2021-2022 学年第二学期三明市四地四校联考期中考试高二数学标准答案及详细解析
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1．B【解析】 N
7 , ，故M N 5,7,9 ，故选：B.
2
2．D【解析】命题 p : x Z , x2 2x 1，则 p的否定为： x Z , x2 2x 1 .故选：D
3．B【解析】由命题 p构成集合 A {x | x 1}，由命题q构成的集合为 B {x | x 2}，可得 B A，所以命
题 p是q的必要不充分条件.故选：B
1
4．A【解析】由题意 f ( 1) 1 ( 1 4) 5， f ( f ( 1)) f (5) ．故选：A．
5
5．C【解析】由函数 的图象的增减变化趋势,判断函数 取值的正、负情况如下
表: 所以当 时,函数 的图象在 轴下方; 当 时,函数
的图象在 轴上方; 当 时,函数 的图象在 轴下方. 故选:C.
6．D【解析】用事件 A,B分别表示甲 乙两人能破译出密码,则 P(A)
1
, P(B)
1
,且
5 3
P(AB) 4 2 8 8 7 P(A)P(B) .∴此密码能被译出的概率为1 .故选：D
5 3 15 15 15
7．A【解析】因为正实数 a,b满足 a b 1
a b
2
1 1
所以 ab ，当且仅当a b 1， a b，即 a b 取等号，故 A正确、C错误.
2 4 2
1 1 1 1
4
a b ab 2 1 a b ，当且仅当a b 1， a b，即 a b 取等号，故 B、D错误.
2 2
故选:A
8．C【解析】相邻的区域不能用同一种颜色，则涂 5块区域至少需要 3种颜色.
若 5块区域只用 3 3种颜色涂色，则颜色的选法有C5 ，相对的两个直角三角形必同色，此时共有不同的涂色方
案数为C35 A
3
3 60（种）.
若 5块区域只用 4 4种颜色涂色，则颜色的选法有C5 ，相对的两个直角三角形必同色，余下两个直角三角形不
4 1 4
同色，此时共有不同的涂色方案数为C5C2A4 240（种）.
综上，共有不同的涂色方案数为 300（种）.故选：C.
高二数学答案 （共 5 页，第 1 页 ）
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
9．CD【解析】因为 Am C23 3 0! 4
m
，所以 A3 6，
当m 2或m 3时成立，所以 m可能的取值是 2或3，故选：CD．
10．AD【解析】对于 A： f x x 的定义域为 R， g(x) x 2 的定义域为 R，其 g(x) x2 x ，定义域相
同，解析式一致，故是同一函数；
对于 B： f
2
x x 的定义域为 R，g(x) x 的定义域为 0, ，两函数的定义域不相同，故不是同一函数；
x
对于 C： f (x) 的定义域为 x | x 0 ， g(x) 1的定义域为 R，定义域不相同，故不是同一函数；
x
2
对于 D： f x x 1 x2 2x 1， g(t) t 2 2t 1，两函数的定义域相同且函数解析式一致，故是同一函
数；故选：AD
1 2
11．AB【解析】随机变量 X服从两点分布，其中 P X 0 ，∴P（X＝1） ，
3 3
0 1 1 2 2 2 1 2 2 2E（X） ，D（X）＝（0 ）2 （1 ）2 ，
3 3 3 3 3 3 3 9
在 A中，P（X＝1）＝E（X），故 A正确；
2
在 B中，E（3X+2）＝3E（X）+2＝3 2 4，故 B正确；
3
2
在 C中，D（3X+2）＝9D（X）＝9 2，故 C错误；
9
2
在 D中，D（X） ，故 D错误.
9
故选：AB.
12．ACD【解析】因为 E X 9，D X 4，所以平均数是 9，标准差为 2，A正确，B不正确；
因为 P 7 X 11 0.683， P 5 X 13 0.955，P 3 X 15 0.997 .
结合正态曲线的对称性可得，该校学生每周阅读时间不超过 3小时的人数占
1 P 3 X 15 1 0.997
0.15%，C正确；
2 2
P 3 X 15 P 5 X 13
每周阅读时间在 3-5小时的人数占 0.021，
2
0.021 10000 210，所以 D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。双空题第一空 2 分，第二空 3 分。
13． 1【解析】因为 f (x)为奇函数，当 x 0时， f (x) x 1，
所以 f ( 4) f (4) 4 1 1 ，故答案为： 1 .
高二数学答案 （共 5 页，第 2 页 ）
x 1 0
14 1,0 0, x 1 x 0 f (x) x 1． 【解析】由 ，得 且 ， 函数 的定义域为 1,0 0, ；
x 0 x
故答案为： 1,0 0, .
5 23
15． ； 【解析】甲袋中有 3个红球和 2个白球，乙袋中有 4个红球和 1个白球（除颜色外，球的大小、
6 30
形状完全相同）．先从甲袋中随机取出 1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出 1球．
分别以 A1， A2表示由甲袋取出的球是红球和白球的事件，以 B表示由乙袋取出的球是红球的事件，
则P(A )
3 P(A ) 21 ， ， P(B A
5 P(B | A ) 4 2| ) ， ，
5 2 5 1 6 2 6 3
P(B) P(A )P(B A 3 5 2 2 23 5 23∴ 1 1) P(A2 )P(B A2 ) ．故答案为： ； ．5 6 5 3 30 6 30
16． , 2e2 【解析】因为 f (x) (x 1)e x mx ，所以 f (x) xex m，
f (x)在区间[1, 2]上存在单调递增区间， 存在 x [1,2]，使得 f (x) 0，即m xex，
令 g(x) xe x 2，x [1,2]，则 g (x) x 1 ex 0恒成立，所以 g(x) xe x在[1, 2]上单调递增，所以 g x max g 2 2e ，
m 2 2e2，故实数m的取值范围为 , 2e ．
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【解析】（1） B x | 2 x 4 ， -----------------------------2 分
A B x | 2 x 10 . ------------------------------5 分
（2）CRA x | x 3，或 x 10 ， -------------------------------7 分
∴ CRA B x | 2 x 3 . --------------------------------10分
18．【解析】（1）因为所有小矩形面积之和等于 1，
所以10m 0.02 10 0.0375 10 0.0175 10 10m 1，解得m 0.0125， ------------------------3 分
由于参加课外活动时间在[10， 20)内的频率等于0.0125 10 0.125，
因此参加课外活动时间在[10， 20)中的人数为 40 0.125 5人． ------------------------------6 分
（2）设每天参加活动不少于 50分钟的 5人分别为 a，b， c，d ，甲，
从中任选 3人，可能的情况有： abc， abd，ab甲， acd， ac甲， ad甲，bcd，bc甲，bd甲， cd 甲，共 10
种， ------------------------------9 分
设“其中的男生甲被选中”为事件A，
则事件A包括的情况有： ab甲， ac甲， ad甲，bc甲，bd甲， cd 甲，共 6种， -----------------11分
高二数学答案 （共 5 页，第 3 页 ）
6 3
因此事件A发生的概率为 P(A) ． ------------------------------12 分
10 5
注：其他解法亦可酌情给分。
3
19．【解析】（1）由幂函数可知 2m2 m 2 1，解得m 1或m ------------------------------2 分2
当m 1时， f (x) x2，函数为偶函数，符合题意；
m 3当 时， f (x) x7，不符合题意；
2
故求 f x 的解析式为 f (x) x2 ------------------------------------------6 分
（2）由（1）得： g(x) f (x) 2(a 1)x 1 x2 2(a 1)x 1 ------------------------------7 分
函数的对称轴为： x a 1，开口朝上
f (0) 1， f (4) 17 8(a 1) ------------------------------9 分
由题意得在区间 0,4 上 fmax (x) f (4) 17 8(a 1) 9，解得 a 2 ------------------------------11分
所以实数 a的值为 2. ------------------------------12 分
20．【解析】（1）所有不同的排法种数 . ------------------------------4 分
3m
（2）由（1）知, x 1
9
4 1
x ,
x x
9
1 9 3r
∴ x 的展开式的通项公式为T C r x 2 , ------------------------------8 分
x r 1 9
令 ,解得 , ------------------------------10 分
C3 84
展开式中的常数项为 9 . ------------------------------12 分
21 1．【解析】(1)成绩为“良好”和“优秀”的两组频率合计0.5，共50人，抽样比为 ．
10
所以成绩为“良好”的抽取30
1
3 1人，成绩为“优秀”的抽取 20 2人．
10 10
C2 1
所以抽到的竞赛得分都是“优秀”的概率为 P 22 ． ------------------------------4 分C5 10
(2)由题意知， X 的可能取值 0，1， 2，3． ------------------------------6 分
20 1
由题可知，任意 1名学生竞赛得分“优秀”的概率为 P1 ，竞赛得分不是“优秀”的概率为100 5
1
P 1 4 2 1 P1 1 ．若以频率估计概率，则 X 服从二项分布 B 3, ．5 5 5
高二数学答案 （共 5 页，第 4 页 ）
0 3 1 2
P X 0 C 0 1 4 643 ； P X 1 C 1
1 4 48
3 ；
5 5 125 5 5 125
2 1 3 0
P X 1 4 12 2 C 2 P X 3 C 3 1 4 13 5 5 ； 3 ． 125 5 5 125
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
64 48 12 1
P
125 125 125 125
------------------------------10分
E X 0 64 1 48 12 1 3 2 3
125 125 125 125 5． ------------------------------12分
22．（1）增区间为 (1, )，减区间为 (0, 1)；（2） ( ，1]．
1
【解析】（1） f (x)的定义域为 (0， )，求导可得 f (x) a ， ------------------------------2 分
x
由 f (1) 0得 a 1 0 a 1， ------------------------------4 分
∴ f (x) x ln x， f (x) 1
1
，
x
令 f (x) 0得0 x 1；令 f (x) 0得 x 1，
所以 f (x) 的增区间为 (0, 1)，减区间为 (1, )． ------------------------------6 分
（2）由题意： ax ln x x2，即 ax x 2 ln x，
x 1 a x ln x ， 恒成立． ------------------------------8 分
x
g(x) x ln x g (x) 1 1 ln x x
2 ln x 1
令 ，则 ，
x x2 x2
1
令 h(x) x 2 ln x 1 ，则 h (x) 2x 0，
x
h(x)在 (1， )上单调递增，
又 h(1) 0，∴当 x (1， )时， h(x) 0， g (x) 0 ，
g(x)在 (1， ) 上单调递增，
所以 g(x)min g(1) 1， ------------------------------10分
∴当 a 1时， a g (x)恒成立，
∴a的取值范围为 ( ，1]． ------------------------------12 分
高二数学答案 （共 5 页，第 5 页 ）2021-2022 学年第二学期三明市四地四校联考期中考试联考协作卷
高二数学试卷
（满分 150 分，完卷时间 120 分钟）
学校__________ 班级________ 姓名___________ 座号_______
第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设集合M 1,3,5,7,9 ,N x 2x 7 ，则M N （ ）
A． 7,9 B． 5,7,9 C． 3,5,7,9 D． 1,3,5,7,9
2．设命题 p : x Z , x2 2x 1，则 p的否定为（ ）
A． x Z , x2 2x 1 B． x Z , x2 2x C． x Z , x2 2x 1 D． x Z , x2 2x 1
3．已知命题 p : x 1，命题q : x 2，则 p是 q的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
1
, x 0
4．已知函数 f x x ，则 f f 1 的值为（ ）
x x 4 , x 0
1
A． B． 5 C．5 D．3
5
5．已知函数 的图象如右图所示,则函数 的图象可能是图中的（ ）
A. B. C. D.
1 1
6．甲 乙两人独立地去译一个密码,译出的概率分别 、 ，现两人同时去译此密码，则该密码能被译出的概率
5 3
是（ ）
1 14 8 7
A． B． C． D．
15 15 15 15
7．若正实数 a,b满足 a b 1，则（ ）
1 1 1
A．ab有最大值 B． 有最大值 4
4 a b
1 1 1
C． ab有最小值 D． 有最小值 2
4 a b
高二数学试卷 （共 4 页，第 1 页 ）
8．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.
右图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用 4种不同的颜色对
这四个直角三角形和一个正方形区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不
同的涂色方案有（ ）
A．180 B．192 C．300 D．420
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9 m 2．已知 A3 C3 0! 4，则 m可能的取值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．下列函数中，是同一函数的有（ ）
2
A． f x x , g(x) x2 B． f x x , g(x) x
C． f (x)
x
, g(x) 1 D． f x x 1 2 , g(t) t 2 2t 1
x
1
11．若随机变量 X服从两点分布，其中 P X 0 ，E（X）、D（X）分别为随机变量 X均值与方差，则下
3
列结论正确的是（ ）
4
A．P（X＝1）＝E（X） B．E（3X+2）＝4 C．D（3X+2）＝4 D．D X
9
12．4月 23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间 X 服从正态分布 X ~ N 9,4 ，则（ ）
2
（附： X ~ N , ， P X 0.683， P 2 X 2 0.955，
P 3 X 3 0.997 .）
A．该校学生每周平均阅读时间为 9小时；
B．该校学生每周阅读时间的标准差为 4；
C．该校学生每周阅读时间不超过 3小时的人数占 0.15%；
D．若该校有 10000名学生，则每周阅读时间在 3-5小时的人数约为 210.
第Ⅱ卷(非选择题 90 分)
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。双空题第一空 2 分，第二空 3 分。
13．已知 f (x)为奇函数，当 x 0时， f (x) x 1，则 f ( 4) ___________.
14．函数 f x x 1 的定义域是__________________.
x
15．甲袋中有 3个红球和 2个白球，乙袋中有 4个红球和 1 个白球（除颜色外，球的大小、形状完全相同）.
高二数学试卷 （共 4 页，第 2 页 ）
先从甲袋中随机取出 1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出 1球.分别以 A1、 A2表示由甲袋取出的球是红球和白
球的事件，以 B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则 P B | A1 ________， P B ________.
16．已知函数 f (x) (x 1)e x mx 在区间 x [1,2]上存在单调增区间，则 m的取值范围为_____________.
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
已知集合 A x | 3 x 10 ，集合B x | (x 2)(x 4) 0 ，
（1）求 A B；
（2）求 (CRA) B．
18．（12 分）
某班主任对本班 40名同学每天参加课外活动的时间进行统计，并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中[10，
20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）在纵轴上对应的高度分别为 m，0.02，0.0375，0.0175，m.
（1）求实数 m的值以及参加课外活动时间在[10，20）中的人数；
（2）从每天参加活动不少于 50分钟的同学（含男生甲）中任选 3人，
求男生甲被选中的概率．
19．（12 分）
f (x) 2m2已知幂函数 m 2 x4m2 2 (m R)为偶函数．
（1）求 f x 的解析式；
（2）若函数 g(x) f (x) 2(a 1)x 1在区间 0,4 上的最大值为9，求实数 a的值．
20．（12 分）
已知 5 名同学站成一排,要求甲站在正中间,乙不站在两端,记满足条件的所有不同的排法种数为 .
（1）求 的值;
3m
（2 4）求二项式 1 x
的展开式中的常数项.
x
高二数学试卷 （共 4 页，第 3 页 ）
21．（12 分）
2022年 2月 20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩．北京冬奥会的成功举办推动了我国
冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动．某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了
100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：
竞赛得分 50,60 60,70 70,80 80,90 90,100
频率 0.1 0.1 0.3 0.3 0.2
（1）如果规定竞赛得分在 80,90 为“良好”，竞赛得分在 90,100 为“优秀”，从成绩为“良好”和“优秀”的两组
学生中，使用分层抽样抽取 5人．现从这 5人中抽取 2人进行座谈，求两人竞赛得分都是“优秀”的概率；
（2）以这 100 名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的概
率．现从该校学生中随机抽取 3人，记竞赛得分为“优秀”的人数为 X ，求随机变量 X 的分布列及数学期望．
22．（12 分）
已知 f (x) ax ln x(a R)．
（1）若曲线 y f (x) 在点 (1，f (1))处的切线斜率为 0，求 f (x) 的单调区间；
2 f (x) x2（ ）若 在(1, + ∞)上恒成立，求实数 a的取值范围．
高二数学试卷 （共 4 页，第 4 页 ）
