17-2勾股定理的逆定理课件人教版数学八年级下册(共19张PPT)
文档属性
| 名称 | 17-2勾股定理的逆定理课件人教版数学八年级下册(共19张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-21 16:59:44 | ||
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文档简介
(共19张PPT)
17.2 勾股定理的逆定理
1、理解勾股定理的逆定理。
2、了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题。
3、应用勾股定理的逆定理解决实际问题。
学习目标
学习目标
1.理解勾股定理的逆定理及证明过程。
2.能简单的运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.利用勾股定理逆定理解决实际问题
重点
运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
难点
勾股定理逆定理的证明。
问题：按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
新知讲解
探索与思考
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证： △ABC是直角三角形．
b
a
c
A
B
C
分析：
1.要证明△ABC是直角三角形，即要证明∠B=______°
2.构造△A’B’C’，使其满足___________________________。
3.如果△ABC ____ △A’B’C’，则△ABC是直角三角形。
90
≌
b
a
c
A’
B’
C’
AB=A’B’,BC=B’C’,∠B’=90°
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5,12,13满足52+122=132,
② 7,24,25满足72+242=252,
③ 8,15,17满足82+152=172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
∵32+42=52，∴满足.
a2+b2=c2
新知讲解
命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
猜想：
这个命题和前面学的命题1（勾股定理）之间有什么关系吗？
1.题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题。
2.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
命题2是正确的吗？你能试着证明吗？
利用勾股定理逆定理判断直角三角形
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？
1）a=15 ，b=8 ，c=17
2）a=13 ，b=14 ，c=15
解：∵152+82=289，172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
△ABC ≌ △A′B′C′
？
∠C是直角
△ABC是直角三角形
A
B
C
a
b
c
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
证一证:
新知讲解
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)，
∴∠C= ∠C′=90° ， 即△ABC是直角三角形.
则
A
C
a
B
b
c
新知讲解
定理与逆定理
一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理是另一个定理的逆定理。
判断勾股数
下列各组数中是勾股数的为（ ）
A．1、2、3 B．4、5、6 C．3、4、5 D．7、8、9
【详解】
解：A．∵12+22=5≠32=9，∴不是勾股数，故A错误；
B．∵42+52=41≠62=36，∴不是勾股数，故B错误；
C．∵32+42=25=52=25，∴是勾股数，故C正确；
D．∵72+82=113≠92=81，∴不是勾股数，故D错误．
新知讲解
根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
例2：某港口P位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile。它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
R
S
Q
P
E
N
解：根据题意画图，如图所示：
PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，
QR=30。
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，
∴∠QPR=90°。
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS=45°。 ∴∠RPS=45°，即“海天”号沿西北方向航行。
R
S
Q
P
E
N
利用勾股定理逆定理判断直角三角形
满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．BC＝1，AC＝2，AB＝B．BC＝1，AC＝2，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【答案】D
【详解】
A．∵12+（）2=22，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵12+22=（）2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．设BC=3x，则AC=4x，AB=5x．
∵（3x）2+（4x）2=（5x）2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠A=45°，∠5=60°，∠C=75°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意．故选D．
例2 如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝ CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．
解：AF⊥EF.理由如下：
设正方形的边长为4a,
则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．
∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
新知讲解
利用勾股定理逆定理解决实际问题
如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗
N
E
P
Q
R
1
2
解：根据题意，
PQ=16×1.5=24
PR=12×1.5=18
QR=30
∵ ，即
∴∠RPQ=90°
而根据题意∠1=45°
∴∠2=∠RPQ - 45°=45°
同学们，再见
17.2 勾股定理的逆定理
1、理解勾股定理的逆定理。
2、了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题。
3、应用勾股定理的逆定理解决实际问题。
学习目标
学习目标
1.理解勾股定理的逆定理及证明过程。
2.能简单的运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.利用勾股定理逆定理解决实际问题
重点
运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
难点
勾股定理逆定理的证明。
问题：按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
新知讲解
探索与思考
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证： △ABC是直角三角形．
b
a
c
A
B
C
分析：
1.要证明△ABC是直角三角形，即要证明∠B=______°
2.构造△A’B’C’，使其满足___________________________。
3.如果△ABC ____ △A’B’C’，则△ABC是直角三角形。
90
≌
b
a
c
A’
B’
C’
AB=A’B’,BC=B’C’,∠B’=90°
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5,12,13满足52+122=132,
② 7,24,25满足72+242=252,
③ 8,15,17满足82+152=172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
∵32+42=52，∴满足.
a2+b2=c2
新知讲解
命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
猜想：
这个命题和前面学的命题1（勾股定理）之间有什么关系吗？
1.题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题。
2.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
命题2是正确的吗？你能试着证明吗？
利用勾股定理逆定理判断直角三角形
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？
1）a=15 ，b=8 ，c=17
2）a=13 ，b=14 ，c=15
解：∵152+82=289，172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
△ABC ≌ △A′B′C′
？
∠C是直角
△ABC是直角三角形
A
B
C
a
b
c
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
证一证:
新知讲解
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)，
∴∠C= ∠C′=90° ， 即△ABC是直角三角形.
则
A
C
a
B
b
c
新知讲解
定理与逆定理
一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理是另一个定理的逆定理。
判断勾股数
下列各组数中是勾股数的为（ ）
A．1、2、3 B．4、5、6 C．3、4、5 D．7、8、9
【详解】
解：A．∵12+22=5≠32=9，∴不是勾股数，故A错误；
B．∵42+52=41≠62=36，∴不是勾股数，故B错误；
C．∵32+42=25=52=25，∴是勾股数，故C正确；
D．∵72+82=113≠92=81，∴不是勾股数，故D错误．
新知讲解
根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
例2：某港口P位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile。它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
R
S
Q
P
E
N
解：根据题意画图，如图所示：
PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，
QR=30。
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，
∴∠QPR=90°。
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS=45°。 ∴∠RPS=45°，即“海天”号沿西北方向航行。
R
S
Q
P
E
N
利用勾股定理逆定理判断直角三角形
满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．BC＝1，AC＝2，AB＝B．BC＝1，AC＝2，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【答案】D
【详解】
A．∵12+（）2=22，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵12+22=（）2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．设BC=3x，则AC=4x，AB=5x．
∵（3x）2+（4x）2=（5x）2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠A=45°，∠5=60°，∠C=75°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意．故选D．
例2 如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝ CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．
解：AF⊥EF.理由如下：
设正方形的边长为4a,
则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．
∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
新知讲解
利用勾股定理逆定理解决实际问题
如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗
N
E
P
Q
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解：根据题意，
PQ=16×1.5=24
PR=12×1.5=18
QR=30
∵ ，即
∴∠RPQ=90°
而根据题意∠1=45°
∴∠2=∠RPQ - 45°=45°
同学们，再见