江川区第二中学2021-2022学年下学期高二年级期中考试
——数学学科试题（答案及解析）
单选题（每题5分，共40分）
1 2 3 4 5 6 7 8
C C A B C D D A
多选题(每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)
9 10 11 12
ACD AC ABD AB
填空题（每题5分，共20分）
存在x∈R，使得x3<0 14. 1
15. 16. 2 045
简答题
(10分）
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＋a5＝2a3＝－12，a4＋a8＝2a6＝0，
所以所以解得
所以an＝－10＋2(n－1)＝2n－12，n∈N*.
(2)设等比数列{bn}的公比为q，
因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，所以－8q＝－24，即q＝3，
因此bn＝b1·qn－1＝(－8)×3n－1，n∈N*.
（12分）
解 (1)由题意，得f′(x)＝6x2－2ax，
f′(1)＝0，则a＝3. f(x)＝2x3－3x2＋4，f′(x)＝6x(x－1)，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(1，＋∞)．
(2)当x∈[－1,2]时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
x －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) －1 ? 极大值 ? 极小值 ? 8
当x＝－1时，f(－1)＝2(－1)3－3(－1)2＋4＝－1；当x＝1时，f(1)＝2－3＋4＝3，
所以当x∈[－1,2]时，函数f(x)的最小值为－1.
（12分）
解 (1)由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.
(2)随机变量Y的所有可能取值为0,1,2，且Y服从超几何分布．
所以P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，P(Y＝2)＝＝.
所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
所以Y的均值E(Y)＝1×＋2×＝.
（12分）
解 由题意知，X～B(n，p)，P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1，…，n.
(1)由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝，得1－p＝，则n＝6，p＝.
X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(X≤3)，
得P(A)＝＋＋＋＝，
所以需要补种沙柳的概率为.
（12分）
解 (1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，
故设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则有解得a2＝3，b2＝2.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2 ，又|MF1|＋|MF2|＝6，
故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，
而cos ∠MF2F1＝<0 ，
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．
（12分）
(1)证明 如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知各点坐标如下：
A(0，－，0)，B(1,0,0)，A1(0，－，4)，
B1(1,0,2)，C1(0，，1)．
因此＝(1，，2)，＝(1，，－2)，
＝(0,2，－3)．
由·＝0得AB1⊥A1B1.由·＝0得AB1⊥A1C1，
又A1B1∩A1C1＝A1，A1B1，A1C1 平面A1B1C1，
所以AB1⊥平面A1B1C1.
(2)解 设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.
由(1)可知＝(0,2，1)，＝(1，，0)，＝(0,0,2)．设平面ABB1的法向量为n＝(x，y，z)．
由得令y＝1，则x＝－，z＝0，
可得平面ABB1的一个法向量n＝(－，1,0)．
所以sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.
因此直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.江川区第二中学 2021-2022 学年下学期高二年级期中考试
数学学科试题
考试时间：120分钟
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．已知 A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则 A∩B等于( )
A．{2,1} B．{x＝2，y＝1} C．{(2,1)} D．(2,1)
2
2．设 i是虚数单位，则复数 i3－ 等于( )
i
A．－i B．－3i C．i D．3i
3．6本不同的书摆放在书架的同一层上，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本
书必须相邻，则不同的摆放方法有( )
A.24 种 B.36 种 C.48 种 D.60种
4．已知向量 a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且 a⊥b，则|a＋b|等于( )
A. 5 B. 10 C．2 5 D．10
5．过点(0，－2)且与直线 x＋2y－3＝0垂直的直线方程为( )
A．2x－y＋2＝0 B．x＋2y＋2＝0
C．2x－y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
6．设函数 f(x)＝ax3＋b，若 f′(－1)＝3，则 a的值为( )
A 1 1．－1 B. C． D.1
2 3
7．设曲线 y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为 y＝2x，则 a等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4 2
8．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是 ，刮风的概率为 ，在下雨天里，刮风的
15 15
3
概率为 ，则既刮风又下雨的概率为( )
8
A. 1 B.1 C. 8 D.3
10 2 225 4
二 多选题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2分，有选错的得 0 分.)
答案第 1页，总 4页
9.已知曲线C :mx2 ny2 1 .( )
A.若m n 0，则 C是椭圆，其焦点在 y 轴上
B.若m n 0，则 C是圆，其半径为 n
C. m若mn 0，则 C是双曲线，其渐近线方程为 y x
n
D.若m 0， n 0，则 C是两条直线
10．已知离散型随机变量 X的分布列如表所示： X 0 1 2
下列选项中正确的是( ) P a 4a 5a
A．a的值为 0.1 B．E(X)＝0.44
C．E(X)＝1.4 D．D(X)＝1.4
11．对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是( )
A．若 cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形
B．若 A＞B，则 sin A＞sin B
C．若 a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若 sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形
12．下列说法中正确的是( )
1
A．设随机变量 X服从二项分布 B（6， ），则 P(X＝3) 5＝
2 16
B．已知随机变量 X服从正态分布 N(2，σ2)且 P(X＜4)＝0.9，则 P(0＜X＜2)＝0.4
C．已知随机变量 X～N(0，σ2)，若 P(|X|＜2)＝a，则 P(X 2) 1＋a＞ 的值为
2
D．E(2X＋3)＝2E(X)＋3；D(2X＋3)＝2D(X)＋3
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分.）
13．命题“对任意 x∈R，都有 x3≥0”的否定为__________________________________．
. (2x+ )7 114 若二项式 的展开式中 的系数是 84，则实数 a＝________.
x3
15.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”做了一次调
1 1
查，其中女生人数是男生人数的 ，男生追星的人数占男生人数的 ，女生追星的人数占女
2 6
2
生人数的 .现随机选择一名学生，则这名学生追星的概率是________．
3
16.已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，则 a10＝________.
答案第 2页，总 4页
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17．（10 分）已知数列{an}为等差数列，且 a1＋a5＝－12，a4＋a8＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足 b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求数列{bn}的通项公式．
18．（12 分）已知函数 f(x)＝2x3－ax2＋4，x＝1是函数 f(x)的一个极值点．
(1)求函数 f(x)的单调递增区间；
(2)当 x∈[－1,2]时，求函数 f(x)的最小值．
19.（12 分）某学院为了调查本校学生 2021年 4月“健康上网”(健康上网是指每天上网
不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了 40名本校学生，统计他们在该月 30天内健康上
网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出
样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求这 40名学生中健康上网天数超
过 20天的人数；
(2)现从这 40名学生中任取 2 名，设 Y为取出的 2 名学生中
健康上网天数超过 20天的人数，求 Y的分布列及均值 E(Y)．
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20.（12 分）为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人
一次种植了 n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为 p，设 X为成活沙柳
的株数，均值 E(X)为 3 6，标准差 D X 为 .
2
(1)求 n和 p的值，并写出 X的分布列；
(2)若有 3株或 3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．
21．（12 分）已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆 4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点 M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6 3，试判断△MF1F2的形
状．
22．（12 分）如图，在多面体 ABCA1B1C1中，A1A，B1B，C1C均垂直于平面 ABC，∠ABC
＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.
(1)证明：AB1⊥平面 A1B1C1；
(2)求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值．
答案第 4页，总 4页
