沪科版八年级数学下册 17.5一元二次方程的应用（第1课时） 教案

第17章 一元二次方程
17.5　一元二次方程的应用
第1课时　平均变化率及销售问题
教学目标 1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型. 2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型. 3.培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力. 教学重难点 重点：掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题. 难点：正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型. 教学过程 导入新课 问题情境 青山村种得水稻每公顷产量的年平均增长率为. 第一年平均每公顷产8 000 kg； 第二年种的水稻平均每公顷的产量为______________； 　　 第三年种的水稻平均每公顷的产量为______________. 【师生活动】教师展示问题，学生独立思考，完成教师出示的问题并回答.第二年种的水稻平均每公顷的产量为，第三年种的水稻平均每公顷的产量为. 探究新知 问题1 前年生产1吨甲种药品的成本是5 000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3 000元，求甲种药品成本的年平均下降率. 【师生活动】学生先独立思考后，小组内进行交流.教师巡视指导，若发现学生存在困难，教师可追问. 【教师追问1】去年甲药品的成本怎样表示？ 【师生活动】学生回答：设甲种药品成本的年平均下降率为，甲种药品去年的成本为. 【教师追问2】在去年的基础上甲种药品的成本年平均下降率仍为，今年甲种药品的成本怎样表示？ 【师生活动】学生根据上一问题，继续回答：今年甲种药品的成本为，即为，请一位同学板演解答过程. 【解】设甲种药品成本的年平均下降率是x， ， 解方程得，，（不合题意，舍去）. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 问题2 前年生产1吨乙种药品的成本是6 000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3 600 元，求乙种药品成本的年平均下降率. 【师生活动】教师出示问题，因本题与问题1是同类型的题目，所以处理本题可让学生自己独立思考、分析、发表意见.学生分析，教师板书. 解:设乙种药品成本的年平均下降率是， 则根据题意，可列方程 . 解方程得， ，（不合题意，舍去）. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 【教师追问1】药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大？ 【师生活动】教师出示问题，学生先进行猜想，小组讨论验证.找两名学生代表发表意见，教师引导补充.通过题目不难得出甲种药品成本的年平均下降额为（5 000-3 000）÷2=1 000（元），乙种药品成本的年平均下降额为（6 000-3 600）÷2=1 200（元）.显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是甲、乙两种药品成本的年平均下降率相等，都为22.5%，所以不能说药品年平均下降额大年平均下降率就大. 【教师追问2】你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？ 【师生活动】学生根据上面例题进行归纳总结，独立思考后可小组内进行交流，然后找学生发表意见，最后根据学生回答的情况，教师进行概括总结. 【归纳总结】若平均增长(或降低)百分率为,增长(或降低)前的量是,增长(或降低)次后的量是,则它们的数量关系可表示为(其中增长取“+”,降低取“－”). 新知应用 【例1】 某公司1 月份的生产成本是400 万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是361 万元. 假设该公司2，3，4 月每个月生产成本的下降率都相同. （1）求每个月生产成本的下降率. （2）请你预测4 月份该公司的生产成本. 【师生活动】教师展示问题，学生独立思考，在练习本上写出解答过程，并找学生代表发表意见. 【解】（1）设该公司每个月生产成本的下降率为， 根据题意，得， 解得（不合题意，舍去）. 答：每个月生产成本的下降率为5%. （2）361×（1-5%）＝ 342.95（万元）. 答：预测4 月份该公司的生产成本为342.95 万元. 【教师追问】第（2）问还有没有别的方法？ 【师生活动】学生小组内交流，进行解答.从题目不难看出从1月份到3月份经过了3次下降，根据题意和总结的规律不难得出第4个月生成成本为. 【例2】 某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率. 【师生活动】教师展示问题，学生先独立思考，然后同桌之间进行交流，教师在巡视过程中，如果发现学生存在困难，可追问. 【教师追问1】根据题意3月份的营业额是多少？ 【教师追问2】从3月份到5月份经过几次增长？ 【师生活动】根据追问，学生进一步思考，进行解答，发表意见：3月份的营业额为400×(1＋10%)，从3月份到5月份经过两次增长. 【解】设从3月份到5月份每月平均增长率为， 可列方程. 解得(不合题意，舍去). 所以从3月份到5月份每月平均增长率为20%. 【例3】 新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2 500元.调查发现，当销售价为2 900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元,每台冰箱的定价应为多少元 分析：本题的主要等量关系是： 每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量＝5 000元. 如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是（2 900- x）元，每台冰箱的销售利润为（2 900-x-2 500）元，平均每天销售冰箱的数量为台.这样就可以列出一个方程，从而使问题得到解决. 【解】设每台冰箱降价x元. 根据题意,得. 整理,得x2 - 300x + 22 500 ＝ 0. 解这个方程,得 x1 ＝ x2 ＝ 150. 2 900-150 ＝ 2 750(元). 所以每台冰箱应定价为2 750元. 总结：利润问题常见关系式： (1)利润＝售价－________； (2)利润率； (3)总利润＝________×销量. 课堂练习 1.一种药品原价为每盒25元，经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为，则满足( ) A. B. C. D. 2.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，那么可列关系式为 ( ) A. B. C. D. 3.某市某楼盘准备以每平方米5 000元的均价对外销售，由于某些突发状况，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 050元的均价开盘销售.若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率. 4.据报道，某省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2017年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了，假定该省每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2019年的利用率提高到60%，求每年的增长率.(≈1.41) 5.某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，能卖出500件.已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8 000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？ 6.菜农老李种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售，但受市场影响该蔬菜滞销，老李为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售. （1）求平均每次下调的百分率. （2）小华准备到老李处购买5吨该蔬菜，因数量多，老李决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，但每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由. 参考答案 1.D 2.C 3.解：设平均每次下调的百分率为， 根据题意，得. 解得(不合题意，舍去). 答：平均每次下调的百分率为10%. 4.解：设该省每年产出的农作物秸秆总量为1，合理利用量的增长率为， 由题意，得. 解得(不合题意，舍去). 答：该省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%. 5.解：设每件商品涨价x元， 根据题意，得（50＋x－40）（500－10x）＝8 000， 即x2－40x＋300＝0. 解得x1＝10，x2＝30. 经检验，x1＝10，x2＝30都是原方程的解. 当x＝10时，售价为10＋50＝60（元）， 销售量为500－10×10＝400（件）. 当x＝30时，售价为30＋50＝80（元）， 销售量为500－10×30＝200（件）. ∵ 要尽量减少库存， ∴ 售价应为60元. 6.解：（1）设平均每次下调的百分率为. 由题意，得. 解得（不合题意，舍去）. ∴平均每次下调的百分率为20%. （2）小华选择方案一购买更优惠.理由如下： 方案一所需费用为3.2×0.9×5 000=14 400（元）； 方案二所需费用为3.2×5 000－200×5=15 000（元）. ∵ 14 400＜15 000， ∴ 小华选择方案一购买更优惠. 课堂小结 布置作业 完成课本44页练习第3题，45页习题17.5第4题. 板书设计 第1课时　平均变化率及销售问题