2021-2022 学年第二学期七校联考
高二数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A D B D A B AB ABC BCD BC
13.7； 14.2； 15.0.74； 16. 0, 或写成 x x 0 ， 2, 4 .（定义域必须是这两种
答案之一才能给分）
1 18.解：由已知 f x 的最大值为 ，∴ 2， 2 ， 2 2
P x 0 P x 2 2 P 2 2 x 2 2 P x 2 2
0.6827 1 1 0.6827 0.84135 .故选：B.
2
11.【答案】B,C,D
解：令 ,∴ ,∴ 在 单调递减,
∵ ,∴ , 对 A, ,故 A 错误,B 正确;
对 C, ,故 C 正确; 对
D, ,∴ ,∴ ,
∵ , ,∴ ,∴ ,故 D 正确;
12.解：由分布列的性质得m n m 2m n 1，P X 1 n，P X 1 2m 1 1，当m ，n
4 2
时， P X 1 P X 1 ，故选项 A错误；因为 E X n 2m 1，故选项 B正确；
因为 m，n均为正数，所以1 n 2m≥2 2mn ，即mn
1 1
，当且仅当 n 2m 时，等号成立，故
8 2
1
选项 C正确；由 n 1 2m 0，得0 m .又 E X 1，所以
2 D(2X 1) 4D(X ) 4(m m) 8m
，
故选项 D错误.故选：BC.
15.解：由题意，感染了“普通型毒株”，“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为5 :3 : 2且该药对“普
通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为 82%、60%、75%，所以这款新药对 “新冠病
5 3
毒”的总体有效率为 82% 60% 2 75% 74% .故答案为：74% .
10 10 10
1 9 x22 9 x 3 x 3
16.解：由 f x x 9 ln x，x 0，得 f x x ，2 x x x
x 0,3 , f x 0，函数 f x 单调递减， x 3, , f x 0，函数 f x 单调递增，
1
f x 1 x2由函数 9lnx在 a 1，a 1 上存在极值点，可得 a 1 3 a 1，2 a 4，实数 a的取值范围
2
是 2, 4 ．故答案为： 2, 4 ．
17.解:解： (1)因为 展开式中前两项的二项式系数和为 7，所以 + =1+n=7,
解得 n=6，所以 n的值为 6. ………………………………4 分
(2)由通项公式 Tk+1= = 26-k , ………………………………7 分
3k
令6 0可得 k=4, ………………………………9分
2
所以展开式中的常数项为 T4+1= 26-4x0=60. ………………………………10 分
3
18.解:（1）从中任意取出 3个，基本事件总数 n＝C5 ＝10， ………………………………2 分
1 2
其中恰有一个红球包含的基本事件个数 m＝C2 C3 6． ………………………………4 分
n 6 3
∴恰有一个红球概率是 p＝ ． ………………………………5 分
m 10 5
（2） X 表示取得红球的个数，则 X 的所有可能取值为 0，1，2，
C 3 1 2 2 1P(X 0) 3 13 ； P(X 1)
C2 C3 6 3 C C 3 3 ； P(X 2)
2 3
C 10 C 10 5 C 3
5 5 5 10
………………………………11 分
所以 X 的分布列为
X 0 1 2
1 3 3
P
10 5 10
………………………………12 分
19.解：（1） f x 9x2 9 9(x 1)(x 1) ， x R ………………………………2 分
令 f x 0，得 1 x 1，所以 f x 的减区间为 1,1 . （闭区间也可给分）……………………5 分
(2)令 f x 0，得 x 1或 x 1 ………………………………6 分
当 x变化时， f '(x)， f (x)变化情况如下表：
2
x ( , 1) -1 ( 1,1) 1 (1, )
f '(x) + 0 — 0 +
f (x) 单调递增 11 单调递减 —1 单调递增
（只要表述清楚，不列表也给分） ………………………………10 分
函数 f x 的极大值为 f ( 1) 11，函数 f x 的极小值 f (1) 1 . ………………………………12 分
20.解：（1）因为 f x 2ax (a 1 2) ， f (1) 0， ………………………………2 分
x
所以 2a (a 2) 1 0，解得 a 1 . ………………………………4 分
a 1 f '(x) 2x 3 1 2x
2 3x 1 (2x 1)(x 1)
经检验，当 时，
x x x
易得 f (x) x 1是函数的极小值点. ………………………………6分
1
（2）函数 f (x) ax2 (a 2)x ln x的定义域是 (0, )， f x 2ax (a 2) ，…………………8分
x
f x 2ax
2 (a 2)x 1 (2x 1)(ax 1)
所以 ， ………………………………10 分
x x
当 a 1， x [1,e]时， 2x -1> 0， ax 1 0，可得 f x 0 . ………………………………12 分
100 1
21.解：(1)由题意知，这 300名学生中选考历史的人所占的频率为 ，所以从 300名高三学生中随
300 3
1
机抽取 1人，此人选考历史的概率 p ． ………………………………3分
3
1
(2)X的所有可能取值为 0，1，2，3， X ~B(3, ) ………………………………5分
3
3 2
∴ P X 0 1 2 4 C0 2 8 1 3 ； P(X 1) C
3 27 3
；
3 3 9
P(X 2) C 2 1
2 2 2 1 3 P(X 3) C 3 1 3 ； 3 ， ………………………………9 分
3 3 9 3 27
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
8 4 1
P 2
27 9 9 27
………………………………10 分
8 4 2 1
∴X的数学期望 E(X ) 0 1 2 3 1． （用公式 E(x) np也可以）………12 分
27 9 9 27
3
22.解： (1)由题意可得 f x 的定义域为 0, ，且 f x a ln x a． ………………………………1 分
①当 a 0时，由 f x 0 1，得 x ；由 f x 0，得0 x 1 ．
e e
故函数 f x 1的单调递增区间为 ,
1
，单调递减区间为 0,e e
．…………………………3 分
1
②当 a 0时，由 f x 0，得 x ；由 f x 0，得0 x 1 ．
e e
故函数 f x 1的单调递减区间为 ,
1
，单调递增区间为 0,e e
． …………………5分
综上，当 a 0时， f x 1 , 1的单调递增区间为
，单调递减区间为e
0, ；
e
当 a 0时， f x 1的单调递减区间为 ,
1
，单调递增区间为 0, ． …………6 分
e e
1
(2)当 a 1时，令 f x g x ，得 x ln x kx 1，即 k ln x ， ………………………………7分
x
f x g x 1 ,e 1则 与 的图象在 上有两个不同的交点，等价于 k ln x
1
,e 在 上有两个不同的实根． e x e
………………………………8分
h x ln x 1 1 x e h x 1 1 x 1设
x
，则 ．
e x x2 x2
由 h x 0，得1 x e；由 h x 0 1，得 x 1．
e
函数 h x 在 1,e 1 上单调递增，在 ,1 上单调递减，故 h x h 1 1． ………………………………10 分 e
h 1 e 1 1 h e 1 1 h 1因为 ， ，且 h e e 2 0， e e e e
1
k ln x 1 ,e 1 k 1所以要使 在 上有两个不同的实根，则 1，x e e
1
即 k的取值范围为 1, 1 ． ………………………………12 分 e
42021-2022 学年第二学期七校联考
高二数学试卷
一、单选题:本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．函数 f x ln x在 x e处的导数是（ ）
1 1
A．1 B． C． e D．
e e
2．从 5名学生中选出正，副班长各一名，不同的选法种数是（ ）
A．9 B．10 C．20 D．25
3．二项式 (2 x)6的展开式中含有 x4项的系数为（ ）
A. 60 B. 50 C. 40 D. 30
4．已知随机变量 X ～B(3, p)，且E(2X 1) 3，则D(X ) （ ）
1 2
A．1 B． 2 C． D．
3 3
5.若函数 f (x) ax cos x在 ( , )上单调递增，则实数 a的取值范围是（ ）
A． ( 1,1) B． 1, C． ( 1, ) D． ( 1,0)
6.甲乙两位游客慕名来到东莞旅游，准备分别从东城黄旗山、虎门威远炮台、道滘粤晖园和
长安莲花山 4个景点中随机选择其中一个，记事件 A：甲和乙选择的景点不同，事件 B：甲
和乙恰好一人选择虎门威远炮台，则条件概率 P B | A （ ）
1 3 2 1
A． B． C． D．
4 4 3 2
7.若函数 f x ex x3 a的图象在点 0, f 0 处的切线方程为 y kx 2k，则a （ ）
A．1 B． 1 C． 0 D． 2
8.正态分布 x ~ N , 2 是由德国数学家高斯率先将其应用于天文学研究，这项工作对后世
1 x
2
的影响极大，故正态分布又叫高斯分布，已知高斯分布函数 f x e 2 2 在 x 2
2
1
处取得最大值为 ，则P x 0 （ ）
2
1
附： P x 0.6827，P 2 x 2 0.9545 .
A. 0.6827 B. 0.84135 C. 0.97725 D. 0.9545
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
C x C 2x 19.若 5 5 ,则正整数 x的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.定义在 1,5 上的函数 f x 的导函数 f x 的图象如图所示，函数 f x 的部分对应值如下
表．下列关于函数 f x 的结论正确的是（ ）
x 1 0 2 4 5
f x 1 3 1 3 2
A．函数 f x 在 (0,2)和 (4,5)上单调递减
B．函数 f x 在 1,5 的最小值为 1
C．函数 f x 的极大值点的个数为 2
D．若方程 f x a有 3个不同的实数根，则实数 a的取值范围是 (2,3)
11.已知函数 的定义域 ,其导函数 满足 ,且 ,则下列结论正
确的是（ ）
A. B. f (e) 2 C. D. ,
12.已知 m，n均为正数，随机变量 X的分布列如右表：
则下列结论一定成立的是（ ） X 0 1 2．．
A. P X 1 P X 1 B. E X 1 P m n m
C. mn
1
D. D(2X 1) 1
8
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，其中第 16 题第一空 2分，第二空 3分．把
答案填在答题卡中的横线上．
(x 113.若 )n的二项展开式共有 8项，则 n ___________.
x
14.函数 在区间 2,1 上的最大值是___________.
2
15.对正在横行全球的“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团
队从“新冠”感染者中随机抽取 100名，检测发现其中感染了“普通型毒株”，“德尔塔型毒株”、
“其他型毒株”的人数占比为5 :3 : 2．对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、“德
尔塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为 82%、60%、75%，那么你预估这款新药对 “新
冠病毒”的总体有效率是________．
1 2
16.函数 f x x 9lnx的定义域为___________；若 f (x)在 a 1，a 1 上存在极值点，则 a
2
的取值范围是___________.
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(10 分)
已知 (2x 1 )n展开式中前两项的二项式系数和为 7.
x
(1)求 n 的值；
(2)求展开式中的常数项.
18.(12 分)
一个袋中装有 5个形状大小完全相同的小球，其中红球有 2个，白球有 3个，从中任意取
出 3个球．
（1）求取出的 3个球恰有一个红球的概率；
（2）若随机变量 X 表示取得红球的个数，求随机变量 X 的分布列．
19.(12 分)
已知函数 f (x) 3x3 9x 5.
（1）求函数 f x 的单调递减区间；
（2）求函数 f x 的极值.
3
20.(12 分)
已知函数 f (x) ax2 (a 2)x ln x .
（1）若 x 1函数的极值点，求 a的值；
（2）若 a 1，求证：当 x [1,e]时， f x 0，其中 e为自然对数的底数.
21.(12 分)
高考改革新方案中语文、数学、外语为必考的 3个学科，然后在历史、物理 2个学科中自
主选择 1个科目，在政治、地理、化学、生物 4个学科中自主选择 2个科目参加考试，称
为“3 1 2”模式，为了解学生选科情况，东莞某中学随机调查了该校的 300 名高三学生，
调查结果为选历史的 100 人.
（1）从该中学高三学生中随机抽取 1人，求此人是选考历史的概率；
（2）以．这．3．0．0．名．高．三．学．生．选．历．史．的．频．率．作．为．全．校．高．三．学．生．选．历．史．的．概．率．．现从该中学高三
学生中随机抽取 3人，记抽取的 3人中选考历史的人数为 X，求 X的分布列与数学期望.
22.(12 分)
已知函数 f x ax ln x a 0 ，函数 g x kx 1．
（1）求 f x 的单调区间；
1
（2）当 a 1时，若 f x 与 g x 的图象在区间 ,ee 上有两个不同的交点，求 k的取值范围．
4
