面积．
18．已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2），求数列的前项和．
19．如图所示，斜三棱柱中，点为上的中点．
(1)求证：平面．
(2)设多面体的体积为，三棱柱的体积为，求．
20．某商场为吸引客源推出了为期三天的优惠活动，全场购物每满1000元减300元，即一次购物总金额（未享受优惠前）为元，若，付款时无优惠；若，付款时优惠300元；若，付款时优惠600元……以此类推．某机构在该商场门口随机采访了位购物的顾客，统计他们的购物金额如下表所示，并将购物总金额低于元的顾客称为“理性购物者”，购物总金额不低于元的顾客称为“非理性购物者”．
理性购物者 非理性购物者 合计
男性 40 10 50
女性 25 25 50
合计 65 35 100
（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是否为“理性购物者”与性别有关？
（2）设甲、乙两名“非理性购物者”相互独立地来此商场购物，甲、乙两位顾客的购物总金额（单位：元）在内的概率分别为，，在内的概率分别为，.设甲、乙两位顾客付款时的优惠金额之和为随机变量，求的分布列与数学期望．
参考公式及数据：，其中．
21．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右两个焦点为、，动点P满足．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，问：线段上是否存在一点D，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，请给出证明：若不存在，请说明理由．
22．已知函数，其中为大于零的常数．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值．
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