3.1.1椭圆及其标准方程 学案（Word版含答案）

椭圆及其标准方程
【学习目标】
1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程。
2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形。
【学习过程】
知识梳理
1．椭圆的概念：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于________(大于|F1F2|)的点的集合叫作________。这两个定点叫作椭圆的________，两焦点间的距离叫作椭圆的________。当|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|时，轨迹是__________，当|PF1|＋|PF2|<|F1F2|时________轨迹。
2．椭圆的方程：焦点在x轴上的椭圆的标准方程为____________，焦点坐标为_ _________，焦距为________，其中c2＝a2－b2；焦点在y轴上的椭圆的标准方程为________________。
练习设计
一、选择题
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
2．椭圆＋＝1的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为(　　)
A．32 B．16 C．8 D．4
3．椭圆2x2＋3y2＝1的焦点坐标是(　　)
A． B．(0，±1) C．(±1，0) D．
4．方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－3，－1) B．(－3，－2) C．(1，＋∞) D．(－3，1)
5．若椭圆的两焦点为(－2，0)，(2，0)，且该椭圆过点，则该椭圆的方程是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
6．设F1．F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且P到两个焦点的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．直角三角形
题　号 1 2 3 4 5 6
答　案
二、填空题
7．(2009·北京)椭圆＋＝1的焦点为F1．F2，点P在椭圆上。若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________。
8．P是椭圆＋＝1上的点，F1和F2是该椭圆的焦点，则k＝|PF1|·|PF2|的最大值是______，最小值是______。 9．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n千米，远地点距地面m千米，地球半径为R，那么这个椭圆的焦距为________千米。
三、解答题
10.根据下列条件，求椭圆的标准方程。
（1）两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点。
11．已知点A(0，)和圆O1：x2＋(y＋)2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程。
能力提升
12．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)
A．2 B．3 C．6 D．8
13.如图△ABC中底边BC＝12，其它两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程。
【课后点拨】
1．椭圆的定义中只有当距离之和2a>|F1F2|时轨迹才是椭圆，如果2a＝|F1F2|，轨迹是线段F1F2，如果2a<|F1F2|，则不存在轨迹。
2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a>b>0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上。
3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx2＋ny2＝1 (m，n为不相等的正数)。
4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何关系。
知识梳理
1．常数　椭圆　焦点　焦距　线段F1F2　不存在
2．＋＝1 (a>b>0)　F1(－c，0)，F2(c，0)　2c　＋＝1 (a>b>0)
练习设计
1．D　[∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，
∴动点M的轨迹是线段。]
2．B　[由椭圆方程知2a＝8，
由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，所以△ABF2的周长为16．]
3．D
4．B　[|a|－1>a＋3>0，解得－35．D　[椭圆的焦点在x轴上，排除A、B，
又过点验证即可。]
6．D　[由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8．
由题可得||PF1|－|PF2||＝2，则|PF1|＝5或3，|PF2|＝3或5．
又|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2为直角三角形。]
7．2　120°
解析　
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝6－|PF1|＝2．
在△F1PF2中，
cos∠F1PF2＝
＝＝－，∴∠F1PF2＝120°。
8．4　3
解析　设|PF1|＝x，则k＝x(2a－x)，
因a－c≤|PF1|≤a＋c，即1≤x≤3．
∴k＝－x2＋2ax＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
∴kmax＝4，kmin＝3．
9．m－n
解析　设a，c分别是椭圆的长半轴长和半焦距，
则，则2c＝m－n。
10.解　（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设椭圆的标准方程为＋＝1 (a>b>0)。
∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4．
∴b2＝a2－c2＝52－42＝9．
故所求椭圆的标准方程为＋＝1．
（2）∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1 (a>b>0)。
由椭圆的定义知，2a＝ ＋
＝＋＝2，
∴a＝。
又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6．
故所求椭圆的标准方程为＋＝1．
11．解　∵|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO1|＝4，
∴|PO1|＋|PA|＝4，又∵|O1A|＝2<4，
∴点P的轨迹是以A．O1为焦点的椭圆，
∴c＝，a＝2，b＝1，
∴动点P的轨迹方程为x2＋＝1．
能力提升
12．C　[由椭圆方程得F(－1，0)，设P(x0，y0)，
则·＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝x＋x0＋y。
∵P为椭圆上一点，∴＋＝1．
∴·＝x＋x0＋3(1－)
＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2．
∵－2≤x0≤2，
∴·的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6．]
13．解　以BC边所在直线为x轴，BC边中点为原点，建立如图所示坐标系，
则B(6，0)，C(－6，0)，CE、BD为AB．AC边上的中线，则|BD|＋|CE|＝30.
由重心性质可知
|GB|＋|GC|＝(|BD|＋|CE|)＝20.
∵B、C是两个定点，G点到B、C距离和等于定值20，且20>12，
∴G点的轨迹是椭圆，B、C是椭圆焦点。
∴2c＝|BC|＝12，c＝6，2a＝20，a＝10，b2＝a2－c2＝102－62＝64，
故G点的轨迹方程为＋＝1 (x≠±10)。
又设G(x′，y′)，A(x，y)，则有＋＝1．
由重心坐标公式知故A点轨迹方程为＋＝1．
即＋＝1 (x≠±30)。
3 / 6