1.3 空间向量及其运算的坐标表示 同步练习（Word版含解析）
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| 名称 | 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 315.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-21 14:48:46 | ||
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文档简介
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
基础过关练
题组一 空间向量的坐标表示
1.在空间直角坐标系中,点P(1,2,3)关于平面Oyz对称的点的坐标为( )
A.(1,-2,-3) B.(-1,-2,3)
C.(-1,2,3) D.(-1,2,-3)
2.空间直角坐标系中,已知A(1,-2,3),B(3,2,-5),则线段AB的中点坐标为( )
A.(-1,-2,4) B.(-2,0,1)
C.(2,0,-2) D.(2,0,-1)
3.在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,则在空间直角坐标系中(O为坐标原点),的坐标是 ,的坐标是 .
题组二 空间向量线性运算的坐标表示
4.(2020黑龙江牡丹江第一高级中学高二上期中)已知O为原点,a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),则b等于( )
A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2)
C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3)
5.已知向量a=(1,2,3),b=(-1,0,1),则a+2b=( )
A.(-1,2,5) B.(-1,4,5)
C.(1,2,5) D.(1,4,5)
6.(2020湖南长沙明德中学高二上月考)若a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),c=(1,4,4),且a,b,c共面,则λ= .
7.(2020湖南师范大学附属中学高二上期中)已知a=(x,1,3),b=(-1,3,9),若a与b共线,则x的值是 .
8.已知O是坐标原点,且A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),求适合下列条件的点P的坐标:
(1)=(-);(2)=(-).
题组三 空间向量数量积的坐标表示
9.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p·q=( )
A.-1 B.1 C.0 D.-2
10.直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,侧棱为3,M,N分别为A1C1,BC的中点,则·=( )
A.2 B.-2 C. D.-
11.(2020重庆高二上期中)如图,建立空间直角坐标系Oxyz.单位正方体ABCD-A'B'C'D'的顶点A位于坐标原点,其中B(1,0,0),D(0,1,0),A'(0,0,1).
(1)若E是棱B'C'的中点,F是棱B'B的中点,G是侧面CDD'C'的中心,分别求出向量,,的坐标;
(2)在(1)的条件下,分别求出(+)·,||的值.
12.已知向量a=(2,1,-2),c=(-1,0,1),向量b同时满足下列三个条件:①a·b=-1;②|b|=3;③b⊥c.
(1)求a+2c的模;
(2)求向量b的坐标.
题组四 利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题
13.设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥c,b∥c,则x+y的值为( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
14.(2020山西大同第一中学高二上期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是( )
A.MN与CC1垂直
B.MN与AC垂直
C.MN与BD平行
D.MN与A1B1平行
15.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则= .
题组五 利用空间向量求夹角和距离(长度)
16.在空间直角坐标系中,已知M(-1,0,2),N(3,2,-4),则MN的中点P到坐标原点O的距离为( )
A. B. C.2 D.3
17.(2020四川绵阳中学高二上期中)空间直角坐标系中的点A(3,3,1)关于平面Oxy的对称点A'与点B(-1,1,5)间的距离为( )
A.6 B.2
C.4 D.2
18.(2020北京十二中高二上期中)已知点A(0,1,2),B(1,-1,3),C(1,5,-1).
(1)若D为线段BC的中点,求线段AD的长;
(2)若=(2,a,1),且·=1,求a的值,并求此时向量与夹角的余弦值.
19.(2020山西太原第五中学高二上月考)如图,以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC上.
(1)当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为M时,求|PM|的长度;
(2)当点P是面对角线AB的中点,点Q在面对角线DC上运动时,探究|PQ|的最小值.深度解析
能力提升练
题组一 空间向量运算的坐标表示
1.(2020山东泰安第一中学高二上期末,)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若{a,b,c}不能构成空间的一个基底,则实数λ的值为( )
A.0 B. C.9 D.
2.(2020北京东直门中学高二上期中,)已知O为原点,=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则·取得最小值时,点Q的坐标为( )
A. B.
C. D.
3.(多选)(2020陕西西北大学附属中学高二上期中,)设几何体ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,A1C与B1D相交于点O,则( )
A.·=a2 B.·=a2
C.·=-a2 D.·=a
4.(多选)()已知向量a·b=b·c=a·c,b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是( )
A.(a·b)·c=b·c B.(a+b)·c=a·(b+c)
C.(a+b+c)2=a2+b2+c2 D.|a+b+c|=|a-b-c|
5.()已知点P是棱长为1的正方体A1B1C1D1-ABCD的底面A1B1C1D1上一点(包括边界),则·的取值范围是 .
题组二 利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题
6.(2020江苏启东中学高二上期中,)已知两个向量a=(2,-1,3),b=(4,m,n),且a∥b,则m+n的值为 (深度解析)
A.1 B.2 C.4 D.8
7.()在三棱柱A1B1C1-ABC中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在直线B1P上,则下列结论正确的是( )
A.当点Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BD
B.当点Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BD
C.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BD
D.不存在点Q,使DQ与平面A1BD垂直
8.()已知a=(3,2λ-1,1),b=(μ+1,0,2μ).若a⊥b,则μ= ;若a∥b,则λ+μ= .
9.(2020浙江绍兴高二上期末阶段测试,)如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AA1⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,点E在线段A1D上,且A1E=2ED.
(1)证明:BD1⊥AC;
(2)证明:BD1∥平面ACE.
题组三 利用空间向量的坐标运算解决长度和夹角问题
10.(2020安徽芜湖高二上期末,)如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,△PAC为等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC⊥平面ABC,D为AB的中点,则异面直线AC与PD所成角的余弦值为(深度解析)
A. B. C. D.
11.(2020湖北武汉高二期末联考,)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是底面ABCD(含边界)上一动点,满足A1P⊥AC1,则线段A1P长度的取值范围是( )
A. B.
C.[1,] D.[,]
12.(多选)(2020山东莱州第一中学高二上期末,)正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为2,M为B1C1的中点,下列命题中正确的是( )
A.AB1与BC1成60°角
B.若=,面A1MN交CD于点E,则CE=
C.P点在正方形ABB1A1边界及内部运动,且MP⊥DB1,则P点的轨迹长等于
D.E,F分别在DB1,A1C1上,且==2,直线EF与AD1,A1D所成角分别是α,β,则α+β=
答案全解全析
基础过关练
1.C 点P关于平面Oyz对称的点的坐标与点P的横坐标相反,故选C.
2.D 设中点坐标为(x,y,z),根据中点坐标公式得x==2,y==0,z==-1.
3.答案 (-2,-1,-4);(-4,2,-4)
解析 如图建系,则O(0,0,0),A1(4,0,4),B1(0,2,4),B(0,2,0),∴=(-4,2,-4).∵D为A1B1的中点,∴D(2,1,4),∴=(-2,-1,-4).
4.A ∵a-b=(-1,2,-1),∴b=a-(-1,2,-1)=(1,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,-4,2),故选A.
5.A a+2b=(1,2,3)+2(-1,0,1)=(1,2,3)+(-2,0,2)=(-1,2,5),故选A.
6.答案 1
解析 ∵a,b,c共面,
∴存在实数m,n,使得c=ma+nb,
∴解得λ=1.
7.答案 -
解析 ∵a与b共线,∴ λ∈R,使b=λa,
∴解得
8.解析 由题得=(2,6,-3),=(-4,3,1).
(1)∵=(-)=(2+4,6-3,-3-1)=(6,3,-4)=,
∴P.
(2)∵=(-)
=(2+4,6-3,-3-1)
=(6,3,-4)=,
∴=+=(2,-1,2)+
=,∴P.
9.A p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(1,1,0)+(0,2,2)-(1,0,1)=(0,3,1),
∴p·q=1×0+0×3+(-1)×1=-1,故选A.
10.B 如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),M,N,
∴=(2,0,0),=(-1,0,3),
∴·=2×(-1)+0+0=-2,故选B.
11.解析 (1)由题图知,O(0,0,0),E,G,F,
∴=,=,=,
∴=-=-1,0,=.
(2)(+)·=·=,=-=,∴||==.
12.解析 (1)∵a=(2,1,-2),c=(-1,0,1),∴a+2c=(2,1,-2)+(-2,0,2)=(0,1,0),
∴|a+2c|==1.
(2)设b=(x,y,z),则a·b=2x+y-2z=-1①,|b|==3②,b·c=-x+z=0③,
由①②③得或
∴b=(2,-1,2)或b=(-2,-1,-2).
13.A ∵a⊥c,∴a·c=2x-4+2=0,解得x=1,又b∥c,∴==,解得y=-2,则x+y=-1,故选A.
14.D 设正方体的棱长为1,如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),M,N,
∴=,=(0,0,1),=(-1,1,0),=(-1,-1,0),=(0,1,0),∴·=0,∴MN⊥CC1,A说法正确;·=-=0,∴MN⊥AC,B说法正确;易知=2,且M,N BD,∴MN∥BD,C说法正确;设=λ,得无解,所以MN与A1B1不平行,D说法错误.故选D.
15.答案
解析 因为⊥,所以·=0,
即1×3+5×1+(-2)z=0,所以z=4.
因为BP⊥平面ABC,
所以⊥,且⊥,
即
解得
所以=.
16.A 由中点坐标公式,得P(1,1,-1),所以=(1,1,-1),||==.故选A.
17.D 由题意得,A'(3,3,-1),所以=(-4,-2,6),所以||==2,故选D.
18.解析 (1)由题意得,D(1,2,1),∴=(1,1,-1),||==,即线段AD的长为.
(2)易知=(1,-2,1),∴·=2-2a+1=1,解得a=1,∴=(2,1,1).
∴cos<,>===,
即向量与夹角的余弦值为.
19.解析 由题意知A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D(1,1,1).
(1)由PB=2PA得P,所以M,所以|PM|=.
(2)当点P是面对角线AB的中点时,P,点Q在面对角线DC上运动,设点Q(a,1,a),a∈[0,1],
则|PQ|=
==,
所以当a=时,|PQ|取得最小值,此时点Q.
方法归纳 利用向量坐标求空间中线段长度的一般步骤:(1)建立适当的空间直角坐标系;(2)求出线段端点的坐标(或线段对应向量的坐标);(3)利用两点间的距离公式求出线段的长(或利用向量模的坐标公式求出对应向量的模).
能力提升练
1.D ∵{a,b,c}不能构成空间的一个基底,∴a,b,c共面,则c=xa+yb,其中x,y∈R,则(7,5,λ)=(2x,-x,3x)+(-y,4y,-2y)=(2x-y,-x+4y,3x-2y),
∴解得
故选D.
2.C 点Q在直线OP上运动,设=λ=(λ,λ,2λ)(λ∈R),则=-=(1-λ,2-λ,3-2λ),=-=(2-λ,1-λ,2-2λ),
∴·=6-,当λ=时,·最小,此时,Q,故选C.
3.AC 如图,建立空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),B1(a,a,a),O,∴=(0,a,0),=(-a,a,0),=(0,a,0),=(-a,a,-a),=(0,-a,0),=(0,a,a),=.
∴·=a2,A对;·=a2,B错;·=-a2,C对;·=a2,D错.故选AC.
4.BCD 易得a·b=a·c=b·c=-3+0+3=0.
(a·b)·c=0,b·c=0,所以A选项错误;
(a+b)·c-a·(b+c)=a·c+b·c-a·b-a·c=0,所以(a+b)·c=a·(b+c),所以B选项正确;
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=a2+b2+c2,所以C选项正确;
(a-b-c)2=a2+b2+c2-2a·b+2b·c-2a·c=a2+b2+c2,
即(a+b+c)2=(a-b-c)2,|a+b+c|=|a-b-c|,所以D选项正确.
故选BCD.
5.答案
解析 如图所示,建立空间直角坐标系,则A1(0,0,0),A(0,0,1),C(1,1,1).
设P(x,y,0)(x,y∈[0,1]).
则=(-x,-y,1),=(1-x,1-y,1),
∴·=-x(1-x)-y(1-y)+1
=++.
∵x,y∈[0,1],∴当x=,y=时,·有最小值.
当点P取(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0)时,·有最大值1.
∴·的取值范围是.
6.C 因为a∥b,所以 λ∈R,使得b=λa,得解得所以m+n=4,故选C.
解题反思 在解决有关平行的问题时,通常需要引入参数,如本题中已知a∥b,引入参数λ,使b=λa,转化为方程组求解;本题也可以利用坐标成比例求解,即由a∥b,得==,求出m,n.
7.D 如图,建立空间直角坐标系,则A1(0,0,0),B1(1,0,0),B(1,0,1),D,P(0,2,0),所以=(-1,2,0),=,=(1,0,1),=.
设存在点Q,使DQ与平面A1BD垂直,设=λ(0≤λ≤1),则=-=λ-=(-λ,2λ,0)--1,1,=.
由
得无解,故选D.
8.答案 -;
解析 由a⊥b,得a·b=3(μ+1)+2μ=0,解得μ=-.由a∥b,得=,且2λ-1=0,解得μ=,λ=,所以λ+μ=.
9.证明 (1)设AC与BD交于点O,A1C1与B1D1交于点O1,连接OO1,设AB=a,AA1=b.如图,建立空间直角坐标系,
则O(0,0,0),A,B,C,D,
A1,D1,
∴=(-a,0,b),=(0,a,0),
∴·=0,∴BD1⊥AC.
(2)设E(x,y,z),∵A1E=2ED,∴=2,即x,y+a,z-b=2,
解得x=-a,y=-a,z=,即E,
∴=.
设=λ+μ(λ,μ∈R),则(-a,0,b)=λ(0,a,0)+μ,
即解得
即=-+3.
∴,,共面,又BD1 平面ACE,
∴BD1∥平面ACE.
10.B 取AC的中点O,连接OP,OB,
∵PA=PC,∴AC⊥OP,
∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,
∴OP⊥平面ABC,
又∵AB=BC,∴AC⊥OB,
以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
∵△PAC是等腰直角三角形,PA=PC=4,△ABC为等边三角形,
∴A(2,0,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),D(,,0),
∴=(-4,0,0),=(,,-2),
∴cos<,>===-.
∴异面直线AC与PD所成角的余弦值为.
故选B.
解题反思 用坐标法求解立体几何问题,关键是建立适当的空间直角坐标系.建系时,关键是寻找线面垂直的条件,将垂线所在直线作为z轴,利用底面的图形特点建立x轴和y轴.
11.A 如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),
∵P是底面ABCD(含边界)上一动点,
∴设P(x,y,0)(0≤x≤1,0≤y≤1),
则=(x,y,-1),=(1,1,1),
∵A1P⊥AC1,∴·=x+y-1=0,
∴=x2+y2+1=x2+(1-x)2+1=2x2-2x+2=2+,
∴当x=时,取最小值,此时线段A1P的长度为;
当x=0或x=1时,取最大值2,此时线段A1P的长度为,
∴线段A1P长度的取值范围是.
故选A.
12.ACD 如图,建立空间直角坐标系,则A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),D(0,0,2),
A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(0,0,0),M(1,2,0).
对于A,=(0,2,-2),=(-2,0,-2),cos<,>===,
∴AB1与BC1成60°角,A对;
对于B,∵=,∴N,设E(0,m,2),则=(-1,2,0),=,=(-2,m,2),由已知得A1,M,N,E四点共面,
∴ λ,μ∈R,使得=λ+μ,
得解得
∴E,∴=,||=,B错;
对于C,设P(2,y,z)(0≤y≤2,0≤z≤2),则=(1,y-2,z),=(2,2,-2),
由·=2+2y-4-2z=0,得y-z=1.
∴点P的轨迹长为线段y-z=1(1≤y≤2)的长度,为,C对;
对于D,∵E,F分别在DB1,A1C1上,且==2,
∴==(2,2,-2)=,==(-2,2,0)=,
则E,F,则=,
则cos α=|cos<,>|===1,故α=0,
cos β=|cos<,>|==0,故β=,即α+β=,故D正确.
1.3.1 空间直角坐标系
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
基础过关练
题组一 空间向量的坐标表示
1.在空间直角坐标系中,点P(1,2,3)关于平面Oyz对称的点的坐标为( )
A.(1,-2,-3) B.(-1,-2,3)
C.(-1,2,3) D.(-1,2,-3)
2.空间直角坐标系中,已知A(1,-2,3),B(3,2,-5),则线段AB的中点坐标为( )
A.(-1,-2,4) B.(-2,0,1)
C.(2,0,-2) D.(2,0,-1)
3.在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,则在空间直角坐标系中(O为坐标原点),的坐标是 ,的坐标是 .
题组二 空间向量线性运算的坐标表示
4.(2020黑龙江牡丹江第一高级中学高二上期中)已知O为原点,a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),则b等于( )
A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2)
C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3)
5.已知向量a=(1,2,3),b=(-1,0,1),则a+2b=( )
A.(-1,2,5) B.(-1,4,5)
C.(1,2,5) D.(1,4,5)
6.(2020湖南长沙明德中学高二上月考)若a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),c=(1,4,4),且a,b,c共面,则λ= .
7.(2020湖南师范大学附属中学高二上期中)已知a=(x,1,3),b=(-1,3,9),若a与b共线,则x的值是 .
8.已知O是坐标原点,且A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),求适合下列条件的点P的坐标:
(1)=(-);(2)=(-).
题组三 空间向量数量积的坐标表示
9.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p·q=( )
A.-1 B.1 C.0 D.-2
10.直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,侧棱为3,M,N分别为A1C1,BC的中点,则·=( )
A.2 B.-2 C. D.-
11.(2020重庆高二上期中)如图,建立空间直角坐标系Oxyz.单位正方体ABCD-A'B'C'D'的顶点A位于坐标原点,其中B(1,0,0),D(0,1,0),A'(0,0,1).
(1)若E是棱B'C'的中点,F是棱B'B的中点,G是侧面CDD'C'的中心,分别求出向量,,的坐标;
(2)在(1)的条件下,分别求出(+)·,||的值.
12.已知向量a=(2,1,-2),c=(-1,0,1),向量b同时满足下列三个条件:①a·b=-1;②|b|=3;③b⊥c.
(1)求a+2c的模;
(2)求向量b的坐标.
题组四 利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题
13.设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥c,b∥c,则x+y的值为( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
14.(2020山西大同第一中学高二上期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是( )
A.MN与CC1垂直
B.MN与AC垂直
C.MN与BD平行
D.MN与A1B1平行
15.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则= .
题组五 利用空间向量求夹角和距离(长度)
16.在空间直角坐标系中,已知M(-1,0,2),N(3,2,-4),则MN的中点P到坐标原点O的距离为( )
A. B. C.2 D.3
17.(2020四川绵阳中学高二上期中)空间直角坐标系中的点A(3,3,1)关于平面Oxy的对称点A'与点B(-1,1,5)间的距离为( )
A.6 B.2
C.4 D.2
18.(2020北京十二中高二上期中)已知点A(0,1,2),B(1,-1,3),C(1,5,-1).
(1)若D为线段BC的中点,求线段AD的长;
(2)若=(2,a,1),且·=1,求a的值,并求此时向量与夹角的余弦值.
19.(2020山西太原第五中学高二上月考)如图,以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC上.
(1)当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为M时,求|PM|的长度;
(2)当点P是面对角线AB的中点,点Q在面对角线DC上运动时,探究|PQ|的最小值.深度解析
能力提升练
题组一 空间向量运算的坐标表示
1.(2020山东泰安第一中学高二上期末,)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若{a,b,c}不能构成空间的一个基底,则实数λ的值为( )
A.0 B. C.9 D.
2.(2020北京东直门中学高二上期中,)已知O为原点,=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则·取得最小值时,点Q的坐标为( )
A. B.
C. D.
3.(多选)(2020陕西西北大学附属中学高二上期中,)设几何体ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,A1C与B1D相交于点O,则( )
A.·=a2 B.·=a2
C.·=-a2 D.·=a
4.(多选)()已知向量a·b=b·c=a·c,b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是( )
A.(a·b)·c=b·c B.(a+b)·c=a·(b+c)
C.(a+b+c)2=a2+b2+c2 D.|a+b+c|=|a-b-c|
5.()已知点P是棱长为1的正方体A1B1C1D1-ABCD的底面A1B1C1D1上一点(包括边界),则·的取值范围是 .
题组二 利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题
6.(2020江苏启东中学高二上期中,)已知两个向量a=(2,-1,3),b=(4,m,n),且a∥b,则m+n的值为 (深度解析)
A.1 B.2 C.4 D.8
7.()在三棱柱A1B1C1-ABC中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在直线B1P上,则下列结论正确的是( )
A.当点Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BD
B.当点Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BD
C.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BD
D.不存在点Q,使DQ与平面A1BD垂直
8.()已知a=(3,2λ-1,1),b=(μ+1,0,2μ).若a⊥b,则μ= ;若a∥b,则λ+μ= .
9.(2020浙江绍兴高二上期末阶段测试,)如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AA1⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,点E在线段A1D上,且A1E=2ED.
(1)证明:BD1⊥AC;
(2)证明:BD1∥平面ACE.
题组三 利用空间向量的坐标运算解决长度和夹角问题
10.(2020安徽芜湖高二上期末,)如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,△PAC为等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC⊥平面ABC,D为AB的中点,则异面直线AC与PD所成角的余弦值为(深度解析)
A. B. C. D.
11.(2020湖北武汉高二期末联考,)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是底面ABCD(含边界)上一动点,满足A1P⊥AC1,则线段A1P长度的取值范围是( )
A. B.
C.[1,] D.[,]
12.(多选)(2020山东莱州第一中学高二上期末,)正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为2,M为B1C1的中点,下列命题中正确的是( )
A.AB1与BC1成60°角
B.若=,面A1MN交CD于点E,则CE=
C.P点在正方形ABB1A1边界及内部运动,且MP⊥DB1,则P点的轨迹长等于
D.E,F分别在DB1,A1C1上,且==2,直线EF与AD1,A1D所成角分别是α,β,则α+β=
答案全解全析
基础过关练
1.C 点P关于平面Oyz对称的点的坐标与点P的横坐标相反,故选C.
2.D 设中点坐标为(x,y,z),根据中点坐标公式得x==2,y==0,z==-1.
3.答案 (-2,-1,-4);(-4,2,-4)
解析 如图建系,则O(0,0,0),A1(4,0,4),B1(0,2,4),B(0,2,0),∴=(-4,2,-4).∵D为A1B1的中点,∴D(2,1,4),∴=(-2,-1,-4).
4.A ∵a-b=(-1,2,-1),∴b=a-(-1,2,-1)=(1,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,-4,2),故选A.
5.A a+2b=(1,2,3)+2(-1,0,1)=(1,2,3)+(-2,0,2)=(-1,2,5),故选A.
6.答案 1
解析 ∵a,b,c共面,
∴存在实数m,n,使得c=ma+nb,
∴解得λ=1.
7.答案 -
解析 ∵a与b共线,∴ λ∈R,使b=λa,
∴解得
8.解析 由题得=(2,6,-3),=(-4,3,1).
(1)∵=(-)=(2+4,6-3,-3-1)=(6,3,-4)=,
∴P.
(2)∵=(-)
=(2+4,6-3,-3-1)
=(6,3,-4)=,
∴=+=(2,-1,2)+
=,∴P.
9.A p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(1,1,0)+(0,2,2)-(1,0,1)=(0,3,1),
∴p·q=1×0+0×3+(-1)×1=-1,故选A.
10.B 如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),M,N,
∴=(2,0,0),=(-1,0,3),
∴·=2×(-1)+0+0=-2,故选B.
11.解析 (1)由题图知,O(0,0,0),E,G,F,
∴=,=,=,
∴=-=-1,0,=.
(2)(+)·=·=,=-=,∴||==.
12.解析 (1)∵a=(2,1,-2),c=(-1,0,1),∴a+2c=(2,1,-2)+(-2,0,2)=(0,1,0),
∴|a+2c|==1.
(2)设b=(x,y,z),则a·b=2x+y-2z=-1①,|b|==3②,b·c=-x+z=0③,
由①②③得或
∴b=(2,-1,2)或b=(-2,-1,-2).
13.A ∵a⊥c,∴a·c=2x-4+2=0,解得x=1,又b∥c,∴==,解得y=-2,则x+y=-1,故选A.
14.D 设正方体的棱长为1,如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),M,N,
∴=,=(0,0,1),=(-1,1,0),=(-1,-1,0),=(0,1,0),∴·=0,∴MN⊥CC1,A说法正确;·=-=0,∴MN⊥AC,B说法正确;易知=2,且M,N BD,∴MN∥BD,C说法正确;设=λ,得无解,所以MN与A1B1不平行,D说法错误.故选D.
15.答案
解析 因为⊥,所以·=0,
即1×3+5×1+(-2)z=0,所以z=4.
因为BP⊥平面ABC,
所以⊥,且⊥,
即
解得
所以=.
16.A 由中点坐标公式,得P(1,1,-1),所以=(1,1,-1),||==.故选A.
17.D 由题意得,A'(3,3,-1),所以=(-4,-2,6),所以||==2,故选D.
18.解析 (1)由题意得,D(1,2,1),∴=(1,1,-1),||==,即线段AD的长为.
(2)易知=(1,-2,1),∴·=2-2a+1=1,解得a=1,∴=(2,1,1).
∴cos<,>===,
即向量与夹角的余弦值为.
19.解析 由题意知A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D(1,1,1).
(1)由PB=2PA得P,所以M,所以|PM|=.
(2)当点P是面对角线AB的中点时,P,点Q在面对角线DC上运动,设点Q(a,1,a),a∈[0,1],
则|PQ|=
==,
所以当a=时,|PQ|取得最小值,此时点Q.
方法归纳 利用向量坐标求空间中线段长度的一般步骤:(1)建立适当的空间直角坐标系;(2)求出线段端点的坐标(或线段对应向量的坐标);(3)利用两点间的距离公式求出线段的长(或利用向量模的坐标公式求出对应向量的模).
能力提升练
1.D ∵{a,b,c}不能构成空间的一个基底,∴a,b,c共面,则c=xa+yb,其中x,y∈R,则(7,5,λ)=(2x,-x,3x)+(-y,4y,-2y)=(2x-y,-x+4y,3x-2y),
∴解得
故选D.
2.C 点Q在直线OP上运动,设=λ=(λ,λ,2λ)(λ∈R),则=-=(1-λ,2-λ,3-2λ),=-=(2-λ,1-λ,2-2λ),
∴·=6-,当λ=时,·最小,此时,Q,故选C.
3.AC 如图,建立空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),B1(a,a,a),O,∴=(0,a,0),=(-a,a,0),=(0,a,0),=(-a,a,-a),=(0,-a,0),=(0,a,a),=.
∴·=a2,A对;·=a2,B错;·=-a2,C对;·=a2,D错.故选AC.
4.BCD 易得a·b=a·c=b·c=-3+0+3=0.
(a·b)·c=0,b·c=0,所以A选项错误;
(a+b)·c-a·(b+c)=a·c+b·c-a·b-a·c=0,所以(a+b)·c=a·(b+c),所以B选项正确;
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=a2+b2+c2,所以C选项正确;
(a-b-c)2=a2+b2+c2-2a·b+2b·c-2a·c=a2+b2+c2,
即(a+b+c)2=(a-b-c)2,|a+b+c|=|a-b-c|,所以D选项正确.
故选BCD.
5.答案
解析 如图所示,建立空间直角坐标系,则A1(0,0,0),A(0,0,1),C(1,1,1).
设P(x,y,0)(x,y∈[0,1]).
则=(-x,-y,1),=(1-x,1-y,1),
∴·=-x(1-x)-y(1-y)+1
=++.
∵x,y∈[0,1],∴当x=,y=时,·有最小值.
当点P取(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0)时,·有最大值1.
∴·的取值范围是.
6.C 因为a∥b,所以 λ∈R,使得b=λa,得解得所以m+n=4,故选C.
解题反思 在解决有关平行的问题时,通常需要引入参数,如本题中已知a∥b,引入参数λ,使b=λa,转化为方程组求解;本题也可以利用坐标成比例求解,即由a∥b,得==,求出m,n.
7.D 如图,建立空间直角坐标系,则A1(0,0,0),B1(1,0,0),B(1,0,1),D,P(0,2,0),所以=(-1,2,0),=,=(1,0,1),=.
设存在点Q,使DQ与平面A1BD垂直,设=λ(0≤λ≤1),则=-=λ-=(-λ,2λ,0)--1,1,=.
由
得无解,故选D.
8.答案 -;
解析 由a⊥b,得a·b=3(μ+1)+2μ=0,解得μ=-.由a∥b,得=,且2λ-1=0,解得μ=,λ=,所以λ+μ=.
9.证明 (1)设AC与BD交于点O,A1C1与B1D1交于点O1,连接OO1,设AB=a,AA1=b.如图,建立空间直角坐标系,
则O(0,0,0),A,B,C,D,
A1,D1,
∴=(-a,0,b),=(0,a,0),
∴·=0,∴BD1⊥AC.
(2)设E(x,y,z),∵A1E=2ED,∴=2,即x,y+a,z-b=2,
解得x=-a,y=-a,z=,即E,
∴=.
设=λ+μ(λ,μ∈R),则(-a,0,b)=λ(0,a,0)+μ,
即解得
即=-+3.
∴,,共面,又BD1 平面ACE,
∴BD1∥平面ACE.
10.B 取AC的中点O,连接OP,OB,
∵PA=PC,∴AC⊥OP,
∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,
∴OP⊥平面ABC,
又∵AB=BC,∴AC⊥OB,
以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
∵△PAC是等腰直角三角形,PA=PC=4,△ABC为等边三角形,
∴A(2,0,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),D(,,0),
∴=(-4,0,0),=(,,-2),
∴cos<,>===-.
∴异面直线AC与PD所成角的余弦值为.
故选B.
解题反思 用坐标法求解立体几何问题,关键是建立适当的空间直角坐标系.建系时,关键是寻找线面垂直的条件,将垂线所在直线作为z轴,利用底面的图形特点建立x轴和y轴.
11.A 如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),
∵P是底面ABCD(含边界)上一动点,
∴设P(x,y,0)(0≤x≤1,0≤y≤1),
则=(x,y,-1),=(1,1,1),
∵A1P⊥AC1,∴·=x+y-1=0,
∴=x2+y2+1=x2+(1-x)2+1=2x2-2x+2=2+,
∴当x=时,取最小值,此时线段A1P的长度为;
当x=0或x=1时,取最大值2,此时线段A1P的长度为,
∴线段A1P长度的取值范围是.
故选A.
12.ACD 如图,建立空间直角坐标系,则A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),D(0,0,2),
A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(0,0,0),M(1,2,0).
对于A,=(0,2,-2),=(-2,0,-2),cos<,>===,
∴AB1与BC1成60°角,A对;
对于B,∵=,∴N,设E(0,m,2),则=(-1,2,0),=,=(-2,m,2),由已知得A1,M,N,E四点共面,
∴ λ,μ∈R,使得=λ+μ,
得解得
∴E,∴=,||=,B错;
对于C,设P(2,y,z)(0≤y≤2,0≤z≤2),则=(1,y-2,z),=(2,2,-2),
由·=2+2y-4-2z=0,得y-z=1.
∴点P的轨迹长为线段y-z=1(1≤y≤2)的长度,为,C对;
对于D,∵E,F分别在DB1,A1C1上,且==2,
∴==(2,2,-2)=,==(-2,2,0)=,
则E,F,则=,
则cos α=|cos<,>|===1,故α=0,
cos β=|cos<,>|==0,故β=,即α+β=,故D正确.