沪科版八年级数学下册 19.3矩形、菱形、正方形（第5课时） 教案

第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
第5课时　正方形性质及判定
教学目标 1.让学生理解正方形的概念及相关性质. 2.引导学生探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别. 3.让学生掌握正方形的判定定理，并会解决相关问题. 4.让学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用. 教学重难点 重点：理解并掌握正方形的性质定理和判定定理. 难点：正方形性质定理和判定定理的应用. 教学过程 导入新课 问题1 矩形如何变化成为正方形 （学生交流讨论后回答） 讨论结果：让矩形的一组邻边相等. 问题2 菱形如何变化成为正方形？（学生交流讨论后回答） 讨论结果：让菱形的一个角是直角. 问题3 那我们如何定义正方形呢？正方形有怎样的性质？我们该如何判定一个四边形是正方形？ 探究新知 探究一 正方形的性质 1.正方形的定义：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形. 2.（学生动手操作，教师引导）准备一张正方形纸片，折一折,观察并思考： 正方形是不是轴对称图形 如果是,那么对称轴有几条 【结论】正方形是轴对称图形，对称轴有4条. 3.继续观察思考：正方形有哪些性质？ 【结论】（1）正方形的四条边都相等，四个角都是直角. （2）正方形的对角线相等且互相垂直平分. （教师组织学生讨论，证明所得结论） 【证明】 性质1：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四条边相等,四个角都是直角. 证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ ∠A＝90°, AB＝BC.（正方形的定义） 又∵ 正方形是平行四边形， ∴ 四边形ABCD是矩形,（矩形的定义） 四边形ABCD是菱形.(菱形的定义) ∴ ∠A＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝ 90°, AB＝BC＝CD＝AD. 性质2：如图,四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O. 求证：AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD. 证明：∵ 正方形ABCD是矩形, ∴ AO＝BO＝CO＝DO. ∵ 正方形ABCD是菱形. ∴ AC⊥BD. 探究二 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 【问题】正方形是特殊的矩形、特殊的菱形、更是特殊的平行四边形，那么如何用图示表示平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系？ 【学生活动】小组内交流，画出平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系图. 探究三 正方形的判定 活动：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形展开后是个正方形 学生通过动手操作，同学交流得出结论. 1.满足怎样条件的矩形是正方形？ 2.满足怎样条件的菱形是正方形？ 3.满足怎样条件的平行四边形是正方形？ 【结论】 1.矩形满足一组邻边相等或对角线互相垂直是正方形. 2.菱形满足一个角是直角或对角线相等是正方形. 3.平行四边形满足对角线互相垂直且相等是正方形. 例题讲解 【例1】如图，在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC延长线上一点,且CE＝CF，则BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由. 【教师活动】分析两条线段的关系包含着数量关系和位置关系，根据正方形的性质可得BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°，然后利用“边角边”证明△BCE和△DCF全等，得出BE＝DF.延长BE交DF于点M，进而求出∠CBE+∠F＝90°，从而证得BE⊥DF. 【学生活动】根据老师的分析，自己理顺证题思路，尝试书写证题过程，然后在小组内交流，总结证明线段的关系：即数量关系和位置关系. 【解】BE＝DF,且BE⊥DF.理由如下： ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ BC＝DC,∠BCE ＝90°.（正方形的四条边相等,四个角都是直角） ∴ ∠DCF＝180°-∠BCE＝180°-90°＝90°. ∴ ∠BCE＝∠DCF. 又∵ CE＝CF, ∴ △BCE≌△DCF, ∴ BE＝DF. 延长BE交DF于点M（如图所示）, ∵ △BCE≌△DCF , ∴ ∠CBE＝∠CDF. ∵ ∠DCF ＝90°, ∴ ∠CDF +∠F ＝90°. ∴ ∠CBE+∠F＝90°, ∴ ∠BMF＝90°. ∴ BE⊥DF. 跟踪训练 1.如图，在正方形ABCD中，△BCE是等边三角形. 求证：∠EAD＝∠EDA＝15° . 【教师活动】根据等边三角形的性质可得BE＝CE＝BC,∠EBC＝∠ECB＝60°，根据正方形的性质可得AB＝BC＝CD,∠ABC＝∠DCB＝90°，进而求得∠ABE和∠DCE的度数，证得△ABE，△DCE是等腰三角形，可以求出∠BAE和∠CDE的度数，从而可证得∠EAD＝∠EDA＝15°. 证明：∵ △BCE是等边三角形， ∴ BE＝CE＝BC,∠EBC＝∠ECB＝60°. ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB＝BC＝CD,∠ABC＝∠DCB＝90°. ∴ AB＝BE＝CE＝CD,∠ABE＝∠DCE＝30°. ∴ △ABE，△DCE是等腰三角形. ∴ ∠BAE＝∠BEA＝∠CDE＝∠CED＝＝75°， ∴ ∠EAD＝∠EDA＝90°-75°＝15°. 【例2】如图，A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD四条边上的点，且AA′＝BB′＝CC′＝DD′.求证四边形A′B′C′D′是正方形. 【教师活动】分析证题思路，巡视学生做题情况，指导学生书写证明过程. 【学生活动】根据正方形的判定和性质进行证明，小组内交流证题过程，及时纠正证明过程中出现的问题. 【证明】∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB＝BC＝CD＝DA， 又∵ AA′＝BB′＝CC′＝DD′， ∴ D′A＝A′B＝B′C＝C′D. ∵ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°. ∴ △AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′. ∴ D′A′＝A′B′＝B′C′＝C′D′. ∴ 四边形A′B′C′D′是菱形. 又∵ ∠1=∠3,∠1+∠2=90°， ∴ ∠2+∠3=90°. ∴ ∠D′A′B′=90°. ∴ 四边形A′B′C′D′是正方形. 跟踪训练 2.如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形. 证明：∵ BF∥CE，CF∥BE， ∴ 四边形BECF是平行四边形. 又∵ 在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴ ∠EBC＝∠ECB＝45°， ∴ BE＝CE，∠BEC＝90°， ∴ 四边形BECF是菱形. 又∵ ∠BEC＝90°， ∴ 四边形BECF是正方形. 【教师活动】根据BF∥CE，CF∥BE可判定四边形BECF是平行四边形， 再根据矩形的性质和角平分线的性质可得到∠EBC和∠ECB的度数，进而判断出平行四边形BECF的一个角是直角且一组邻边相等，从而证明四边形BECF是正方形. 【学生活动】小组内交流证题方法，由一名学生在黑板板书. 课堂练习 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.对角线互相垂直且相等 2.如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE＝AB，则 ∠EBC的度数是 . 3.以正方形ABCD的边DC向外作等边△DCE,则∠AEB＝ . 4.已知正方形ABCD中，AC=10，P是AB上一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF＝ . 5.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点F，∠E＝90°， ED＝EC． 求证：四边形DFCE是正方形． 6.如图，正方形ABCD的边长为1 cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长. 参考答案 1.A　2.22.5°　3.30° 4.5 解析：∵ 正方形ABCD中，AC＝10， ∴ ∠BAC＝45°，BD⊥AC，OA＝AC＝5. ∵ PE⊥AC，PF⊥OB， ∴ ∠OEP＝∠OFP＝∠FOE＝90°， ∴ 四边形PEOF为矩形，△APE为等腰直角三角形， ∴ PE＝AE，PF＝OE， ∴ PF+PE＝DE+AE＝OA＝5． 5.证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ ∠FDC＝∠DCF＝45°， ∵ ∠E＝90°，ED＝EC， ∴ ∠EDC＝∠ECD＝45°， ∴ ∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°， ∴ 四边形DFCE是矩形. ∵ DE＝CE， ∴ 四边形DFCE是正方形． 6.解：∵ 四边形ABCD为正方形， ∴ ∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm. ∵ EF⊥AC， ∴ ∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵ ∠ECF＝45°， ∴ △EFC是等腰直角三角形，∴ EF＝FC. ∵ ∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE， ∴ △ABE≌△AFE， ∴ AB＝AF＝1 cm，BE＝FE,∴ FC＝BE. 在Rt△ABC中， 由勾股定理,得 ∴ FC＝AC－AF＝(－1)cm， ∴ BE＝(－1)cm. 课堂小结 布置作业 教材第94页练习. 板书设计 第5课时　正方形性质及判定 正方形的性质. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系. 正方形的判定.