课件17张PPT。北师大版九年级数学（下）第三章 圆 义务教育课程标准实验教科书 3.4 确定圆的条件厦门市金尚中学 刘丽丽 长沙马王堆一号汉墓的发掘，在我国的考古界算得上惊人的发现，在世界考古学史上，也产生了深远的影响。 一位考古学家在马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家将这个破损的圆形瓷器复原，以便于进行深入的研究吗？3.4确定圆的条件厦门市金尚中学 刘丽丽1、过一点可以作几条直线？2、过几点可确定一条直线？知识回顾●A●A●B
1、过一个已知点A如何作圆？ A探索一：探索一 经过一个已知点A能确定一个圆吗? 经过一个已知点能作无数个圆
探索二 经过两个已知点A、B能确定一个圆吗?●A●B探索三 经过三个已知点A，B，C能确定一个圆吗？不在同一直线上的三点确定一个圆现在你知道了怎样要将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？方法:
1、在圆弧上任取三点A、B、C。
2、作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心。
3、以点O为圆心，OC长为半径作圆。
⊙O即为所求。ABCO小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）破镜重圆A.第①块B.第②块C.第③块D.第④块A定义经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆.外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等。CBA外接圆的圆心叫做三角形的外心.这个三角形叫做圆的内接三角形.锐角三角形的外心位于三角形内.
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点.
钝角三角形的外心位于三角形外.归纳总结1、判断：
（1）经过三点一定可以作圆。（ ）
（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平 分线的交点。（ ）
（3）三角形的外心到三边的距离相等。（ ）
（4）等腰三角形的外心一定在三角形内（ ）小试牛刀×√××2、下列命题不正确的是( )
A.过一点有无数个圆. B.过两点有无数个圆.
C.弦是圆的一部分. D.过同一直线上三点不能画圆.
3、三角形的外心具有的性质是( )
A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等.
C.外心在三角形的外. D.外心在三角形内.小试牛刀CB如图，△ABC的外接圆的圆心的坐标是 。巩固练习谈收获:（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆。（2）外接圆，外心的概念以及不同三角形 外心的位置。知识方面：方法方面：（1）类比的数学方法。（2）分类讨论的数学方法。（3）探究问题的方法及注意事项。课后探究记录卡盛年不重来,一日难再晨,及时宜自勉,岁月不待人.结束寄语：确定圆的条件
（北师大版九年级下册第三章第四节）
厦门市金尚中学 刘丽丽
课题
确定圆的条件
学
生
状
况
分
析
知识技能基础
通过本章前面几节课的学习，学生知道经过一点可以画无数条直线，经过两点有且只有一条直线等知识。同时具备了用尺规作“线段垂直平分线”等操作技能，掌握了“线段垂直平分线的性质”。
活动经验基础
在经过点画直线等知识的学习过程中，学生具备了一定的合作精神和探究能力，具有一定的分类讨论的数学思想方法和类比方法。
教
学
任
务
分
析
教材的地位及作用
本节课的内容是本章第一节内容的延续，学生已积累了画一个圆的经验，同时为今后进一步学习圆的相关知识奠定了基础，具有承前启后的作用。
教
学
目
标
知识与技能
1.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法。
2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。
过程与方法
1．经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力。
2．通过探索不在同一直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略。
情感态度
与价值观
形成解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。
教学重点 与
难点
重点
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论。
2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法。
3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。
难点
经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆。
教法
与
学法
结合学生的年龄特征，采用启发探究式教学方法，充分发挥学生的主观能动性，让学生在猜想、探究、交流的过程中获取知识，掌握方法。
教具与
学具
圆规、直尺、ppt课件。
教
学
过
程
分
析
步骤
教师活动
学生活动
设计意图
（一）
创设 情境，引入新课
多媒体投影展示问题：一位考古学家在马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家将这个破损的圆形瓷器复原，以便于进行深入的研究吗？
思考多媒体投影中问题，尝试如何帮助考古学家复原破损瓷器。
根据初中学生的年龄特征，依靠生活背景，引发学生注意，使学生产生好奇心，激发学习的兴趣。
课题
确定圆的条件
教
学
过
程
分
析
步骤
教师活动
学生活动
设计意图
（一）创设
情境，引入
新课
1.引导学生思考：帮助考古学家复原瓷器就是要画一个与原瓷器大小一样的圆。这样将生活实际问题转化为数学问题。
2.确定圆需要哪些要素呢？
3.在瓷器碎片上很难直接找到圆心和半径，引导学生寻找隐藏条件。
思考并回答确定圆的两要素：圆心位置，半径大小。
进一步明确：找到圆心，确定半径的大小是问题的关键。
培养学生将实际生活中的问题抽象为数学问题的能力，并使学生体会到数学来源于生活。
（二）回顾
旧知，激发
探索
回顾在之前的学习中我们是如何确定直线：
1.过一点可以作几条直线？
2.过几点可确定一条直线？
3.引导学生思考：既然点可以作为确定直线的条件，那么是否也可以作为确定圆的条件呢？
1.学生动手画过一点的直线，可以画无数条这样的直线。
2.学生动手画过一点的直线：
. .
得出结论：
过两个已知点可以确定一条直线。
“学生原有的知识和经验是教学活动的起点”通过复习确定直线的方法，启发学生用类比的方法探索确定圆的条件。
（三）合作
交流，合作
探究
类比确定直线的方法，用点作为确定圆条件：
1.探索一：
（1）经过一个已知点A能确定一个圆吗?
（2）这时圆心和半径都是确定的吗？
学生动手画过一点的圆，并小组讨论交流。
得出结论：
经过一个已知点能作无数个圆。
（圆心、半径均不确定）
让学生动手实践，充分交流，通过探究、讨论、交流得到过一个已知点可以作无数多个圆
课题
确定圆的条件
教
学
过
程
分
析
步骤
教师活动
学生活动
设计意图
（三）合作
交流，合作
探究
2.探索二：
（1）经过两个已知点A，B能确定一个圆吗?
（2）如何确定圆心才能使圆心到两个点的距离相等？
（3）这时圆心和半径都是确定的吗？
3.探索三：
（1）经过三个已知点A，B，C能确定一个圆吗?
（2）如何确定圆心才能使圆心到三个点的距离相等？能否受到上一个探究的启发呢？
（3）这时圆心和半径都是确定的吗？
学生动手画过两个点的圆，并小组讨论交流。
得出结论：
经过两个已知点能作无数个圆。
（圆心在两点所连线段的垂直平分线上，半径不确定）
学生动手画过三个点的圆，并小组讨论交流。
大部分同学的作法：
作法：
1.作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心。
2.以点O为圆心，OC长为半径作圆。
则⊙O即为所求。
也有小部分同学有不同的结论：
得出结论：
不在同一直线上的三点确定一个圆。
重视学生的课堂参与。让学生在活动中自主探究以及与同伴交流，有条理的进行思考和表达思考的过程，获得分析问题和解决问题的能力。
苏霍姆林斯基说过：“应该让我们的学生在每一节课上都感到热烈的、沸腾的、多姿多彩的精神生活。”通过作过三个点圆这一活动，让学生真正“动”、“活”起来，使学生的学习热情高涨，并通过小组讨论交流得出两种不同的作图，使学生初步体会分类讨论的数学思想方法。
课题
确定圆的条件
教
学
过
程
分
析
步骤
教师活动
学生活动
设计意图
（四）巩固
新知，解决
问题
1.现在你知道了怎样要将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？
作法:
1、在圆弧上任取三点A、B、C。
2、作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心。
3、以点O为圆心，OC长为半径作圆。
⊙O即为所求。
在学生探究得出确定圆的方法后，马上解决实际问题，培养成功感，同时使学生体会到数学知识服务于生活。
2.破镜重圆：
小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）
A.第①块 B.第②块
C.第③块 D.第④块
利用所学知识思考并选出正确答案A
进一步巩固所学知识。
（五）动手
操作，再探
新知
介绍几个概念：
1.经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
2.外接圆的圆心叫做三角形的外心.这个三角形叫做圆的内接三角形。
思考：
1.三角形的外心到三角形各顶点距离有何关系？
2.如何画三角形的外接圆？
1.根据三角形外接圆的定义可以回答出三角形外心到三个顶点的距离相等。
2.通过画三角形两边的中垂线的得到交点即为圆心，进而确定半径画出外接圆。
培养学生独立思考，解决问题的能力。
课题
确定圆的条件
教
学
过
程
分
析
步骤
教师活动
学生活动
设计意图
（五）动手
操作，再探
新知
让学生画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆并讨论交流它们外心的位置。
学生动手画三类三角形的外接圆，并小组讨论交流外心位置。
归纳总结：
锐角三角形的外心位于三角形内。
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点。
钝角三角形的外心位于三角形外。
巩固确定外接圆的方法并使学生进一步体会分类讨论的数学思想方法。
（六）自主
评价，反馈
提高
利用所学知识解答：
1、判断：
（1）经过三点一定可以作圆。（ ）
（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点。（ ）
（3）三角形的外心到三边的距离相等。（ ）
（4）等腰三角形的外心一定在三角形内。（ ）
2、下列命题不正确的是( )
A.过一点有无数个圆。
B.过两点有无数个圆。
C.弦是圆的一部分。
D.过同一直线上三点不能画圆。
3、三角形的外心具有的性质是( )
A.到三边的距离相等。
B.到三个顶点的距离相等。
C.外心在三角形的外。
D.外心在三角形内。
4.如图，△ABC的外接圆的圆心的坐标是 。
学生思考并回答。
通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
课题
确定圆的条件
教
学
过
程
分
析
步骤
教师活动
学生活动
设计意图
（七）浅谈
体会，感悟
反思
这节课的学习让你有哪些收获呢？
可以分别从知识角度，思想方法角度来谈一谈。
学生自由讨论交流归纳总结本节课的收获：
1.知识方面：
(1)不在同一直线上的三个点确定一个圆。
(2)外接圆，外心的概念以及不同三角形 外心的位置。
2.方法方面：
（1）类比的数学方法。
（2）分类讨论的数学方法。
（3）探究问题的方法及注意事项。
通过与同伴交流，学生互相补充进行小结，培养学生合作学习的意识与独立归纳总结的能力。
（八）课后
探究，提升
能力
布置课后作业：
课后探究记录卡
问题：平面上的四个点能不能确定一个圆？
探索过程：
验证过程：
收获与发现：
根据维果茨基的最近发展区理论，教学应适应最近发展区，走在发展的前面并最终跨越最近发展区而达到新的发展水平。本节的课后作业就是将课内的探究延伸至课外，进一步发展学生探究问题解决问题的能力。
课题
确定圆的条件
课
后
反
思
一、设计意图
苏联著名教育学教苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者”。我们知道，现在初中学生自我意识很强，这种需要表现尤为强烈。因此，本节课我着力构建一节思维活动的数学课堂，重点放在教师创造良好的问题情境，唤醒学生的主体意识，激发学生强烈的探究欲望，通过师生之间、生生之间的有效互动，追溯知识的内在联系，真正渗透数学思想方法，发展学生的数学思维。在此过程中，教师的作用就是更好地组织、引导、激励学生进行自主探究学习。在教学手段上，采用了多媒体辅助教学，将静态知识动态生成，既吸引了学生的注意力，又加深了学生对知识的理解；在教学方式上，采用了“以问题引导思维”的方式，很好地培养了学生自己发现问题、提出问题、探究并解决问题的能力。
二、课后反思
首先我认为这节课的成功之处可以用四个“有”来概括，
第一是“有趣”：
通过“帮助考古学家复原瓷器碎片”这一问题情境出发，引导学生思考确定圆的条件，从知识的内在魅力激发学生的探究欲望，让学生利用所学的数学知识解决生活中的实际问题，进而有利用确定圆的方法解决生活中的“破镜重圆”问题，使学生体会到“数学来源于生活又服务于生活”，使学生进一步认识数学就在我们身边，从而大大提高了学生学习数学的兴趣。
第二是“有动”：
本节课以“寻找圆心，确定半径”这个主线展开了“过一个、两个、三个点能否确定一个圆”的连续三个探究活动，由易到难逐步引导学生进行思考，充分调动学生的主观能动性，培养学生实验探究能力。探究活动采取小组间学生相互讨论的形式进行，教师把大量的时间留给学生，让他们实验猜想、动手探究、合作交流，这使全体学生都动起来。
第三是“有思”：
在整节课的教学过程中，我不仅传授给学生数学知识，还向学生渗透了一些数学思想方法和解题技巧，例如：在探索过平面三个点能否确定圆时，将平面上三个点的位置分为两类来讨论，这是学生初步感受到了分类讨论的数学思想；在课堂反馈环节中寻找网格中三角形外心位置时，我教给学生选择特殊位置的边才会比较容易的作出中垂线进而准确找到外心位置的解题技巧，这些思想方法和解题技巧都为学生今后的的数学学习奠定了基础。
第四是“有情”：
本节课一系列的探究活动采取小组间学生相互讨论的形式进行，动手探究、合作交流，这有效地激发了学生的求知欲和自信心，形成了良好的学习态度，同时也进一步培养学生团结协作意识。
最后来谈一下本节课让我感到比较遗憾之处：
这节课一下课，就有一个学生找到我，他对我说：“老师，我不用找三个点也可以复原瓷器，我是找到两条不平行的弦，作出中垂线，交点就是圆心，就可以画出圆了。”我肯定了他的做法并表扬他。这个孩子的作法引发了我对本节课的再思考：本节课是类比确定直线的条件所采用的探索思路和方法，进行确定圆的条件的探索，这是很自然的教学思路，因为学生有这样的学习经验。但在实际教学中是否可以更放开一些，直接抛出问题，不细化探究的步骤，鼓励学生大胆猜测，探究出各自解决问题的方案，并在全班进行讨论交流，这样将不同的确定圆的条件呈现出来后，教师再进行梳理和应用，我想这样来处理就不会埋没一些学生思维的闪光点了。
这节数学课虽然结束了，但我对数学探究型课的思考没有结束。我想我们如果能把培养学生思考、分析、解决问题的能力作为数学教学的出发点和归宿，那么一定将预设缤纷，生成精彩，收获累累硕果。
刘丽丽老师《确定圆的条件》这节公开课，能够在积累的教育素材中，选择出“帮助考古学家复原瓷器碎片”的背景材料，精心设计了一节以教师为主导，学生为中心，研究确定圆的两个条件“圆心和半径”为主线索，通过“过一个、两个、三个点能否确定一个圆”的探究活动，由易到难逐步引导学生进行思考。继而利用问题猜想导入，利用小组合作探究形式引导学生进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，很好的完成了由旧知到新知的引入过程。引入新知后，能够继续对所学新知识进行挖掘、巩固、提升、归纳、拓展，最后顺畅的引入另一新知识外心。通过问题串设问及分类讨论各类三角形的外心情况，整个环节循序渐进，环环相扣，最后设置一串漂亮的题组巩固本节新知。
参照新课标的课堂标准，感觉到本节课是一节高效的课堂，是活动的课堂，是讨论、合作、交流的课堂，是承认差异的课堂，是德育教育的课堂，是应用现代信息技术的课堂。可以用六有来概括：
一是有趣：利用有趣情景引入，激发学生求知欲。利用实际应用，巩固相关知识，学生感受数学业知识来源于生活，又服务于生活，体验数学的学科价值。
二是有动：以研究确定圆的两个条件“圆心和半径”为主线索，通过“过一个、两个、三个点能否确定一个圆”的探究活动，学生经历动手作图，实验操作，合作交流，猜想归纳的过程，体验生成过程。
三是有效：在这个４５分钟里，我们可以看到刘老师的一节高效课堂，学生们在如此短的时间和空间内，顺利的在老师的引导下进行高效探究，并较快的掌握好本节课的知识。
四是有法：利用圆瓷的已知圆弧确定圆，培养学生的几何直观；在寻找三种图形的圆的圆心和半径中，培养归纳能力、推理能力；在参与观察、实验、猜想、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力；在平面内的三点位置关系、三角形的外心位置中渗透数学分类思想；在探究圆的条件、三角形外接圆的作图中渗透类比的数学方法。
五是有情：刘老师充分挖掘课本教材资源，与多媒体相结合，备课充分准备。教态自然大方，亲和力强，以学生为主体，充分的把时间和空间留给学生，有很强的教学感染力。
六是有应：学完新知识，解决开头提出“破镜重圆”的问题，形成知识技能，并引导学生进行再反思，培养思维的深刻性。
同时提几点个人建议：
１. 曾经有位教育家说过“一切知识的获得最初均来源于直观感知。”在进行“过一个、两个、三个点能否确定一个圆”及外心分类的探究活动时，能够感觉出大多数都是好生上台展示，在教学中是否能够尊重差异，让中下生也能够多上台锻炼锻炼？或许让中下生展示会有意想不到的生成失误，我们老师或者其余同学不就可以抓住学生们的生成问题，进行矫正吗？完美的课堂一定是有不足之处的。
２.建议信息技术与课程内容的整合上，再加强直观的动态过程，提高实效。比如，圆知识方面的探索可以用几何画板展示得更形象生动些。
３.本节课容量较大，从学生实际出发，是否每个学生真正已经接受和消化本节知识？
总之，一节数学课内容可以结束，但学生的思考不会结束。若能在数学教学中始终将发展学生思考问题、分析问题、解决问题的能力作为出发点的归宿，必将更上一层楼。
