4.4 数学归纳法
【题组一 增项问题】
1．（2020·霍邱县第二中学开学考试（理））用数学归纳法证明“”，在验证是否成立时，左边应该是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】用数学归纳法证明“”，在验证时，把代入，左边.故选：C.
2．（2020·河南洛阳）用数学归纳法证明不等式时，以下说法正确的是（ ）
A．第一步应该验证当时不等式成立
B．从“到”左边需要增加的代数式是
C．从“到”左边需要增加项
D．以上说法都不对
【答案】D
【解析】第一步应该验证当时不等式成立,所以不正确；
因为，
所以从“到”左边需要增加的代数式是，所以不正确；
所以从“到”左边需要增加项，所以不正确。
故选：D
3．（2020·陕西省洛南中学高二月考（理））用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，
当n=k+1时等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．
故选C．
4．（2020·吉林吉林·高二期末（理））用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由到时，等式左边增加了，故选C.
5．（2020·山西高二期末（理））用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“到”左边增加的项数是（ ）
A．项 B．项 C．项 D．项
【答案】D
【解析】当时，左边，易知分母为连续正整数，所以，共有项；
当时，左边，共有项；
所以从“到”左边增加的项数是项.
故选D
6．（2020·吉林洮北·白城一中高二期末（理））用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当时，所假设的不等式为，
当时，要证明的不等式为，
故需添加的项为：，
故选：B.
7．（2020·陕西渭滨·高二期末（理））用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，等式左端，
当时，等式左端，
增加了项．
故选：C．
【题组二 等式的证明】
1．（2020·上海高三专题练习）求证：.
【答案】证明见解析；
【解析】当时，左边，右边，等式成立.
假设时等式成立，即
.
那么当时，
左边
右边.
这就是说，当时等式仍成立.
综上可知，对一切，等式成立.
2．（2020·西藏乃东·山南二中高二月考（理））用数学归纳法证明：
【答案】证明见解析
【解析】（1）当时，左边=-1，右边=-1，等式成立；
（2）假设当时等式成立，
即，
则当时，
左边
=右边.
所以，当时，等式成立；
由（1）（2）可知，对.
3．（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明：．
【答案】证明见解析.
【解析】当时，，等式成立，
假设当时，等式成立，即
则当时，
，原等式仍然成立，
所以
4．（2020·上海高二课时练习）设，证明：.
【答案】证明见解析；
【解析】当时，左边，右边，故等式成立.
假设当时，等式成立，即
，
当时，
.
.
所以当时，等式也成立.
综上所述，对任意，等式成立.
5．（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明：．
【答案】证明见解析
【解析】证明：①当时，左边，右边，等式成立．
②假设当时等式成立，即
．
那么当时，
，等式也成立．
根据①和②，可知对任何都成立．
原等式得证.
【题组三 不等式的证明】
1．（2020·上海高三专题练习）用数学归纳法证明：.
【答案】证明见解析；
【解析】（1）当时，左边，右边，不等式成立.
（2）假设当，时，不等式成立，即有，
则当时，左边
，
又
即，
即当时，不等式也成立.
综上可得，对于任意，成立.
2．（2019·周口市中英文学校高二期中（文））用数学归纳法证明1＋≤1＋≤＋n(n∈N*)．
【答案】见解析
【解析】(1)当n＝1时，≤1＋≤，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋.
又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)，
即n＝k＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．
【题组四 整除】
1．（2020·上海高二课时练习）求证：能被整除．
【答案】见解析
【解析】当时，原式，能被整除；
②当时，假设，能被整除，
当时，，
均可被整除，
所以当时，命题成立。
综上：由①②知能被整除
【题组五 数归在数列中的应用】
1．（2020·上海市市西中学月考）数列满足）.
（1）计算，并由此猜想通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【解析】（1），由此猜想；
（2）证明：当时，，结论成立；假设（，且），结论成立，即
当（，且）时，，即，所以，这表明当时，结论成立，
综上所述，.
2．（2020·安徽庐江·高二月考（理））各项都为正数的数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：对一切恒成立．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】(1)因为，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，
又，则.
(2)证明：由(1)知，即证.
①当时，左边，右边，所以不等式成立；
当时，左边右边，所以不等式成立．
②假设当时不等式成立，
即
当时，
左边
所以当时不等式成立．
由①②知对一切不等式恒成立．
3．（2020·浙江高三其他）已知数列前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记为的前项和，证明: .
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）当时，由，即，
所以，，又，故数列为首项与公差都为的等差数列，
所以，，即，故，而，
故数列的通项公式：.
（2）由（1）可得，
所以，
要证明，
即证明.
数学归纳法证明：
当时，左边，右边，不等式成立；
假设当时，成立，
那么当时，
左边
右边.
即当时，不等式也成立；
综上，当时，不等式成立，
故.4.4 数学归纳法
【题组一 增项问题】
1．（2020·霍邱县第二中学开学考试（理））用数学归纳法证明“”，在验证是否成立时，左边应该是( )
A． B． C． D．
2．（2020·河南洛阳）用数学归纳法证明不等式时，以下说法正确的是（ ）
A．第一步应该验证当时不等式成立
B．从“到”左边需要增加的代数式是
C．从“到”左边需要增加项
D．以上说法都不对
3．（2020·陕西省洛南中学高二月考（理））用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·吉林吉林·高二期末（理））用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·山西高二期末（理））用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“到”左边增加的项数是（ ）
A．项 B．项 C．项 D．项
6．（2020·吉林洮北·白城一中高二期末（理））用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020·陕西渭滨·高二期末（理））用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）
A． B．
C． D．
【题组二 等式的证明】
1．（2020·上海高三专题练习）求证：.
2．（2020·西藏乃东·山南二中高二月考（理））用数学归纳法证明：
3．（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明：．
4．（2020·上海）设，证明：.
5．（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明：．
【题组三 不等式的证明】
1．（2020·上海高三专题练习）用数学归纳法证明：.
2．（2019·周口市中英文学校高二期中（文））用数学归纳法证明1＋≤1＋≤＋n(n∈N*)．
【题组四 整除】
1．（2020·上海高二课时练习）求证：能被整除．
【题组五 数归在数列中的应用】
1．（2020·上海市市西中学月考）数列满足）.
（1）计算，并由此猜想通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
2．（2020·安徽庐江·高二月考（理））各项都为正数的数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：对一切恒成立．
3．（2020·浙江高三其他）已知数列前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记为的前项和，证明: .
