用几何法求二面角教案（黄汉明）
文档属性
| 名称 | 用几何法求二面角教案（黄汉明） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 114.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-04-14 22:39:22 | ||
图片预览
文档简介
用几何法求二面角教案（参考）
教学目标：
1．知识与技能：掌握二面角及二面角的平面角的概念并能用几何法求解。
2．过程与方法：通过实例教学提高逻辑思维能力，渗透等价转化思想；通过图形结构分析，掌握由定义出发“找—证—求”二面角的平面角的几何方法，提高空间想象能力和运算求解能力。
3．情感态度与价值观：培养学生探究数学的兴趣，增强把立体几何平面化处理的意识。
教学重点：用几何法求二面角。
教学难点：找二面角的平面角。
教学过程：
一．情景引入
教师：同学们好，这节课我们一起来探讨一下求二面角的几何法，至于向量法等我们复习到向量的应用再来研究。这两年高考都考到二面角，用传统的几何法解决都很方便，但是
得分率并不高，大家说说这是为什么？
学生全体：太难了，找不到这个角
教师：那我们就针对这个难点，
探究一下如何找二面角的平面角好吗？
学生全体：好。
教师：请看题。做好了举手回答。
如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，
AC交BD于点O，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，
问题1：二面角P—AB—D的大小为__900__。
填一填
从一条直线出发的两个 半平面 所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的 棱 ，这两个半平面叫做二面角的 面 。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作 垂直于棱的 两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，其范围是 [0,π] 。
质疑探究 1 用几何法求解二面角的步骤是什么？
学生A：一找二证三求。
二．题组变式训练
问题2：二面角P—CD—A的大小为___450___。
教师：请同学们找出平面角并说明理由
学生B：平面角是∠PDA，因为棱是CD，CD⊥DA,CD⊥DP,由定义可得
问题3：请你在上图中作出二面角P—BD—A的平面角，它的正切值为。
问题4：请你在上图中作出二面角P—AC—B的平面角，它的大小为 900 。
教师：请两个同学上来分别作图，并说明理由，解出值（也可以提问，教师作图）
学生C：连接PO，则∠POA是二面角的平面角，因为可以证明棱BD垂直面PAO，即BD垂直OA和OP，由定义可得。tan∠POA=PA/AO=
学生D：取PC中点H，连结HO，HB，则∠HOB是二面角的平面角，因为可以证明棱AC垂直OB和OH，由定义可得。
质疑探究 2 如何找二面角的平面角？关键是什么？
学生E：在一个平面内选一点A向另一平面作垂线AB，
垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，
连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
可简记为“两垂一连”。
关键是找或作出其中一个面的垂线
问题5： 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，AC交BD于点O，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，求二面角B—PC—A的正弦值。
学生F上去板书：
解：过B作BE⊥PC，连结OE，
由题4可知BO⊥面PAC，而PC面PAC，
所以BO⊥PC，又BE∩BO=B
所以PC⊥面BEO，EO面BEO
所以PC⊥EO，所以∠BEO是二面角B—PC—A的平面角
在RtPBC中，BO=，
所以
三．体验高考（2012广东高考理18）
如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，
平面，点在线段上，平面。
证明：平面；（当成已知条件）
若，求二面角的正切值。
（不展开讲，让学生体验并简单找出平面角就得了）
解：（1）平面，面
平面，面
又面
（2）设AC与BD交点为O，连
∵ OE面BDE ∴ 同理
∴ 为二面角的平面角
∵ AC面PAC ∴
∴ ∴
在，
∴
∴ 二面角的平面角的正切值为3
四．小结：
用几何法求解二面角的步骤？最关键的地方是什么？
学生：一找二证三求，关键是找出二面角的平面角，而找平面角的关键是找或作出其中一个面的垂线。
五．作业：
在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的正切值大小。
解：（垂线法）如图PA⊥平面BD 过A作AH⊥BC于H，连结PH则PH⊥BC 又AH⊥BC
故∠PHA是二面角P-BC-A的平面角， 在Rt△ABH中，AH=ABsin∠ABC=aSin30°= 在Rt△PHA中，tan∠PHA=PA/AH=
六．板书设计：
七．教学后记：
八．课后练习
1．在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小为_________________
解（补形化为定义法）如图 将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN，
则PQ⊥PA、PD，于是∠APD是两面所成二面角的平面角。
在Rt△PAD中，PA=AD，则∠APD=45°。
即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°
2．（2011广东）在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60，,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点.
(1)证明：AD 平面DEF；
(2) 求二面角P-AD-B的余弦值。
（1）证明：取的中点，连接
∵，∴
∵在边长为1的菱形中，
∴△是等边三角形∴，
∴平面∴
∵分别是的中点∴∥，∥
∴，，∴平面
（2）解：由（1）知，
∴是二面角的平面角
易求得
∴
∴二面角的余弦值为
教学目标：
1．知识与技能：掌握二面角及二面角的平面角的概念并能用几何法求解。
2．过程与方法：通过实例教学提高逻辑思维能力，渗透等价转化思想；通过图形结构分析，掌握由定义出发“找—证—求”二面角的平面角的几何方法，提高空间想象能力和运算求解能力。
3．情感态度与价值观：培养学生探究数学的兴趣，增强把立体几何平面化处理的意识。
教学重点：用几何法求二面角。
教学难点：找二面角的平面角。
教学过程：
一．情景引入
教师：同学们好，这节课我们一起来探讨一下求二面角的几何法，至于向量法等我们复习到向量的应用再来研究。这两年高考都考到二面角，用传统的几何法解决都很方便，但是
得分率并不高，大家说说这是为什么？
学生全体：太难了，找不到这个角
教师：那我们就针对这个难点，
探究一下如何找二面角的平面角好吗？
学生全体：好。
教师：请看题。做好了举手回答。
如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，
AC交BD于点O，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，
问题1：二面角P—AB—D的大小为__900__。
填一填
从一条直线出发的两个 半平面 所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的 棱 ，这两个半平面叫做二面角的 面 。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作 垂直于棱的 两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，其范围是 [0,π] 。
质疑探究 1 用几何法求解二面角的步骤是什么？
学生A：一找二证三求。
二．题组变式训练
问题2：二面角P—CD—A的大小为___450___。
教师：请同学们找出平面角并说明理由
学生B：平面角是∠PDA，因为棱是CD，CD⊥DA,CD⊥DP,由定义可得
问题3：请你在上图中作出二面角P—BD—A的平面角，它的正切值为。
问题4：请你在上图中作出二面角P—AC—B的平面角，它的大小为 900 。
教师：请两个同学上来分别作图，并说明理由，解出值（也可以提问，教师作图）
学生C：连接PO，则∠POA是二面角的平面角，因为可以证明棱BD垂直面PAO，即BD垂直OA和OP，由定义可得。tan∠POA=PA/AO=
学生D：取PC中点H，连结HO，HB，则∠HOB是二面角的平面角，因为可以证明棱AC垂直OB和OH，由定义可得。
质疑探究 2 如何找二面角的平面角？关键是什么？
学生E：在一个平面内选一点A向另一平面作垂线AB，
垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，
连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
可简记为“两垂一连”。
关键是找或作出其中一个面的垂线
问题5： 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，AC交BD于点O，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，求二面角B—PC—A的正弦值。
学生F上去板书：
解：过B作BE⊥PC，连结OE，
由题4可知BO⊥面PAC，而PC面PAC，
所以BO⊥PC，又BE∩BO=B
所以PC⊥面BEO，EO面BEO
所以PC⊥EO，所以∠BEO是二面角B—PC—A的平面角
在RtPBC中，BO=，
所以
三．体验高考（2012广东高考理18）
如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，
平面，点在线段上，平面。
证明：平面；（当成已知条件）
若，求二面角的正切值。
（不展开讲，让学生体验并简单找出平面角就得了）
解：（1）平面，面
平面，面
又面
（2）设AC与BD交点为O，连
∵ OE面BDE ∴ 同理
∴ 为二面角的平面角
∵ AC面PAC ∴
∴ ∴
在，
∴
∴ 二面角的平面角的正切值为3
四．小结：
用几何法求解二面角的步骤？最关键的地方是什么？
学生：一找二证三求，关键是找出二面角的平面角，而找平面角的关键是找或作出其中一个面的垂线。
五．作业：
在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的正切值大小。
解：（垂线法）如图PA⊥平面BD 过A作AH⊥BC于H，连结PH则PH⊥BC 又AH⊥BC
故∠PHA是二面角P-BC-A的平面角， 在Rt△ABH中，AH=ABsin∠ABC=aSin30°= 在Rt△PHA中，tan∠PHA=PA/AH=
六．板书设计：
七．教学后记：
八．课后练习
1．在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小为_________________
解（补形化为定义法）如图 将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN，
则PQ⊥PA、PD，于是∠APD是两面所成二面角的平面角。
在Rt△PAD中，PA=AD，则∠APD=45°。
即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°
2．（2011广东）在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60，,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点.
(1)证明：AD 平面DEF；
(2) 求二面角P-AD-B的余弦值。
（1）证明：取的中点，连接
∵，∴
∵在边长为1的菱形中，
∴△是等边三角形∴，
∴平面∴
∵分别是的中点∴∥，∥
∴，，∴平面
（2）解：由（1）知，
∴是二面角的平面角
易求得
∴
∴二面角的余弦值为