参考答案
1．C
解：因为，所以；
2．C
因为，所以或即或
3．B
解：依题意，将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，共有种发送方法；
4．B
中奖的概率为，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为.
5．A
解：因为，将代入，
， ★；
6．B
解：与专业关联的的观测值，明显大于，明显小于，所以有的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联，所以不正确；
因为，故正确；根据题中的数据表列出专业与甲 乙公司的关联表可知，理科专业的学生更倾向于选择甲公司，列出性别与甲 乙公司的关联表可知，
女性毕业生更倾向于选择乙公司，所以C，D均不正确.
故选：B.
7．B
由，解得．
8．C
包括的基本事件为：AMN，ANM，MAN，MNA，NAM，NMA，故恰好排成英文单词MAN的概率为.
9．B
由正态分布的图象和性质得．
10．D
的展开式中的系数是
11．D
解：如图，取中点，连接，
设大等边三角形的边长为，则半圆的半径为，
易知均为等边三角形，四边形为菱形，其对角线为和，
所以阴影部分面积为：，
整个图形的总面积为：，
所以根据几何概型的概率公式得：.
12．B
由题意知，若比赛只有3局，3局都是乙胜的概率为．若比赛有4局，前3局乙胜2局，第4局乙胜的概率．由上知乙战胜甲的概率为：．
13．0.8
两个闹钟至少有一个准时响的对立事件是两个闹钟都没响，所以两个闹钟至少有一个准时响的概率．
14． 8
由于的二项展开式的所有二项式系数的和为，解得.
15．
解：设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A，“取出的2件中另1件是一等品”为事件B，则P（A），P（AB），在第一次摸出次品的条件下，第二次也摸到次品的概率为：P（B|A）
16．72
分4步进行分析：
①，对于区域，有4种颜色可选；
②，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；
③，对于区域，与、区域相邻，有2种颜色可选；
④，对于区域、，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选，
则区域、有种选择，
则不同的涂色方案有种；
17．(1) (2)
(1)解：从位女生，位男生中选出人参加垃圾分类宣传活动，选择方法数为.
(2)解：没有女生入选的选择方法数为，所以至少有位女生入选的选择方法数为.
18．（1）；（2）．
（1）当时，若方程没有实数根，
必有，得，b的取值为5，
故方程没有实根的概率为．
（2）当时，若方程有实数根，
必有，由，必有，
故方程有实根的概率为．
19．(1); (2)
(1)由已知得的分布列为：
1 2 3
故
，①
，
，②
由①②解得，，
．
(2)结合（1）知，当袋子中球的总数量少时，红、黄、蓝球的个数分别是3，2，1，
共6个球，从中任取3个，得分之和记为，
则，
，
．
21．（1）；（2）是.
（1）因为，，
所以，
得，
于是关于的回归直线方程为；
（2）当时，，
则，
故可以认为所得到的回归直线方程是理想的.
(1)没有的把握认为支付方式的选择与年龄有关；
(2)分布列见解析，，
(1)根据题意可得:的观测值，所以没有的把握认为支付方式的选择与年龄有关．
(2)由题意可知：在60岁以下的市民中抽到1人选择“手机支付”的概率为，所以，的所有可能取值为0，1，2，3．
，，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
，．
22．(1)Y的分布列如下：
Y 0 1 2
X的数学期望.
(2)这批产品中优质品占比满足生产合同的要求；理由见解析
(1)
因为质量指标分值在63分以上的产品为优质品，故优质品有2件.
由题意可取0，1，2.
则；
；
.
所以X的分布列如下：
0 1 2
X的数学期望.
(2)
这批产品中优质品占比满足生产合同的要求；理由如下：
记这种产品的质量指标分值为，由题意可知，，
则，
因为，
所以有足够的理由判断这批产品中优质品占比满足生产合同的要求赤峰市实验高级中学2021-2022学年高二下学期期中考试
数学理科
一、选择题(共12题，每小题5分，共60分)
1．已知，则（ ）
A．2 B． C． D．-2
2．，则正整数值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2或3
3．将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，则不同的发送方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
4．一商店有奖促销活动中仅有一等奖 二等奖 鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，则不中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．某工厂节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如下表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，则看不清的数据★的值为（ ）
x 2 3 4 5 6
y 19 25 ★ 40 44
A．32 B．34 C．36 D．38
6．每年的毕业季都是高校毕业生求职和公司招聘最忙碌的时候，甲 乙两家公司今年分别提供了2个和3个不同的职位，一共收到了100份简历，具体数据如下：
公司 文史男 文史女 理工男 理工女
甲 10 10 20 10
乙 15 20 10 5
分析毕业生的选择意愿与性别的关联关系时，已知对应的的观测值；分析毕业生的选择意愿与专业关联的的观测值，则下列说法正确的是（ ）
0.4 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
k0 0.708 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A．有的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联
B．毕业生在选择甲 乙公司时，选择意愿与专业的关联比与性别的关联性更大一些
C．理科专业的学生更倾向于选择乙公司
D．女性毕业生更倾向于选择甲公司
7．将一枚硬币连续抛掷5次，若出现k次正面的概率与出现次正面的概率相同，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．三张卡片上分别写上字母A，M，N，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词MAN的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（ ）
A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6
10．的展开式中的系数是
A．56 B．96 C．84 D．126
11．下图所示的几何图形由等边和以底AB边为直径的半圆构成，在整个图形中随机取一点，此点取自图形中阴影部分的概率为（ ）
A． B．
C． D．
12．甲、乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛甲胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用4局3胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共4题，每小题5分，共20分)
13．明天上午李明要参加奧运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率为0.5，乙闹钟准时响的概率为0.6，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是______．
14．已知的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则_________.
15．若8件产品中包含件一等品，在其中任取件，则在已知取出的件中有件不是一等品的条件下，另件是一等品的概率为_______．
16．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为_________．
三、解答题(共6题，17题10分，其余小题各题12分，共70分)
17．从位女生，位男生中选出人参加垃圾分类宣传活动.
(1)共有多少种不同的选择方法？
(2)如果至少有位女生入选，共有多少种不同的选择方法？
18．已知关于x的一元二次方程．
（1）当时，若b从0，1，2，3，4，5六个数中任取一个数，求上述方程没有实数根的概率；
（2）当时，若a是从区间任取的一个数，求上述方程有实数根的概率．
19．袋子中装有形状，大小完全相同的小球若干，其中红球个，黄球个，蓝球个；现从中随机取球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
(1)若从该袋子中任取一个球，所得分数的数学期望和方差分别为和，求；
(2)在（1）的条件下，当袋子中球的总数最少时，从该袋中一次性任取3个球，求所得分数之和大于等于6的概率．
20．某便利店销售草莓，，对连续六天的销售量及销售单价进行统计，销售单价（元）和销售量（千克）之间的一组数据如下表所示：
天 1 2 3 4 5 6
销售单价 18 19 20 21 22 16
销售量 22 20 16 12 10 30
（1）试根据前5天的销售量，建立关于的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过1.2千克，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
参考公式：回归直线方程，其中.
参考数据：，.
21．自疫情以来，与现金支付方式相比，手机支付作为一种更方便快捷并且无接触的支付方式得到了越来越多消费者和商家的青睐．某金融机构为了调查研究“支付方式的选择与年龄是否有关”，从某市市民中随机抽取100名进行调查，得到部分统计数据如下表：
手机支付 现金支付 合计
60岁以下 40 10 50
60岁以上 30 20 50
合计 70 30 100
(1)根据以上数据，判断是否有的把握认为支付方式的选择与年龄有关；
(2)将频率视为概率，现从该市60岁以下市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中选择“手机支付”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，数学期望和方差．
参考公式：，其中
0.10 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
22．我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利．为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，随机抽取了10件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：
38，70，50，43，48，53，49，57，60，69．
经计算知上述样本质量指标平均数为53.7，标准差为9.9．已知质量指标不少于63分的产品为优质品.
(1)从这10件农产品中有放回地连续取两次，记两次取出优质品的件数为Y，求Y的分布列和数学期望．
(2)根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布，其中μ近似为样本质量指标平均数，近似为方差. 生产合同中规定：所有农产品优质品的占比不得低于15%，那么这种农产品是否满足生产合同的要求？请说明理由．
附：若，则，．
